1、第二章 基本初等函数()23 幂函数填一填一、幂函数的概念一般地，函数_叫做幂函数，其中_是自变量，_是常数答案：yx x 二、五种基本幂函数的图象与性质答案：定义域：R x|x0 x0值域：R y|y0 R y|y0 y0奇偶性：奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数奇函数单调性：单调递增 单调递增 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减三、函数的图象和性质幂函数 yx(为常数)00图象幂函数 yx(为常数)00图象过点(0,0)和点(1,1)图象都过点(1,1)在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大，即在(0，)上是增函数在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在(0，)上是
2、减函数性质在第一象限内，当 1 时，图象下凸；当 01 时，图象上凸在第一象限内，图象都下凸幂函数 yx(为常数)00性质(1)是奇数时，幂函数为奇函数；是偶数时，幂函数是偶函数(2)幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，必出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内想一想1函数 yx2 与 yx12 在第一象限的图象有什么关系？原因是什么？这种关系可推广到什么范围？答案：函数 yx2 与 yx12 在第一象限的图象关于直线 yx对称，因为 yx2 与 yx12 互为反函数.幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 yx 对称2在第一象限，作直线 xa(a1)，它同各幂函数图象都相交
3、，若按交点从下到上的顺序，对应的幂指数有什么规律？答案：幂指数按从小到大的顺序排列类型 1 幂函数的概念要点点击 1.幂函数解析式的结构特征(1)指数为常数(2)底数是自变量(3)幂 x 的系数为 1.2幂函数与指数函数的比较名称式子常数xy指数函数：yax(a0 且 a1)a 为底数指数幂值幂函数：yx 为指数底数幂值典例 1(1)下列函数：yx3；y12x；y4x2；yx51；y(x1)2；yx；yax(a1)其中幂函数的个数为 ()A1 B2 C3 D4(2)已知幂函数 y(m2m1)xm22m3，求此幂函数的解析式，并指出定义域(1)答案 B解析 为指数函数，中系数不是 1，中解析式为
4、多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数，故选 B.(2)解析 y(m2m1)xm22m3为幂函数，m2m11，解得 m2 或 m1.当 m2 时，m22m33，则 yx3，且有 x0；当 m1 时，m22m30，则 yx0，且有 x0.故所求幂函数的解析式为yx3，x|x0或yx0，x|x0巧归纳 求幂函数解析式的依据和常用方法(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件(2)常用方法：设幂函数解析式为 f(x)x，依据条件求出.练习 1已知函数 f(x)lg(m26)xm(xR)为幂函数，则 f(3)_.答案：9类型 2
5、幂函数的图象及性质的应用要点点击 幂函数三个常用的性质(1)所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，且图象都过点(1,1)(2)0 时，幂函数的图象经过原点，并且在区间(0，)上是增函数特别地，当 a1 时，幂函数的图象下凸；当 0a1 时，幂函数的图象上凸(3)19，则1878 1978，从而8 78 2.5，(2)3(2.5)3.(3)幂函数 yx0.1 在(0，)上为减函数，又1.11.20.1.(4)(4.1)25 125 1，0(3.8)23 1 23 1，(1.9)35 0，(1.9)35(3.8)23(4.1)25.巧归纳 比较大小通常利用函数的单调性，如本题(1)和(2)；不能直
6、接借助函数的单调性的可插入中间量进行比较，如本题(3)练习 3把下列各数按由小到大的顺序排列：223，53 13，233，3223.解：由于数比较多，可考虑先分类，再比较2330,053 13 1，3223 1，而函数 yx23 在(0，)上是增函数，故有 223 3223，所以由小到大的顺序为23353 133223 1，故排除选项 C.2下列命题中正确的是()A当 0 时，函数 yx 的图象是一条直线B幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C若幂函数 yx 的图象关于原点对称，则 yx 在定义域上是增函数D幂函数的图象不可能在第四象限答案：D 解析：当 0 时，函数 yx 的定义域为
7、xR|x0，其图象为两条射线，A 不正确；当 0，R时，yx0，则幂函数的图象都不在第四象限，故 D 正确3函数 yx2 在区间12，2 上的最大值为_答案：4 解析：函数 yx2 在12，2 上是减函数，故该函数在12，2 上的最大值为1224.4若 f(x)是幂函数，且满足f4f23，则 f12 _.答案：13 解析：设 f(x)x(为常数)，又f4f23，则423，23，log23，f12 1212 log2313.5比较大小(1)1.512，1.712；(2)(1.2)3，(1.25)3；(3)5.251，5.261，5.262.解：(1)yx12 在0，)上是增函数，1.51.7.1
8、.512 1.712.(2)yx3 在 R 上是增函数，1.21.25，(1.2)3(1.25)3.(3)yx1 在(0，)上是减函数，5.255.26，5.2515.261；y5.26x 是增函数，12，5.2615.262.综上，5.2515.2615.262.教材习题答案23 幂函数教材习题答案与解析习题 2.31解：设所求幂函数的解析式为 yx.因为过点(2，2)，所以有 22，解得 12，所以所求函数解析式为 yx12(x0)2解：(1)由题意得 vkr4(k0)；(2)将 r3，v400 代入上式得 k40081，故流量速率 v 的表达式为 v40081 r4；(3)将 r5 cm
9、 代入 v40081 r4，得40081 543 086(cm3/s)易错误区 忽视幂函数的解析式和性质而致误示例 已知幂函数 yxm22m3(mN)的图象与坐标轴不相交，且关于 y 轴对称，则 m_.答案 1,3解析 由幂函数 yxm22m3(mN)的图象与坐标轴不相交，得m22m30，由于 mN，解得 m0,1,2,3.当 m0 时，m22m33；当 m1 时，m22m34；当 m2 时，m22m33；当 m3 时，m22m30.其中，当m0，2时，函数 yx3 的图象不关于 y 轴对称；当 m1,3 时，函数 yx4，yx0(x0)的图象关于 y 轴对称，所以 m1,3.防范措施 1.幂函数的解析式的特点幂函数的解析式为 yx，其中 x 是自变量，是实数常数，如本例易忽视 yx0(x0)是幂函数，图象是一条水平的直线(除去点(0,1)2幂函数的图象与性质与幂指数的密切关系本例中，由幂函数的图象与坐标轴不相交，易得幂指数为负数，而容易漏掉函数幂指数为零的情形；幂函数的图象关于 y 轴对称，说明幂函数为偶函数，这时也容易忽视幂指数为零的情形完成课时作业（二十二）完成第二章综合微评谢谢观看！
