1、第三部分技巧分类3.1 中线倍长法 【例题】求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求证：AD 21 (AB+AC)分析：要证明 AD 21(AB+AC)，就是证明 AB+AC2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论 AB+AC2AD 中，出现了 2AD，即中线 AD 应该加倍。证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连 CE，则 AE=2AD。在ADB 和EDC 中，ADBEDC(SAS)AB
2、=CE 又 在ACE 中，AC+CEAE AC+AB2AD，即 AD 21 (AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC 和两个角BAD 和CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。课题练习:ABC中，AD 是BAC的平分线，且 BD=CD，求证 AB=AC AD=DEADB=EDCBD=DCBCDAECDAB【模型整理】ABC 中，AD 是 BC 边中线 方式 1：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE 方式 2：间接倍长 （1）作 CFAD 于 F，作 BEAD 的延长线于 E 连接 BE （
3、2）延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CN DABCEDABCFEDCBANDCBAM随堂精炼（1）ABC 中，AB=5，AC=3，求中线 AD 的取值范围 （2）已知在ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CE （3）已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE交 AC 于 F，求证：AF=EF （4）已知：如图，在 ABC中，ACAB，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作BADF/交 AE 于点 F，DF=AC.求证：AE 平分BAC （5
4、）已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=BAE FEDABCFECABD第 1 题图ABFDECEDABC 课后作业：1、在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 2、已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC于 T，过 D 作 DE/AB 交 BC 于 E，求证：CT=BE.FEABCDDABCMTE3：已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且
5、BE=AC，延长 BE交 AC 于 F，求证：AF=EF 4：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=BAE 5、在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 FEDABCEDABCFEABCD3.2 截长补短法【例题】已知，如图 1-1，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=DC，BD 平分ABC.求证：BAD+BCD=180.分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题
6、的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E，作 DFBC 于点F，如图 1-2 BD 平分ABC，DE=DF，在 RtADE 与 RtCDF 中，CDADDFDE RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=180 FEDCBA图 1-2例1.如图 2-1，ADBC，点 E 在线段 AB 上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.ADBCE图 2-1例2.已知，如图 3-1，1=2，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于点 D，AB+BC=2
7、BD.求证：BAP+BCP=180.例3.已知：如图 4-1，在ABC 中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.作业：1、已知：如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE.求证：BE+DF=AE.ABCDP12N图 3-1DCBA1 2图 4-1FEDCBA2、五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD 平分CDE 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。【例题】：如图 1：已知 AD 为ABC 的中线，且12,34,求证：BECFEF。ABCDEFN1图12 3 4CEDBA3.3 手拉手模型【例 题】两 个 等 腰 三 角
8、形ABD与BCE，其 中BDAB,EBCB CBEABD,连结 AE 与CD，问：（1）DBCABE是否成立？（2）AE 是否与CD相等？（3）AE 与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分AHC？拓展：在凸四边形 ABCD中，60ABC，ABBC，30ADC。证明：222ADCDBD。CDAB分析：待证结论让我们联想到勾股定理，需要通过添加辅助线将 AD、CD（作为直角边）和 BD（作为斜边）集中到一个直角三角形里。图 1 图 2 证明 1：如图 1，过 D 作 DEDA，且使得 EDCD，连接 AE、CE、AC Q903060CDEADEADC CDE是等边三角形 CECD，60DCE
