1、第三章 函数的应用32 函数模型及其应用32.2 函数模型的应用实例第2课时 已知函数模型与拟合函数模型填一填一、函数模型的应用实例主要包括三个方面1_；2_；3_.答案：1.利用给定的函数模型解决实际问题2建立确定性的函数模型解决问题3建立拟合函数模型解决实际问题二、面临实际问题，自己建立函数模型的步骤1_；2._；3_；4._；5_；6._.答案：1.收集数据 2.描点 3.选择函数模型4求函数模型 5.检验 6.用函数模型解决实际问题想一想函数拟合与预测的一般步骤有哪些？答案：(1)根据原始数据、表格，绘出散点图；(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；(3)求出拟合直线或拟合曲线
2、的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据类型 1 已知函数模型的应用问题典例 1 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x)400 x12x2，0 x400，80 000，x400.其中 x 是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数 f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解析(1)设每月产量为 x 台，则总成本为 20 000100 x，从而 f(x)12x2300 x20 000，0 x400，60 000100
3、 x，x400.(2)当 0 x400 时，f(x)12(x300)225 000，当 x300 时，有最大值 25 000；当 x400 时，f(x)60 000100 x 是减函数，f(x)60 0001004001)，解得 116t5.服药一次治疗疾病的有效时间为 5 1167916(小时)类型 2 自建函数模型的应用问题典例 2 某公司每年需购买某种元件 8 000 个用于组装生产，每年分 n 次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用 500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费 2 元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？解析 设每年购买和贮存元件总
4、费用为 y 元，其中购买成本费为固定投入，设为 c 元，则 y500n28 000n12c500n8 000nc500n16n c500n 4n24 000c，当且仅当 n 4n，即 n4 时，y 取得最小值，且 ymin4 000c.所以分 4 次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低练习 2某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 m2 的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 m，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)(1)写出总造价 y(元)与污水处理池
5、长 x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价解：(1)设污水处理池的长为 x m，则宽为200 x m，总造价为y.y4002x2200 x248200 x 280200800 x324x16 000.0 x16，0200 x 16，12.5x16.故其定义域为12.5,16(2)先讨论 y800 x324x16 000 在12.5,16上的单调性设 x1，x212.5,16，且 x1x2，则y1y2800 x1x23241x11x2800(x1x2)1324x1x2.x1，x212.5,16，x1x2，x1x2162
6、324.1324x1x20，又 x1x20.此函数在12.5,16上单调递减当 x16 时，ymin45 000(元)，此时，宽为20016 m12.5 m.当池长为 16 m，宽为 12.5 m 时，总造价最低为 45 000 元类型 3 拟合函数模型典例 3 某个体经营者把开始六个月试销 A，B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表投资 A 种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.65 1.39 1.8521.84 1.40投资 B 种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79该经营者准备第七个月投入 12 万元经
7、营这两种商品，但不知 A，B 两种商品各投入多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)思路点拨 先作出散点图，根据散点图设出拟合函数，然后检验判定，选择恰当拟合函数解决问题解析 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示观察散点图可以看出，A 种商品所获纯利润 y 与投资额 x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图所示取(4,2)为最高点，则 ya(x4)22(a0)，再把点(1,0.65)代入，得 0.65a(14)22，解得 a0.15，所以
