1、第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时跟踪检测一、选择题1下列命题中真命题的个数是()空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示；空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示；空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示A4个 B3个C2个 D1个解析：正确，不正确答案：C2在三棱柱ABCA1B1C1中，D是平面BB1C1C的中心，且a，b，c，则()A.abc BabcC.abc Dabc解析：()()c(bca)abc.答案：D3已知正方体OABCO1A1B1C1的棱长为1，若以，为基底，
2、则向量1的坐标是()A(1,1,1) B(1,0,1)C(1，1，1) D(1,0,1)解析：如图所示，易知，向量1的坐标为(1,1,1)答案：A4如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，现用基向量，表示向量，设xyz，则x，y，z的值分别为()A.， B，C.， D，解析：()().又xyz，x，y，z.答案：D5已知a，b，c是空间向量的一个基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()Aa BbCa2b Da2c解析：解法一：a(pq)，b(pq)，a2bpq，A、B、C中的向量都不能与向量pab，qab构成
3、基底解法二：A、B、C都是与a，b共面的向量，p、q也与a、b共面，故不能构成空间中的基底答案：D6已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z的值为()A1 B1C2 D2解析：由题意知，A，B，C，D四点共面的充要条件是：对空间任一点O，存在实数x1，y1，z1，使得x1y1z1，且x1y1z11，因此可知2x3y4z1.答案：B二、填空题7若a，b，c构成空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x，y，z应满足的条件是_解析：a，b，c构成空间的一个基底，a，b，c是空间不共面的非零向量由xaybzc0知，xyz0
4、.答案：xyz08在空间四边形ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_.解析：，.2，又E为AC的中点，F为BD的中点，0，0，26a6b10c，3a3b5c.答案：3a3b5c9一个向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，则p在ab，ab，c下的坐标为_解析：设px(ab)y(ab)z c(xy)a(xy)bzc.由题意，得解得答案：三、解答题10在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB，AO4，BO2，AA14，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标解：设e1，e2，e3是单位正交基底，则4e1，2e2，4e3，().2e1e2
5、4e3，(2，1，4)().4e12e24e3，(4,2，4)11(2018山西太原高二期末)如图，三棱锥OABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OEOC，记a，b，c.(1)用向量a，b，c表示；(2)求|的最小值解：(1)()abc.(2)因为三棱锥棱长都为1，故a2b2c21，abacbc，所以|2abc22abacbc(1)2，故当时，|取得最小值，且|min.12已知e1，e2，e3为空间的一个基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判断P，A，B，C四点是否共面；(2)能否以，作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能
6、，试以这一基底表示向量.解：(1)假设四点共面，则存在实数x，y，z使xyz，且xyz1，即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)，比较对应项的系数，得到关于x，y，z的方程组解得与xyz1矛盾，故四点不共面(2)若向量，共面，则存在实数m，n，使mn，同(1)可证，这不可能，因此，可以作为空间的一个基底令a，b，c，由e2e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c，联立得到方程组，从中解得所以17530.13(2019山西大同高二检测)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有 ()证明：(1)如图，连接BG，则().由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面(2)因为()，所以EHBD.又因为EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如图所示由(2)知，同理，所以，所以四边形EFGH是平行四边形所以EG，FH交于一点M且被M平分故()()()