1、模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若两实数x,y满足xy0,则总有()A.|x+y|x-y|C.|x-y|x|-|y|D.|x+y|y|-|x|解析:xy0,x,y异号.|x+y|x-2|的解集是()A.RB.xx32C.xx32D.xx23解析:|x-1|x-2|(x-1)2(x-2)2x2-2x+1x2-4x+42x3x32,所以原不等式的解集为xx32.答案:C3.已知f(x)=x+bx在(1,e)内为单调函数,则b的取值范围为()A.(-,1e2,+)B.(-,0e2
2、,+)C.(-,e2D.1,e2解析:当b0时,f(x)在(1,e)内是增加的.当b0,x0时,x+bx2b.当且仅当x=bx,即x=b时等号成立.若使f(x)在(1,e)内为单调函数,则b1或be.故00,得32x-(k+1)3x+20,解得k+13x+23x,而3x+23x22,故k+122,即kb0,且ab=1,设c=2a+b,P=logca,N=logcb,M=logcab,则()A.PMNB.MPNC.NPMD.PNb0,ab=1,a1,0b2ab=2,c=2a+b1.logcalogcablogcb,即PMN.答案:A6.要证a2+b2-1-a2b20,只需证()A.2ab-1-a
3、2b20B.a2+b2-1-a4+b420C.a+b22-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0解析:因为a2+b2-1-a2b2=-(a2-1)(b2-1)0,所以只需证(a2-1)(b2-1)0.答案:D7.设M=1210+1210+1+1211-1,则()A.M=1B.M1D.M与1关系不定解析:分母全换成210,共有210个单项式,故M0)的最小值为()A.3332B.94C.1D.不存在解析:x0,y=316x2+3x=316x2+32x+32x33316x232x32x=332764=94.当且仅当316x2=32x=32x,即x=2时取“=”号.答案:B9.在ABC中,A,
4、B,C分别是边a,b,c所对的角,若a,b,c成等差数列,则角B的范围是()A.0,4B.0,3C.0,2D.2,解析:由余弦定理,知cos B=a2+c2-b22ac,且2b=a+c,cos B=a2+c2-b22ac=3a2+3c2-2ac8ac6ac-2ac8ac=12,当且仅当a=b=c时取“=”号.在ABC中,12cos B1,B0,3.答案:B10.在利用数学归纳法证明问题时,若假设k棱柱有f(k)个对角面,则(k+1)棱柱对角面的个数可写为()A.2f(k)B.k-1+f(k)C.f(k)+kD.f(k)+2解析:由n=k到n=k+1时增加的对角面的个数与底面上由n=k到n=k+
5、1时增加的对角线一样,设当n=k时,底面为A1A2Ak,当n=k+1时,底面为A1A2A3AkAk+1,增加的对角线为A2Ak+1,A3Ak+1,A4Ak+1,Ak-1Ak+1,A1Ak,共有(k-1)条,因此对角面增加了(k-1)个.答案:B11.不等式|x|+|x-3|5的解集是()A.x|-1x0B.x|0x3C.x|3x4D.x|-1x4解析:原不等式等价于x0,-x+(3-x)5或0x3,x+3-x5或x3,x+x-35,等价于-1x0或0x0,则a4b4c4.由排序不等式,得a5+b5+c5=aa4+bb4+cc4ac4+ba4+cb4.又a3b3c30,且abacbc0,a4b+
6、b4c+c4a=a3ab+b3bc+c3caa3bc+b3ca+c3ab,a5+b5+c5a3bc+b3ac+c3ab,即MN,当且仅当a=b=cR+时取“=”号.答案:MN14.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底的造价为120元/m2,池壁的造价为80元/m2,则这个水池的最低造价是元.解析:设水池的造价为y元,池底的长为x m,则宽为4x m.y=4120+22x+8x80=480+320x+4x480+32024=1 760.当且仅当x=4x,即x=2时取“=”号,则ymin=1 760.答案:1 76015.已知lg x+lg y=2,则1x+1y的最小值为.
7、解析:lg x+lg y=2,lg xy=2.xy=100.来源:1x+1y=x+yxy2xyxy=2100100=15.当且仅当x=y=10时取“=”号.答案:15来源:学+科+网Z+X+X+K16.若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=.解析:当a-1时,f(x)=|x+1|+2|x-a|=-3x+2a-1,x-1,所以f(x)在(-,a)内是减少的,在(a,+)内是增加的,则f(x)在x=a处取得最小值f(a)=-a-1,由-a-1=5得a=-6,符合a-1;当a-1时,f(x)=|x+1|+2|x-a|=-3x+2a-1,xa.所以f(x)在(-,a)内是减少
8、的,在(a,+)内是增加的,则f(x)在x=a处取最小值f(a)=a+1,由a+1=5,得a=4,符合a-1.综上,实数a的值为-6或4.答案:-6或4三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)求函数y=x2(1-5x)0x15的最大值.解y=52x225-2x=52xx25-2x.0x15,25-2x0.y52x+x+25-2x33=4675,当且仅当x=25-2x,即x=215时取“=”号,故ymax=4675.18.(本小题满分12分)关于x的二次方程x2+6x+|a+2|+|2a-1|=0有实根,求a的取值范围.解原方程有
9、实根,=36-4(|a+2|+|2a-1|)0,|a+2|+|2a-1|9.(1)当a12时,a+2+2a-19,12a83;(2)当-2a12时,a+2+1-2a9,-2a12;(3)当a-2时,-a-2+1-2a9,-103a0,于是a+ba+cb+c,故a2b2c2,1b+c1c+a1a+b.由排序不等式知:a2b+c+b2c+a+c2a+bc2b+c+a2c+a+b2a+b,a2b+c+b2c+a+c2a+bb2b+c+c2c+a+a2a+b,将上面两个同向不等式相加,得2a2b+c+b2c+a+c2a+bb2+c2b+c+c2+a2c+a+a2+b2a+b.21.(本小题满分12分)
10、是否存在常数a,b,c使得等式122+232+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?证明你的结论.解假设存在符合题意的常数a,b,c.在等式122+232+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)中,令n=1,得4=16(a+b+c);令n=2,得22=12(4a+2b+c);令n=3,得70=9a+3b+c.由得a=3,b=11,c=10.于是对于n=1,2,3都有122+232+n(n+1)2=n(n+1)12(3n2+11n+10)成立.利用数学归纳法证明:来源:学_科_网Z_X_X_K(1)当n=1时,由上知等式成立.(2)假设当n=k
11、时等式成立,即122+232+k(k+1)2=k(k+1)12(3k2+11k+10),则当n=k+1时,122+232+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2=k(k+1)12(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(k+1)(k+2)12(3k2+5k+12k+24)=(k+1)(k+2)123(k+1)2+11(k+1)+10,由此可知,当n=k+1时等式成立.综合(1)(2)知,当a=3,b=11,c=10时,等式122+232+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-a|,其中a1.(1)
12、当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=-2x+6,x2,2,2x4,2x-6,x4.当x2时,由f(x)4-|x-4|,得-2x+64,解得x1;当2x4时,由f(x)4-|x-4|,得24,不成立,此时x;当x4时,由f(x)4-|x-4|,得2x-64,解得x5.故f(x)4-|x-4|的解集为x|x1或x5.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x)=|2x|-2|x-2|,则h(x)=-2a,x0,4x-2a,0xa,2a,xa.由|h(x)|2,解得a-12xa+12.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2,故a-12=1,a+12=2,于是a=3.