8、 y 0.15(x4)22.B种商品所获纯利润 y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图所示设 ykxb(k0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入，得0.30kb，1.24kb，解得k0.3，b0.所以 y0.3x.设第七个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元，(12x)万元，总利润为 W 万元，那么WyAyB0.15(x4)220.3(12x)，所以 W 0.15(x3)20.1593.2.当 x3 时，W 取最大值，约为 4.6 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元故该经营者下个月把 12 万元中的 3 万元投资 A 种商品，9万元投资 B
9、 种商品，可获得最大利润，约为 4.6 万元巧归纳 依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；(3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题练习 3某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/102 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表：时间 t50110250种植成本 Q150108150(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个
10、函数，描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系；Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本解：(1)由表中数据知，当时间 t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取 Qat2btc 模型即150a502b50c，108a1102b110c，150a2502b250c，解得 a 1200，b32，c4252，Q 1200t232t4252.(2)Q 1200(t150)24252 2252 1200(t150)2100，当 t150 天时，西红柿的种植成本最低，为 100 元/102 kg.当堂达标1某种
11、细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，现有 2 个这样的细胞，分裂 x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的函数关系是()Ay2x By2x1Cy2xDy2x1答案：D 解析：分裂一次后由 2 个变成 2222(个)，分裂两次后 4223(个)，分裂 x 次后 y2x1(个)2某汽车在同一时间内速度 v(km/h)与耗油量 Q(L)之间有近似 的 函 数 关 系：Q 0.002 5v2 0.175v 4.27，则 车 速 为_km/h 时，汽车的耗油量最少答案：35 解析：Q0.002 5v20.175v4.270.002 5(v270v)4.270.002 5(v35)2
12、3524.270.002 5(v35)21.207 5.故 v35 km/h 时，耗油量最少教材习题答案32.2 函数模型的应用实例教材习题答案与解析练习1解：(1)根据马尔萨斯人口增长模型 yy0ert，对于 1650年，y05 亿，r0.003，y5e0.003t.要使人口是 1650 年的 2 倍，则 y10 亿，105e0.003t，t231 年，1881 年世界人口是 1650 年的 2 倍同理对于 1970 年，y036 亿，r0.021，y36e0.021t.令 y72，7236e0.021t，t33 年，2003 年世界人口是 1970 年的 2 倍(2)根据实际情况，对 18
13、50 年得到的结论，公式中的增长速度要小于实际的增长速度，而对 1970 年得到的结论，公式中的增长速度要大于实际的增长速度可见近几十年，各国为控制人口增长而采取了一定的措施，已经有了一定成效，或者此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况2解：由已知，v075，h75t4.9t2.令 h100，75t4.9t2100，即 4.9t275t1000，1.48t13.83，13.831.4812.35(s)v759.8t，0v60.5(m/s)答：子弹保持在 100 m 以上高度的时间约为 12.35 s，在此过程中，子弹速度的范围是 0v60.5.练习1解：(1)y11500.25x(单位
14、：万元)；y2y1x，即 y20.25150 x；y30.35x；y4y3y10.35x0.25x150，y40.1x150.(2)图略令 y40，x1 500，当总产量大于 1 500 件时，公司赢利；当总产量小于 1 500 件时，公司亏本；当 x1 500 件时，公司不赔不赚点评：此题把函数 y4 分解成了几个函数的组合，实际上是给我们提供了解题思路，同学们应掌握这种把难题分解成若干部分的做法2解：对于甲选择的模型 yax2bxc，代入数据：(1,52)，(2,61)，(3,68)，52abc，614a2bc，689a3bc，得a1，b12，c41.yx212x41.检验x4时，x5时，
