1、高考资源网（） 您身边的高考专家第五节事件的独立性、条件概率与全概率公式一、教材概念结论性质重现1条件概率条件概率的定义设A，B为两个随机事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率条件概率的性质(1)P(|A)1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)；(3)设与B互为对立事件，则P(|A)1P(B|A)2.事件的相互独立性事件A与事件B相互独立对任意的两个事件A与B，如果P(AB)P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立性质若事件A与事件B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立，P(B|A
2、)P(B)，P(A|B)P(A)(1)易混淆“相互独立”和“事件互斥”两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥(2)易混淆P(B|A)与P(A|B)前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率3全概率公式一般地，设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，i1,2，n，则对任意的事件B，有P(B)(Ai)P(B|Ai)称上面的公式为全概率公式二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)相互独立事件就是互斥事件()(2)对于任
3、意两个事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率()(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)P(B)()2已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A B C DB解析：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B依题意P(A)，P(AB).故在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率P(B|A).3天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3
4、.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A0.2 B0.3 C0.38 D0.56C解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB，所以P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.20.70.80.30.38.4(2020湖南省六校高三联考)甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为和；乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是_，只有一人被录取的概率是_解析：甲被录取的概率p1，乙被录取的概率p2，则该次考试甲、乙同时
5、被录取的概率是p1p2，只有一人被录取的概率是p1(1p2)p2(1p1).5某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_0.128解析：记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A由题意知，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)10.20.80.80.128.考点1相互独立事件的概率基础性1(2020山东省新高考质量测评高三联考
6、)2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能处理器“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉完全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为()A B C DD解析：根据题意可知，1名学生从15项中任选1项，其中选择“芯片领域”的概率为，故其没有选择“芯片领域”的概率为，则3名学生均没有选择
7、“芯片领域”的概率为.因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1.故选D2(2020天津市和平区高三二模)已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定费用只可能为1,2,3元)甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5，0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2，0.4，则甲、乙两人租车费用相同的概率为()A0.18 B0.3 C0.24 D0.36B解析：由题意知甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4.所以甲、乙两人所租车费用相同的概率为p0.50.20.20.40.30.40.3.3(2019全国卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，
8、先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲获胜”的概率解：(1)X2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.
9、50.40.1.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算考点2条件概率基础性(2020本溪满族自治县高级中学高三模拟)2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家设事件A“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B“小组甲独自去一个国家”，则P(A|B)()A B C DA解析：事件A“4个医疗小组去的国家各不
10、相同”，事件B“小组甲独自去一个国家”，则P(AB)，P(B)，P(A|B).故选A一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)解：如图，n()9，n(A)3，n(B)4，所以n(AB)1，所以P(AB)，P(A|B).求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)，这是求条件概率的通法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的样本点数n(AB)，得
11、P(B|A).1已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A B C DD解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)，P(AB)，则所求的概率为P(B|A).2将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)_，P(B|A)_.解析：P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不
12、相同”的概率因为“至少出现一个6点”有66655591(种)情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有C5460(种)情况，所以P(A|B).P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率因为“三个点数都不相同”有654120(种)情况，所以P(B|A).考点3全概率公式基础性有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解：设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂
13、的产品”，i1,2,3.B1B2B3S，由全概率公式得P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|B3)P(B3)P(B1)0.3，P(B2)0.5，P(B3)0.2，P(A|B1)0.02，P(A|B2)0.01，P(A|B3)0.01，故P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|B3)P(B3)0.020.30.010.50.010.20.013.通常把B1，B2，Bn看成导致A发生的一组原因如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中(1)何时用全概率公式：多种
14、原因导致事件的发生(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，求第二次取到白球的概率解：A第一次取到白球，B第二次取到白球因为BABB，且AB与B互斥，所以P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|)0.6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A B C D四字程序读想算思求条件概率P(B|A)1.条件概率的公式；2.古典概型用字母表示事件，理清楚事
15、件之间的关系转化与化归A“取到的2个数之和为偶数”，B“取到的2个数均为偶数”1.求P(A)，P(AB)；2.求n(A)，n(AB)1.P(B|A)；2.P(B|A)1.条件概率的公式；2.古典概型的公式思路参考：根据条件概率公式求解B解析：P(A)，P(AB).由条件概率计算公式，得P(B|A).思路参考：缩小样本空间，利用古典概型概率公式求解B解析：事件A包括的样本点为(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，共4个事件AB发生包含的样本点只有(2,4)一个，即n(AB)1.故由古典概型概率P(B|A).本题考查条件概率求解问题利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)，这
16、是求条件概率的通法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的样本点数n(AB)，得P(B|A).这是将条件概率缩小样本空间转化为古典概型这需要学生具有一定的数学运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养现有3道理科题和2道文科题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为()A B C DC解析：(方法一)设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，P(B|A).故选C(方法二)在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为.故选C- 9 - 版权所有高考资源网