9、 Q60ABC，ABBC ABC是等边三角形 ACBC，60BCA ACEACDDCEACDBCABCD ACE BCD（SAS）AEBD 在 Rt ADE中，222ADEDAE 222ADCDBD 评注：意外的是，添加辅助线后原图回到了一个经典（老）问题的图上两个有公共顶点的等边三角形（不看 AD，试试？）！另外，也可以按如下方式作辅助线：如图 ECBADECBAD2，过 D 作 DEDC，且使得 EDAD，连接CE、AE、AC（过程基本同证明 1，不赘述）。图 3 图 4 证明 2：如图 3，过C 作CECD，且使得CEAD，连接 DE、BE Q360360BCEECDBCDABCADCB
10、CDBAD BCBA BCE BAD（SAS）BEBD，CBEABD 60DBEABC DBE是等边三角形 EDBD 在 Rt DCE中，222CECDED 222ADCDBD ECBADECBAD【例1】如图,已知:等腰 RtOAB 中,AOB=900,等腰 RtEOF 中,EOF=900,连结 AE、BF.求证:AE=BF;.【巩固】如图，等边三角形 ABC与等边 DEC共顶点于 C 点求证：AEBD DECBA【巩固】如图，ABD和 CED均为等边三角形，ACBC，ACBC若2BE，则求 CD 【巩固】如图，四边形 ABCD、DEFG都是正方形，连接 AE、CG 求证：AECG（2）AE
11、CG GFEDCBA图6DECBA综合讲解.如图在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形 ABD与 BCE，连结AE 与CD，证明（1）DBCABE（2）DCAE （3）AE 与 DC 之间的夹角为60 （4）DFBAGB（5）CFBEGB（6）BH 平分AHC（7）ACGF/变式精练 1：如图两个等边三角形 ABD与 BCE，连结 AE 与CD，证明（1）DBCABE（2）DCAE （3）AE 与 DC 之间的夹角为60 （4）AE 与 DC 的交点设为 H,BH 平分AHC 变式精练 2：如图两个等边三角形 ABD与 BCE，连结 AE 与CD，证明（1）DBCABE(2）DCAE (3）
12、AE 与 DC 之间的夹角为60 (4）AE 与 DC 的交点设为 H,BH 平分AHC 例 2：如图，两个正方形 ABCD 与 DEFG,连结CEAG,二者相交于点 H 问：（1）CDEADG是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE？例 3：如图两个等腰直角三角形 ADC 与 EDG，连结CEAG,二者相交于点 H 问：（1）CDEADG是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE？3.4 母子型相似三角形 例 1：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、
13、BD 交于点 O，BECD 交 CA 延长线于 E 求证：OEOAOC2 例 2：已知：如图，ABC 中，点 E 在中线 AD 上,ABCDEB 求证：（1）DADEDB2；（2）DACDCE ACDEB相关练习：1、如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证：FCFBFD2 2、已知：AD 是 RtABC 中A 的平分线，C=90，EF 是 AD 的垂直平分线交AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点 N。求证：(1)AMENMD;(2)ND2=NCNB GMFEHDCBA3、已知：如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 上一点，CFBE 于 F
14、。求证：EBDF=AEDB 4.在中，AB=AC，高AD与BE交于H，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：ABCEF BCGBM905（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）、（3）小题满分各 5 分）已知：如图，在 RtABC 中，C=90，BC=2，AC=4，P 是斜边 AB 上的一个动点，PDAB，交边 AC 于点 D（点 D 与点 A、C 都不重合），E 是射线 DC 上一点，且EPD=A设 A、P 两点的距离为 x，BEP 的面积为 y（1）求证：AE=2PE；（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP 与ABC 相
15、似时，求BEP 的面积 ACBPDE3.5 双垂型 1、如图，在ABC 中，A=60，BD、CE 分别是 AC、AB 上的高 求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED 2、如图，已知锐角ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别是 27 和 3，DE=62，求：点 B 到直线 AC 的距离。EDABCDEABC3.6 共享型相似三角形 1、ABC 是等边三角形,D、B、C、E 在一条直线上,DAE=120，已知 BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.2、已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC，DAE=45 求证：（1）ABEA
16、CD；（2）CDBEBC 22 ABCDEEDCAB3.7 一线三等角型相似三角形 例 1：如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 例 2：（1）在 ABC中，5 ACAB，8BC，点 P、Q 分别在射线CB、AC上（点 P 不与点C、点 B 重合），且保持ABCAPQ.若点 P 在线段CB 上（如图），且6BP，求线段CQ 的长；若xBP，yCQ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形 ABCD 的边长为5（如下图），点 P、Q 分别在直线CB、DC 上（点P 不与点C
