1、选修41 几何证明选讲第一节 相似三角形的判定及有关性质 如图，将一块边长为 12 的正方形纸 ABCD 的顶点 A折叠至边上的点 E，使 DE5，折痕为 PQ，求PMMQ.解：如图所示，过 M 作 MNAD 交 DC 于 N，所以DNNEAMME.又因为 AMME，所以 DNNE12DE52.所以 NCNEEC527192.因为 PDMNQC，所以PMMQDNNC52192 519.1利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用 2解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线
2、分线段成比例定理及其推论转化比例式解题如图，梯形 ABCD 中，ADBC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EFAD.(1)求证：OEOF；(2)求OEADOEBC的值(1)证明：ADBC，EFAD EFADBC，OEBCAEAB，OFBCDFDC.EFADBC，AEABDFDC.OEBCOFBC，OEOF.(2)解：OEAD，OEADBEAB.由(1)知，OEBCAEAB.OEADOEBCBEABAEABBEAEAB1.(2016开封模拟)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作BECD，垂足为 E，连结 AE，F 为 AE 上一点，且BFEC.(1)求证：ABFEAD；(2)若 A
3、B4，BAE30，AD3，求 BF 的长(1)证明：ABCD.BAFAED.又BFEC，BFEBFACEDA，BFAADE.ABFEAD.(2)在 RtABE，BAE30，AB4.cos 30ABAE，则 AE8 33.根据(1)知，ABFEAD.则BFADABAE，因此 BFABAEAD3 32.1相似三角形的证明方法：(1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例 2利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用(
4、2015江苏卷)如图，在ABC 中，ABAC，ABC 的外接圆O 的弦 AE 交 BC 于点 D.求证：ABDAEB.证明：因为 ABAC 所以ABDC.又O 是三角形 ABC 的外接圆 EC，从而ABDE.又BAEBAD.故ABDAEB.如图所示，CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上，DFAC，DGBE，F，G 分别为垂足求证：AFACBGBE.证明：因为 CD 垂直平分 AB，所以ADCBDC90，ADDB.在 RtADC 中，因为 DFAC，由射影定理，AD2AFAC.同理，在 RtBDE 中，有 BD2BGBE 从而 AFACBGBE.1利用射影定理解决问题，首先要确定直角边及其射影 2(1)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式(2)注意射影定理与勾股定理的结合应用如图，RtABC 中，BAC90，ADBC 于 D，BE 平分ABC 交 AC 于 E，EFBC 于 F.求证：EFDFBCAC.证明：BAC90，且 ADBC.由射影定理得 AC2CDBC，ACCDBCAC.EFBC，ADBC，EFAD，AEDFACCD.又 BE 平分ABC，且 EAAB，EFBC，AEEF，EFDFACCD.由得EFDFBCAC，即 EFDFBCAC.
