1、高一数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合交集定义,即可求解.【详解】集合,由交集运算可得故选:A【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.2.若角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义，可以直接求到本题答案.【详解】因为点在角终边上，所以.故选：B【点睛】本题主要考查利用任意角的三角函数的定义求值.3.已知过点的直线的倾斜角为，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答
2、案】B【解析】【分析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率，又直线过点，由直线方程的点斜式可得直线的方程为，即故选B【点睛】本题考查直线点斜式方程，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题4.某高级中学共有学生3000人,其中高二年级有学生800人,高三年级有学生1200人,为了调查学生课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（ ）A. 20B. 25C. 30D. 35【答案】B【解析】【分析】通过计算三个年级的人数比例，于是可得答案.【详解】抽取比例为，高一年级有人，所以高一年级应被抽取的
3、人数为.【点睛】本题主要考查分层抽样的相关计算，难度很小.5.已知向量，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可.【详解】因为，所以与的夹角为.故选：D.【点睛】本题主要考查向量的夹角的运算，以及运用向量的数量积运算和向量的模.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】由，则只需将函数的图象向左平移个单位长度.【详解】解：因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.故选：C.【点睛】
4、本题考查了三角函数图像的平移变换，属基础题.7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式可得，结合，可求出的值.【详解】因为，所以，又因为，所以.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.8.边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻，大约有80粒落在阴影区域内，则此阴影区域的面积约为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意得，豆子落在阴影区域内的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比，即可求出结果.【详解】设阴影区域的面积为，由题意可得，则.故选：B.【点睛】本题考查随机模拟实验，
5、根据几何概型的意义进行模拟实验计算阴影部分面积，关键在于掌握几何概型的计算公式.9.已知，则的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件，先求出函数的周期，由于，即可求出值域.【详解】因为，所以，又因为，所以当时，；当时，；当时，所以的值域为.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的值域，利用了正弦函数的周期性.10.某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别依次写出每次循环所得答案，再与输出结果比较，得到答案.【详解】由程序框图可知，第一次循环后，；第二次循环后，；第三次循环
6、后，；第四次循环后，；第五次循环后，此时，则图中空白处应填的是点睛】本题主要考查循环结构由输出结果计算判断条件，难度不大.11.已知的三个顶点都在一个球面上，且该球的球心到平面的距离为2，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先算出的外接圆的半径，然后根据勾股定理可得球的半径，由此即可得到本题答案.【详解】设点O为球心，因为，所以的外接圆的圆心为AC的中点M，且半径，又因为该球的球心到平面的距离为2，即，在中，所以该球的半径为，则该球的表面积为.故选：C【点睛】本题主要考查球的表面积的相关问题.12.已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）A. B.
7、 C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题得，再由题分析得到，解不等式分析即得解.【详解】因为，所以因为在区间内没有零点，所以，解得，因为，所以因为，所以或当时，；当时，故选B【点睛】本题主要考查三角函数的零点问题和三角函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若函数，则_【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式先求，再求即可.【详解】因为，所以.【点睛】本题主要考查了分段函数求值问题，解题的关键是将自变量代入相应范围的解析式中，属于基础题.14.一组数据2，4，5，7，9的众数是7
8、，则这组数据的中位数是_【答案】6【解析】【分析】由题得x=7，再利用中位数的公式求这组数据的中位数.【详解】因为数据2，4，5，7，9的众数是7，所以，则这组数据的中位数是故答案为6【点睛】本题主要考查众数的概念和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15._.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式以及正弦差角公式化简式子，之后利用特殊角的三角函数值直接计算即可.【详解】 .故答案为【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，差角正弦公式，特殊角的三角函数值，属于简单题目.16.已知点是所在平面内的一点，若，则_【答案】【解析】【分析】设为
9、的中点，为的中点，为的中点，由得到，再进一步分析即得解.【详解】如图，设为的中点，为的中点，为的中点，因为，所以可得，整理得.又，所以，所以，又，所以故答案为【点睛】本题主要考查向量的运算法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解答本题的关键是作辅助线，属于中档题.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答本题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知（1）化简；（2）若，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即得；（2）利用同角的平方关系求出的值，即得解.【详解】解：（1）（2）因为，且，所以，所以【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数
10、求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.18.某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了 50名学生的成绩（满分100分，且抽取的学生成绩都在内），按成绩分为，五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）用分层抽样的方法从月考成绩在内的学生中抽取6人，求分别抽取月考成绩在和内的学生多少人； （2）在（1）的前提下，从这6名学生中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率.【答案】（1）有4人，有2人；（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图，求出成绩在和内的频率的比值，再按比例抽取即可；（2）由古典概型的概率的求法，先求出从这6名学生中随机
11、抽取2名学生的所有不同取法，再求出被抽到的学生至少有1名月考成绩在内的不同取法，再求解即可.【详解】解：（1）因为，所以，则月考成绩在内的学生有人；月考成绩在内的学生有人，则成绩在和内的频率的比值为， 故用分层抽样的方法从月考成绩在内的学生中抽取4人，从月考成绩在内的学生中抽取2人.（2）由（1）可知，被抽取的6人中有4人的月考成绩在内，分别记为，；有2人的月考成绩在内，分别记为，.则从这6名学生中随机抽取2名学生的情况为，共15种；被抽到的学生至少有1名月考成绩在内的情况为，共9种.故月考成绩内至少有1名学生被抽到的概率为.【点睛】本题考查了分层抽样，重点考查了古典概型概率的求法，属中档题.
12、19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求不等式的解集.【答案】（1），；（2），【解析】【分析】（1）由余弦函数单调区间的求法，解不等式即可得解；（2）解三角不等式即可得解.【详解】解：解：（1）令，解得，故的单调递增区间为，.（2）因为，所以，即，所以，解得，.故不等式的解集为，.【点睛】本题考查了余弦函数单调区间的求法，重点考查了三角不等式的解法，属基础题.20.在直角坐标系中，已知以点为圆心的及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由圆的方程求得圆
13、心坐标和半径，依题意可设圆的方程为，由圆与圆外切可知圆心距等于两圆半径的和，由此列式可求得，即可得出圆的标准方程；（2）求出所在直线的斜率，设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列式求得，则直线方程即可求出.【详解】（1）因圆为，所以圆心的坐标为，半径.根据题意，设圆的方程为.又因为圆与圆外切，所以，解得，所以圆的标准方程为.（2）由题意可知，所以可设直线的方程为.又，所以圆心到直线的距离，即，解得或，所以直线的方程为或.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，其中运用了两圆外切时，圆心距等于两圆的半径之和，还涉及到圆的方程、直线的方程和点到直线的距离公式.21
14、.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若，求当时自变量的取值集合.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由辅助角公式可得，再求周期即可；（2）由求出，再解方程即可.【详解】解：（1），则的最小正周期为.（2）因为，所以，即，解得.因为，所以.因为，所以，即，则或，解得或.故当时，自变量的取值集合为或.【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题.22.已知函数，的部分图像如图所示，点，都在的图象上.（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三角函数图像，求出即可； （2）求出函数的值域，再列不等式组求解即可.【详解】解：（1）由的图象可知，则，因为，所以，故.因为在函数的图象上，所以，所以，即，因为，所以.因为点在函数的图象上，所以，解得，故.（2）因为，所以，所以，则.因为，所以，所以，解得.故的取值范围为.【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.