1、第三讲 思想方法与规范解答（三）1函数与方程思想函数与方程思想在数列中的应用主要体现在：(1)等差、等比数列基本元素的计算，尤其是“知三求二”，注意消元的方法及整体代换的运用；(2)数列本身是定义域为正整数集或其有限子集的函数，在解决数列问题时，应有函数与方程思想求解的意识例1(2012年郑州模拟)已知等差数列an满足：a59，a2a614.(1)求an的通项公式；(2)若bnanqan(q0)，求数列bn的前n项和Sn.解析(1)设数列an的首项为 a1，公差为 d，则由 a59，a2a614，得a14d9，2a16d14，解得a11，d2，所以an的通项 an2n1.(2)由 an2n1
2、得 bn2n1q2n1.当 q0 且 q1 时，Sn135(2n1)(q1q3q5q2n1)n2q（1q2n）1q2；当 q1 时，bn2n，则 Snn(n1)所以数列bn的前 n 项和Snn（n1），q1，n2q（1q2n）1q2，q0且q1.已知两个等比数列an，bn满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值解析：(1)设数列an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)，即q24q20，解得q12，q22所以数列an的通项公式为an(2)
3、n1或an(2)n1.2.(2)设数列an的公比为 q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)得 aq24aq3a10.(*)由 a0 得 4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根由数列an唯一，知方程(*)必有一根为 0，代入(*)得 a13.2分类讨论思想数列中的讨论问题常见类型(1)求和分段讨论：知道数列an的前n项和Sn，求数列|an|的前n项和；(2)对等比数列的公比讨论：求等比数列前n项和问题中对公比q1和q1进行讨论；(3)对项数的奇偶讨论：与数列有关的求通项或求前n项和问题中对项数n的奇偶进行讨论例2(2012年高考湖北卷)已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)
4、求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解析(1)设等差数列an的公差为 d，则 a2a1d，a3a12d.由题意得3a13d3，a1（a1d）（a12d）8，解得a12，d3，或a14，d3.所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5，或 an43(n1)3n7.故 an3n5，或 an3n7.(2)当 an3n5 时，a2，a3，a1分别为1，4，2，不成等比数列；当 an3n7 时，a2，a3，a1分别为1，2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|3n7，n1，2，3n7，n3.记数列|an|的前 n 项和为 Sn.当 n1 时，
5、S1|a1|4；当 n2 时，S2|a1|a2|5；当 n3 时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5（n2）2（3n7）232n2112 n10.当 n2 时，满足此式综上，Sn4，n1，32n2112 n10，n1.在等比数列an中，设前 n 项和为 Sn，xS2nS22n，ySn(S2nS3n)，试比较 x 与 y 的大小解析：设等比数列的首项为 a1，公比为 q，则当 q1 时，Snna1，x(na1)2(2na1)25n2a21，yna1(2na13na1)5n2a21，xy；当 q1 时，Sna1（1qn）1q，xa1（1qn）1q2a1（1q2n）1q2
6、(a11q)2(1qn)2(1q2n)2(a11q)2(q4nq2n2qn2)，ya1（1qn）1qa1（1q2n）1qa1（1q3n）1q(a11q)2(q4nq2n2qn2)，xy，综上可知 xy.高考对本专题的考查各种题型都有，在选择填空中主要考查等差、等比数列的基本问题，在解答题中主要考查，由递推关系求通项及数列求和问题，同时综合考查数列与不等式，函数的综合应用，难度中档偏上【押题】已知数列an的前 n 项和为 Sn，a114，且 SnSn1an112(nN*，n2)，数列bn满足：b11194，且 3bnbn1n(n2，且 nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bnan
7、为等比数列；(3)求数列bn的前 n 项和的最小值【解析】(1)由 SnSn1an112得 SnSn1an112，即 anan112(nN*，n2)，则数列an是以12为公差的等差数列，ana1(n1)1212n14(nN*)(2)证明：3bnbn1n(n2)，bn13bn113n(n2)，bnan13bn113n12n1413bn116n1413(bn112n34)(n2)，bn1an1bn112(n1)14bn112n34(n2)，bnan13(bn1an1)(n2)，b1a1300，bnanbn1an113(n2)，数列bnan是以30 为首项，13为公比的等比数列(3)由(2)得 bn
8、an30(13)n1，bnan30(13)n112n1430(13)n1.bnbn 112n1430(13)n 112(n1)1430(13)n 21230(13)n2(113)1220(13)n20(n2)，数列bn是递增数列当 n1 时，b11194 0；当 n2 时，b234100；当 n3 时，b354103 0，数列bn从第 4 项起各项均大于 0，故数列bn的前 3 项之和最小，记数列bn的前 n 项和为 Tn，则 T31194(3410)(54103)49312.bnbn 112n1430(13)n 112(n1)1430(13)n 21230(13)n2(113)1220(13)n20(n2)，数列bn是递增数列当 n1 时，b11194 0；当 n2 时，b234100；当 n3 时，b354103 0，数列bn从第 4 项起各项均大于 0，故数列bn的前 3 项之和最小，记数列bn的前 n 项和为 Tn，则 T31194(3410)(54103)49312.本小节结束请按ESC键返回