1、数系的扩充和复数的概念 (20分钟35分)1.以-+2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的复数是()A.2-2iB.2+2iC.-+iD.+i【解析】选A.-+2i的虚部为2,i+2i2=-2+i,其实部为-2,故所求复数为2-2i.2.在复平面内,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则()A.a=0或a=2B.a=0C.a1且a2D.a1或a2【解析】选B.因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,所以a2-2a=0且a2-a-20,所以a=0.3.若sin 2-1+(cos +1)i是纯虚数,则的值为()A.2k-(kZ)B.2k+(kZ)C.2k(kZ
2、)D.+(kZ)【解析】选B.由得(kZ).所以=2k+(kZ).4.已知(3x+y)+(2x-y)i=(7x-5y)+3i,则实数x=_,y=_.【解析】因为x,y是实数,所以根据两个复数相等的充要条件,可得解得答案:5.已知复数z=(m2-m)i(mR),若z是实数,则m的值为_.【解析】z=(m2-m)i,所以m2-m=0,所以m=0或1.答案:0或16.已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.(1)若复数z是实数,求实数m的值.(2)若复数z是虚数,求实数m的取值范围.(3)若复数z是纯虚数,求实数m的值.(4)若复数z是0,求实数m的值.【解析】(1)当m2-2m-1
3、5=0时,复数z为实数,所以m=5或-3.(2)当m2-2m-150时,复数z为虚数.所以m5且m-3.所以实数m的取值范围为m|mR,m5且m-3.(3)当时,复数z是纯虚数,所以m=-2.(4)当时,复数z是0,得m=-3. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若a,bR,i是虚数单位,且b+(a-2)i=1+i,则a+b的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.由b+(a-2)i=1+i,得b=1,a-2=1.即a=3,所以a+b=4.2.“复数4-a2+(1-a+a2)i(aR)是纯虚数”是“a=-2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.
4、既不充分也不必要条件【解析】选B.因为1-a+a2=+0,所以若复数4-a2+(1-a+a2)i(aR)是纯虚数,则4-a2=0,即a=2;当a=-2时,能推出4-a2+(1-a+a2)i=7i为纯虚数.3.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为()A.-1B.2C.1D.-1或2【解析】选D.因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.4.已知M=1,2,m2-3m-1+(m2-5m-6)i,N=-1,3,MN=3,则实数m的值为()A.-1或6B.-1或4C.-1D.4【解析】选C.由MN=3,知m2-3m-1+(m2-
5、5m-6)i=3,所以解得m=-1.5.已知复数z1=m+(4-m2)i(mR),z2=2cos +(+3sin )i(,R),并且z1=z2,则的取值范围为()A.B.C.-1,1D.【解析】选D.由z1=z2得消去m得=4sin2-3sin =4-.由于-1sin 1,故-7.二、填空题(每小题5分,共15分)6.使不等式m2-(m2-3m)i1,则实数x的值(或取值范围)是_.【解析】由题意知解得x=-2.答案:-28.若m为实数,z1=(m2+1)+(m3+3m2+2m)i,z2=(4m+2)+(m3-5m2+4m)i,那么使z1z2的m的值的集合是_.【解析】当z1是实数时,则m3+
6、3m2+2m=0,解得m=0或-1或-2,此时z1=1或2或5.当z2是实数时,则m3-5m2+4m=0,解得m=0或1或4,此时z2=2或6或18.上面m的公共值为m=0,此时z1和z2同为实数,此时z1=1,z2=2,不满足z1z2,所以使z1z2的m的值的集合是. 答案: 三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数z=sin -1+(1-2cos )i,且(0,).(1)若z为实数,求的值.(2)若z为纯虚数,求的值.【解析】(1)因为z为实数,所以1-2cos =0,即cos =.又因为(0,),所以=.(2)因为z为纯虚数,所以所以sin =1且cos ,又因为(0,),所以=
7、.10.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.【解析】由定义运算=ad-bc,得=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y为实数,所以有得得x=-1,y=2.已知复数z1=-a2+2a+ai,z2=2xy+(x-y)i,其中a,x,yR,且z1=z2,求3x+y的取值范围.【解析】由复数相等的充要条件,得消去a,得x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.方法一:令t=3x+y,则直线3x+y-t=0与圆(x-1)2+(y+1)2=2有公共点,所以圆心(1,-1)到直线3x+y-t=0的距离d=,解得2-2t2+2,即3x+y的取值范围是2-2,2+2.方法二:令得(R),所以3x+y=sin +3cos +2=2sin(+)+2(其中tan =3),于是3x+y的取值范围是2-2,2+2.