17、、点 B 重合），且保持90APQ.当1CQ时，求出线段 BP 的长.ABC备用图ABCDCADBEFABCDABCPQABC备用图ABCD例 3：已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 AD5，ABDC2（1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足BPCA 求证；ABPDPC 求 AP 的长 （2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足BPEA，PE交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么 当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 APx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长 例
18、 4：如图，在梯形 ABCD 中，AD BC，6ABCDBC，3AD 点 M为边 BC 的中点，以 M 为顶点作EMFB ，射线 ME 交腰 AB 于点 E，射线 MF交腰CD 于点 F，联结 EF （1）求证：MEF BEM；（2）若 BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求 EF 的长；（3）若 EFCD，求 BE 的长 CBADCDABP相关练习：1、如图，在ABC 中，8 ACAB，10BC，D 是 BC 边上的一个动点，点 E在 AC 边上，且CADE(1)求证：ABDDCE；(2)如果xBD，yAE，求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的定义域；(3)当点 D 是 BC
19、 的中点时，试说明ADE 是什么三角形，并说明理由 2、如图，已知在ABC 中，AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动点，联结 DE，并作DEFB ，射线 EF 交线段 AC 于 F（1）求证：DBEECF；（2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长；（3）联结 DF，如果DEF 与DBE 相似，求 FC 的长 FBACDEABCDE3、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC=6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点 （1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点 P 在 BC 边上移动（
20、点 P 与点 B、C 不重合），且满足EPF=C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么 当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP=x，DF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当BEPDMFSS 49时，求 BP 的长 EDCBAP EDCBA（备用图）4、如图，已知边长为 3 的等边ABC，点 F 在边 BC 上，CF=1，点 E 是射线 BA 上一动点，以线段 EF 为边向右侧作等边EFG，直线 EG,FG 交直线 AC 于点 M,N，（1）写出图中与BEF 相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设 BE=x,MN=y，求 y
21、 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（4）若 AE=1，试求GMN 的面积 3.8 一线三直角型相似三角形 例 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P 作CPPE，交边 AB 于点 E,设yAExPD,，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围。例 2、在 ABC中，OBCACC,3,4,90o是 AB 上的一点，且52ABAO，点P 是 AC 上的一个动点，OPPQ 交线段 BC 于点 Q，（不与点 B,C 重合），设yCQxAP,，试求 y 关于 x 的函数关系，并写出定义域。QC
22、BAOPEBCADP【练习 1】在直角 ABC中，43tan,5,90BABCo，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，DEDF 交射线 AC 于点 F（1）、求 AC 和 BC 的长（2）、当BCEF/时，求 BE 的长。（3）、连结 EF,当 DEF和 ABC相似时，求 BE 的长。FDCBAE【练习 2】在直角三角形 ABC 中，DBCABC,90o是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边上的一个动点，（与 A,C 不重合），DFDEDF,与射线 BC 相交于点 F.(1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证：DFDE (2)、当mDBAD，求 DFDE 的值（3）、
23、当21,6DBADBCAC，设yBFxAE,求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域 FABCDEFABCDE【练习 4】如图，在 ABC中，90C，6AC，3tan4B，D 是 BC 边的中点，E 为 AB 边上的一个动点，作90DEF，EF 交射线 BC 于点 F 设BEx，BED的面积为 y （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）如果以 B、E、F 为顶点的三角形与 BED相似，求 BED的面积.QPDCBAQPDCBA【练习 5】如 图,在 梯 形 ABCD 中，CDAB,34tan,4,2CADAB，PDABADC,900是腰 BC 上一个动点(不含点 B、C),作APPQ 交CD于点Q.(图 1)(1)求 BC 的长与梯形 ABCD 的面积；(2)当DQPQ 时,求 BP 的长；(图 2)(3)设yCQxBP,试求 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域.（图 1）（图 2）