1、第七章 立体几何 第四节 直线、平面平行的判定及性质 第七章 立体几何 主干知识梳理 一、直线与平面平行 1判定定理第七章 立体几何 2.性质定理第七章 立体几何 二、平面与平面平行1判定定理第七章 立体几何 2.两平面平行的性质定理第七章 立体几何 基础自测自评1(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是()A一个平面内的一条直线平行于另一个平面B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面第七章 立体几何 D 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确第七章
2、 立体几何 2(2014宁波十校联考)若有直线 m、n 和平面、，下列四个命题中，正确的是()A若 m，n，则 mnB若 m，n，m，n，则 C若，m，则 mD若，m，m，则 m第七章 立体几何 D 对于选项A，m、n可以平行、相交、异面；对于选项B，m与n相交时，才是真命题；对于选项C，m与可以平行、垂直，m也可以包含于，故选D.第七章 立体几何 3(教材习题改编)若一直线上有相异三个点 A，B，C 到平面 的距离相等，那么直线 l 与平面 的位置关系是()AlBlCl 与 相交且不垂直Dl 或 l第七章 立体几何 D 由于 l 上有三个相异点到平面 的距离相等，则 l 与 可以平行，l时也
3、成立第七章 立体几何 4平面 平面，a，b，则直线 a，b 的位置关系是_解析 由 可知，a，b 的位置关系是平行或异面 答案 平行或异面第七章 立体几何 5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_解析 如图连接AC，BD交于O点，连接OE，第七章 立体几何 因为 OEBD1，而 OE平面 ACE，BD1平面 ACE，所以 BD1平面 ACE.答案 平行第七章 立体几何 关键要点点拨第七章 立体几何 2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰
4、好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”3辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用第七章 立体几何 典题导入(2013新课标全国高考)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是AB，BB1 的中点(1)证明：BC1平面 A1CD；(2)设 AA1ACCB2，AB2 2，求三棱锥 CA1DE 的体积直线与平面平行的判定与性质第七章 立体几何 听课记录(1)证明：连接 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点又 D 是 AB 中点，连接 DF，则 BC1DF.因为 DF平面 A1CD，B
5、C1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.第七章 立体几何(2)因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1CD.由已知 ACCB，D 为 AB 的中点，所以 CDAB.又 AA1ABA，于是 CD平面 ABB1A1.由 AA1ACCB2，AB2 2得ACB90，CD 2，A1D 6，DE 3，A1E3，故 A1D2DE2A1E2，即 DEA1D.所以 VCA1DE1312 6 3 21.第七章 立体几何 规律方法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平
6、面找其交线第七章 立体几何 跟踪训练1(2014潍坊一模)如图，四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC4，AB2，点E、F分别在BC、AD上，EFAB.现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC，设AD中点为P.第七章 立体几何(1)当 E 为 BC 中点时，求证：CP平面 ABEF；(2)设 BEx，问当 x 为何值时，三棱锥 ACDF 的体积有最大值？并求出这个最大值解析(1)证明：取 AF 的中点 Q，连接 QE、QP，则 QP 綊12DF，又 DF4，EC2，且 DFEC，所以 QP 綊 EC，第七章 立体几何 即四边形 PQEC 为平行四边形，所以 CPEQ
7、，又 EQ平面 ABEF，CP平面 ABEF，故 CP平面 ABEF.第七章 立体几何(2)因为平面 ABEF平面 EFDC，平面 ABEF平面 EFDCEF，又 AFEF，所以 AF平面 EFDC.由已知 BEx，所以 AFx(x4)，FD6x，故 VACDF13122(6x)x13(6xx2)13(x3)29 13(x3)23.所以，当 x3 时，VACDF有最大值，最大值为 3.第七章 立体几何 典题导入如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面是正方形，E，F，G 分别是棱 B1B，D1D，DA 的中点求证：平面 AD1E平面 BGF.听课记录 E，F 分别是 B1B 和
8、D1D 的中点，D1F 綊 BE，BED1F 是平行四边形，D1EBF.平面与平面平行的判定与性质第七章 立体几何 又D1E平面 BGF，BF平面 BGF，D1E平面 BGF.FG 是DAD1 的中位线，FGAD1，又 AD1平面 BGF，FG平面 BGF，AD1平面 BGF.又AD1D1ED1，平面 AD1E平面 BGF.第七章 立体几何 互动探究将本例条件变为 E，F，G 满足“DFD1F12，DGDA13，BEBB123”，求证：平面 AD1E平面 BGF.证明 D1FDD123，BEBB123，DD1BB1，D1FBE.又 D1FBE，四边形 D1FBE 为平行四边形，D1EBF.又
9、DGGA12，DFFD112，GFAD1.又 AD1D1ED1，GFBFF，平面 AD1E平面 GFB.第七章 立体几何 规律方法常用的判断面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(，)；(3)利用线面垂直的性质(l，l)第七章 立体几何 跟踪训练2如图，平面四边形ABCD的4个顶点都在球O的表面上，AB为球O的直径，P为球面上一点，且PO平面ABCD，BCCDDA2，点M为PA的中点第七章 立体几何(1)证明：平面 PBC平面 ODM；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离解析(1)证明：AB为圆O直径BCCDDA CDOB 且 ABCD，第七章 立体几何 则 CD