15、x6时，y73；y76；y77.当 x6 时偏差较大对于乙选择的模型 ypqxr，代入数据得52pqr，61pq2r，68pq3r.p72914，q79，r1852.y72914 79x1852.检验 x4时，x5时，x6时，y73.44；y77.68；y80.97.与实际数据相差都不算太大，乙选择的模型较好习题 3.2A 组1解：根据表中数据画出散点图如图根据点的分布特征，可以考虑以 xkFb 作为刻画长度与拉力的函数模型，取两组数据(1,14.2)，(4,57.5)有kb14.2，4kb57.5，解得k14.4，b0.2.所以 x14.4F0.2.2解：由 20602a，得 a 203 6
16、00，由 50 203 600 x2，得 x30 10.30 10100，这辆车没有超速行驶3解：根据题意，汽车离开 A 地的距离 x km 表示为时间 t h的函数解析式是 x60t 0t2.5，150 2.5t3.5，15050t 3.5t6.5.函数图象如图.汽车的速率 v km/h 表示为时间 t h 的函数解析式是v60050 0t2.5，2.5t3.5，3.5t6.5.函数图象如图.4解：设水池底的长、宽分别为 x m，y m(xy)，总造价为w 万元，根据题意得 xy1 2006200，y200 x.底面积为 200 m2，侧面积为(2x2y)612(xy)(m2)，总造价 w1
17、2(xy)95200135，w1 140 x200 x27 000.要使总造价 w70 000，则 1 140 x200 x27 00070 000.x0，114x24 300 x22 8000，可得 x 的大致取值范围为(6.4,31.3)又 xy，x200 x，14.1x31.3.此时 6.4y14.1.故水池的长在(14.1,31.3(m)，宽在6.4,14.1)m 范围内变化时，总造价可控制在 7 万元以内5解：ycekx，当海拔为 2 400 m 时大气压为 0.90105Pa，当海拔为 0 m 时大气压为 1.01105 Pa，把两组数据代入解析式得1.01105ce0，0.901
18、05ce2 400k，解得c1.01105，k4.8105.y1.01105e0.000 048x.当攀登到海拔为 5 596 m，即 x5 596 时，y0.772105 Pa.0.7721050.775105，这位游客的决定是冒险的决定6解：由题意得，血液中含药量与注射后的时间 t 的关系式为 y2 500(120%)t，则由 5002 500810t1 500，得 2.3t7.2.故应该在用药 2.3 小时后、7.2 小时以前补充药B 组1解：(1)取自变量 x 为 0,1，10，对应年份为1990,1991，,2000，描点得函数图象如图(2)根据图象，取函数模型 yabx，取两组数据
19、：(2,26 651.9)，(8,76 967.1)，代入 yabx，得26 651.9ab2，76 967.1ab8，得 a18 715.55，b1.19.故函数模型为 y18 715.551.19x.代入其他数据，差距较大再取函数模型 ykxb，取两组数据(4,46 670.0)，(8，76 967.1)，代入 ykxb，得46 670.04kb，76 967.18kbk7 574.275，b16 372.9.故函数模型为 y7 574.275x16 372.9.代入其他数据可知此模型拟合程度较高，说明它能较好地反映国内生产总值的发展变化(3)求 2004 年国内生产总值，即求 x14 时
20、的 y 值，y7 574.2751416 372.9122 412.75.故可预测 2004 年的国内生产总值为 122 412.75 亿元2解：(1)点 A，B 的实际意义为：当乘客量为 0 时，亏损1(单位)；当乘客量为 1.5 单位时，收支平衡；射线 AB 上的点的实际意义是当乘客量小于 1.5 单位时公司亏本，当乘客量大于 1.5单位时公司赢利(2)图(2)的建议是：降低成本而保持票价不变；图(3)的建议是：提高票价而保持成本不变规范解答 待定系数法的应用示例 甲、乙两人连续 6 年对某县农村甲鱼养殖业的规律(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到如下两图甲调查表明：每个甲鱼
21、池平均出产量从第一年 1 万只甲鱼上升到第六年 2 万只；乙调查表明，甲鱼池个数由第一年 30 个减少到第六年 10 个请你根据提供的信息说明：(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第六年，这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由解题流程规范解答(1)年份用 x 表示，第一年即 x1，每个甲鱼池的平均产量用 y1 表示，甲鱼池的个数用 y2 表示由图象可知，y1 和 y2 关于年份 x 的函数图象都是直线，故设y1k1xb1，y2k2xb2.由题意知，直线 y1k1xb1 经过点(1,1)和(6,2)，(2)第一年出产甲鱼总数
22、为 13030(万只)名师批注：养殖规模就是总产量，而总产量平均产量甲鱼池个数，因此有 13030(万只)第六年出产甲鱼总数为21020(万只)，故规模缩小了(3)设第 x 年规模最大，即求y1y20.2(x4)4x172 0.8x23.6x27.2 的最大值当 x3.620.8942 时，名师批注：二次函数 f(x)0.8x23.6x27.2，开口向下，对数轴为 x94，故在 x94时，f(x)取最大值，但由于年份 x 只能取整数，距离94最近的整数为 2，故取 x2.上式取最大值为0.843.6227.231.2.第二年规模最大，为 31.2 万只完成课时作业（二十七）完成第三章综合微评完成本册综合微评谢谢观看！