1、单元综合测试三(第三章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1两个正方体M1、M2，棱长分别为a，b，则对于正方体M1、M2有：棱长比为ab，表面积的比为a2：b2，体积的比为a3b3.我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是()A两个球B两个长方体C两个圆柱 D两个圆锥【答案】A2推理：“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；所以三角形不是矩形”中的小前提是()A BC D和【答案】B3不等式ab与同时成立的充要条件为()Aab0Ba0bC.0 D
2、.0【答案】B【解析】a0b，故选B.4有下列叙述：“ab”的反面是“ay或x2，f(8)，f(16)3，f(32).推测当n2时，有_【答案】f(2n)(n2)【解析】f(2)f(21)，f(4)f(22)2，f(8)f(23)，f(16)f(24)3，f(32)f(25)，可猜想f(2n)(n2)13对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是_(写出所有凸集相应图形的序号)【答案】【解析】本题主要考查从题目中提取信息，解决问题的能力举反例14在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于
3、表中的第n行第n1列的数是_.第1列第2列第3列第1行123第2行246第3行369【答案】n2n【解析】本题考查了等差数列及归纳推理的方法和思想，要求考生能从给出的信息总结规律，归纳结论由图表知，第n行的数构成首项为n，公差为n的等差数列，第n行第n1列的数为：n(n11)nn2n.15如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为i(i1,2,3)，则coscossinsin_.【答案】【解析】本题考查平面几何知识，涉及到多边形的内角和，圆以及三角函数的基本知识考查整体思想及运算处理能力如图所示，四边形O
4、1PO3C为菱形，所以O1PO3O1CO3，同理O1PO2O1AO2，O2PO3O2BO3，因为O1PO2O1PO3O2PO3360，所以O1AO2O2BO3O1CO3360.六边形O1AO2BO3C内角和为720.所以AO1CAO2BBO3C720360360，123(360AO1C)(360AO2B)(360BO3C)1080(AO1CAO2BBO3C)720.coscossinsincoscos240.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16在ABC中，三个内角A、B、C对应的边长分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数
5、列，求证：ABC为等边三角形【证明】由A、B、C成等差数列，2BACA、B、C为ABC的内角，ABC由得B由a、b、c成等比数列，b2ac由余弦定理及可得b2a2c22accosBa2c2ac再由得a2c2acac即(ac)20，ac，从而有AC由得ABC，ABC为等边三角形17设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：2.【证明】由已知条件得b2ac,2xab,2ybc，要证2，只需证aycx2xy，即证2ay2cx4xy，因为2xab,2ybc，b2ac，所以4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc，2ay2cxa(bc)c(ab)abbc
6、2ac，所以2ay2cx4xy，命题得证18观察下表1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，.问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？【解析】(1)由表知，第二行起每行的第一个数为偶数，所以第n1行的第一个数为2n，所以第n行的最后一个数为2n1.(2)由(1)知第n1行的最后一个数为2n11，第n行的第一个数为2n1，第n行的最后一个数为2n1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得：Sn22n322n22n2.19求证：正弦函数没有比2小的正周期【证明】假设T是正弦函数的周期，且0T2，
7、则对任意实数x都有sin(xT)sinx成立令x0，得sinT0，即Tk，kZ.又0T2，故T，从而对任意实数x都有sin(x)sinx，这与sin()sin矛盾所以，正弦函数没有比2小的正周期20已知函数f(x)，g(x)，(1)证明：f(x)是奇函数；(2)分别计算f(4)5f(2)g(2)，f(9)5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明【解析】(1)证明：f(x)的定义域为(，0)(0，)，又f(x)f(x)，故f(x)是奇函数(2)计算知f(4)5f(2)g(2)0，f(9)5f(3)g(3)0，于是猜测f(x2)5f
8、(x)g(x)0(xR且x0)证明：f(x2)5f(x)g(x)50.21数列an的前n项和Sn2an3n(nN)(1)求an的通项公式；(2)数列an中是否存在三项，它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由【解析】(1)a1S12a13，则a13.由an1Sn1Sn2an12an3an132(an3)，an3为等比数列，首项为a136，公比为2.an362n1，即an32n3.(2)假设数列an中存在三项ar，as，at(rst)，它们可以构成等差数列，且arasat.只能是arat2at，即3(2r1)3(2t1)6(2s1)2r2t2s1.12tr2s1r.(*)rst，r，s，t均为正整数，(*)式左边为奇数，右边为偶数，不可能成立数列an中不存在可以构成等差数列的三项