10、 平行且等于 BO，即四边形 OBCD 为平行四边形，所以 BCOD.AOBOAMPM OMPBBCOD OD平面PBCOM平面PBC 平面 ODM平面 PBC.第七章 立体几何(2)由图可知 VPABCVAPBC，设点 A 到平面 PBC 的距离为 h，则有131222 3213122 7h，则 h4 217，即点 A 到平面 PBC 的距离为4 217.第七章 立体几何 典题导入(2014青岛二模)如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为CD的中点，F为AE的中点现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列两问：立体几何中的探索性问题第七章 立体几何(1)在线段AB上是否
11、存在一点K，使BC平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(2)若平面ADE平面ABCE，求证：平面BDE平面ADE.第七章 立体几何 听课记录(1)线段 AB 上存在一点 K，且当 AK14AB 时，BC平面 DFK.证明如下：设 H 为 AB 的中点，连接 EH，则 BCEH.如图所示第七章 立体几何 又因为 AK14AB，F 为 AE 的中点，所以 KFEH，所以 KFBC，KF平面 DFK，BC平面 DFK，BC平面 DFK.第七章 立体几何(2)证明：因为 F 为 AE 的中点，DADE1，所以 DFAE.因为平面 ADE平面 ABCE，所以 DF平面 ABCE.因
12、为 BE平面 ABCE，所以 DFBE.第七章 立体几何 又因为在折起前的图形中 E 为 CD 的中点，AB2，BC1，所以在折起后的图形中 AEBE 2，从而 AE2BE24AB2，所以 AEBE.因为 AEDFF，所以 BE平面 ADE，因为 BE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ADE.第七章 立体几何 规律方法立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设第七章 立体几何 跟踪训练3(2014淄博一
13、模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，P为DN的中点(1)求证：BDMC；(2)在线段AB上是否存在点E，使得AP平面NEC？若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由第七章 立体几何 解析：(1)证明：连接 AC，因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD.又 ADNM 是矩形，平面 ADNM平面 ABCD，所以 AM平面 ABCD，第七章 立体几何 因为 BD平面 ABCD，所以 AMBD，因为 ACAMA，所以 BD平面 MAC.又 MC平面 MAC，所以 BDMC.第七章 立体几何(2)当 E 为 AB 的中点时，有 AP
14、平面 NEC.证明如下：取 NC 的中点 S，连接 PS，SE.因为 PSDCAE，PSAE12DC，所以四边形 APSE 是平行四边形，所以 APSE.又 SE平面 NEC，AP平面 NEC，所以 AP平面 NEC.第七章 立体几何【创新探究】证明过程推理不严密而失分(2012高考山东卷)如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.第七章 立体几何【思路导析】(1)作辅助线，证明BED 为等腰三角形；(2)可以先证面面平行，再得线面平行，也可直接在平面 BEC 内作出与DM 平行的
15、直线，证明线线平行【证明】(1)如图(1)，取 BD 的中点 O，连接 CO，EO.由于 CBCD，所以 COBD.又 ECBD，ECCOC，CO，EC平面 EOC，所以 BD平面 EOC，第七章 立体几何 因此BDEO.又O为BD的中点，所以BEDE.(2)解法一：如图(2)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MNBE.又MN平面BEC，第七章 立体几何 BE平面 BEC，所以 MN平面 BEC.又因为ABD 为正三角形，所以BDN30.又 CBCD，BCD120，因此CBD30.所以 DNBC.第七章 立体几何 又 DN平面 BEC，BC平面 BEC，所以 DN
16、平面 BEC.又 MNDNN，所以平面 DMN平面 BEC.又 DM平面 DMN，所以 DM平面 BEC.第七章 立体几何 解法二：如图(3)，延长 AD，BC 交于点 F，连接 EF.因为 CBCD，BCD120，所以CBD30.因为ABD 为正三角形，所以BAD60，ABC90，因此AFB30，第七章 立体几何 所以 AB12AF.又 ABAD，所以 D 为线段 AF 的中点 连接 DM，由点 M 是线段 AE 的中点，得 DMEF.又 DM平面 BEC，EF平面 BEC，所以 DM平面 BEC.第七章 立体几何【高手支招】立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求每步推理要有根有据
17、计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点引入数据要明确、要写明已知、设等字样，养成良好的书写习惯第七章 立体几何 体验高考1(2013陕西高考)如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD是正方形，O 是底面中心，A1O底面 ABCD，ABAA1 2.(1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2)求三棱柱 ABDA1B1D1 的体积第七章 立体几何 证明(1)由题设知，BB1 綊 DD1，BB1D1D 是平行四边形，BDB1D1.又 BD平面 CD1B1，BD平面 CD1B1.A1D1 綊 B1C1 綊 BC，第七章 立体几何 A1BCD1 是平行四边形，A1BD
18、1C.又 A1B平面 CD1B1，A1B平面 CD1B1，又BDA1BB，平面 A1BD平面 CD1B1.(2)A1O平面 ABCD，A1O 是三棱柱 ABDA1B1D1 的高，又AO12AC1，AA1 2，第七章 立体几何 A1O AA21OA21.又SABD12 2 21，VABDA1B1D1SABDA1O1.第七章 立体几何 2(2013辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心求证：QG平面PBC.第七章 立体几何 解析(1)证明：由 AB 是圆 O 的直径，得 ACBC.由 PA平面 ABC，BC平面 ABC，得 PABC.又 PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC.第七章 立体几何(2)连 OG 并延长 AC 于 M，连接 QM，QO，由 G 为AOC 的重心，得 M 为 AC 中点 由 Q 为 PA 中点，得 QMPC.又 O 为 AB 中点，得 OMBC.因为 QMMOM，QM平面 QMO，MO平面 QMO，BCPCC，第七章 立体几何 BC平面 PBC，PC平面 PBC，所以平面 QMO平面 PBC.因为 QG平面 QMO，所以 QG平面 PBC.第七章 立体几何 课时作业