1、第三章单元质量评估一、选择题(每小题5分，共60分)1函数f(x)x23x2的零点是(B)A(1,0)，(2,0) B1,2C(1,0)，(2,0) D1，2解析：令f(x)0，即方程x23x20，解得x1或x2，零点是数值而不是点，故选B.2函数yf(x)在区间(2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)0在(2,2)上仅有一个实根0，则f(1)f(1)的值(D)A大于0 B小于0C等于0 D无法确定解析：由题意，知f(x)在(1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，f(1)f(1)的符号不确定，如f(x)x2，f(x)x.3已知函数f(x)log2x.在下列区间中，包含
2、f(x)零点的区间是(C)A(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)解析：由题意知f(1)log2160，f(2)log223120，f(4)log2420.故f(2)f(4)0，f(2)12ln2lneln40，由零点存在性定理可知所求区间为(1,2)5设f(x)3x3x8，若用二分法求方程3x3x80在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)0，则方程的根所在的区间为(B)A(1,1.25) B(1.25,1.5)C(1.5,2) D不能确定解析：f(1)0，f(1.25)0，f(1.5)f(1.25)f(b)0，则函数f(x)的区间(a，b)内(C)A一定无零
3、点 B一定有零点C可能有两个零点 D至多有一个零点解析：根据二次函数的图象可知选项C正确7从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1 L酒精，然后用水填满，再倒出1 L混合溶液，再用水填满，这样继续下去，如果倒第k次(k1)时，共倒出纯酒精x L，倒第(k1)次时，共倒出纯酒精f(x) L，那么f(x)的表达式为(假设酒精与水混合后相对体积不变)(B)Af(x)x Bf(x)x1Cf(x)x Df(x)x1解析：当k1时，即第一次倒出纯酒精1 L，加满水后，此时溶液浓度为，第二次倒出纯酒精1 (L)，这两次共倒出纯酒精为 L，所以第k次共倒出纯酒精x12k1，第(k1)次共倒出纯酒精f(x)12kx1
4、.8某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(B)A6升 B8升C10升 D12升解析：因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 60035 000600(千米)耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.9某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(D)A. B.C.
5、 D.1解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1p)(1q)aa(1x)2，解得x1，故选D.10设a是函数f(x)2xlogx的零点，若x0a，则(B)Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)a时，2x0logx0，故f(x0)0.11若方程lnxx40在区间(a，b)(a，bZ，且ba1)上有一根，则a的值为(B)A1 B2C3 D4解析：设f(x)lnxx4，f(2)ln220，f(2)f(3)0，根在区间(2,3)内，故a2.选B.12已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR.若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(D)A(，) B(，)C(0，)
6、D(，2)解析：函数yf(x)g(x)恰有4个零点，即方程f(x)g(x)0，即bf(x)f(2x)有4个不同的实数根，即直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点又yf(x)f(2x)作出该函数的图象如图所示，由图可得，当b2时，直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点，故函数yf(x)g(x)恰有4个零点时，b的取值范围是(，2)二、填空题(每小题5分，共20分)13已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：x123456f(x)136.13515.5523.9210.8852.488232.064可以看出函数f(x)至少有3个零点
7、解析：由已知数据可知f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是(1,_)解析：f(x)axxa的零点即是方程axxa0的根，即yax与yxa图象的交点的横坐标，画0a1两种情况的图象(图略)，知a1时，yax与yxa有2个交点a1.16设函数f(x)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是，1)2，)解析：当a1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21a0，即a2，所以a2；当a1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得a1.综上，实数a的取值范围为，1)2，)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分
8、)(1)判断函数f(x)x3x1在区间1，2上是否存在零点；(2)求函数yx3的零点解：(1)f(1)10，f(1)f(2)0时，f(x)lnx2x6，试判断函数f(x)的零点个数解：方法一：当x0，f(x)ln(x)2x6，又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)ln(x)2x6.故函数f(x)的解析式为f(x)令f(x)0易得函数f(x)有3个零点方法二：当x0时，在同一坐标系中作出函数ylnx和y62x的图象如图所示，易知两函数图象只有1个交点，即当x0时，函数f(x)有1个零点由f(x)为定义在R上的奇函数，可知f(0)0，且图象关于原点对称，则当x0时，函数f(x)有1个零点综上可知
9、，f(x)在R上有3个零点19(12分)已知二次函数f(x)x2bxc，且方程f(x)40有唯一解x1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间a，a4上存在零点，求实数a的取值范围解：(1)方程f(x)40有唯一解x1，即一元二次方程x2bxc40有唯一解x1，则所以f(x)x22x3.(2)结合(1)易知函数f(x)的零点为1,3.当1a，a4时，5a1；当3a，a4时，1a3.故实数a的取值范围为5,320(12分)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服药后y
10、与t之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病有效的时间解：(1)当0t1时 ，y4t；当t1时，yta，此时M(1,4)在曲线上，故41a，解得a3，即yt3.故yf(t)(2)因为f(t)0.25，则解得所以t5，因此服药一次治疗疾病有效的时间为54(h)21(12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)(x2)22.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)k0有四个解，求实数k的取值范围解：(1)由于f(x)为定义在R上的偶函数，则f
11、(x)f(x)，若x0，f(x)f(x)(x2)22(x2)22，则f(x)(2)图象如图所示：(3)由于方程f(x)k0的解就是函数yf(x)的图象与直线yk的交点的横坐标，观察函数yf(x)的图象可知，当2k2时，函数yf(x)的图象与直线yk有四个交点，即方程f(x)k0有四个解22(12分)人们对声音有不同的感觉，这与它的强度I(单位：W/m2)有关系但在实际测量时，常用声音的强度水平L1(单位：dB)表示，它满足公式：L110lg(L10，其中I011012W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)根据以上材料，回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是11012W/m2，耳
12、语声的强度是11010W/m2，无线电广播声的强度是1108W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50 dB以下，试求声音的强度I的范围是多少？解：(1)由题意可知，树叶沙沙声的强度是I111012W/m2，则1，所以LI110lg10，即树叶沙沙声的强度水平为0 dB.耳语声的强度是I211010W/m2，则102，所以LI210lg10220，即耳语声的强度水平为20 dB.无线电广播声的强度是I31108 W/m2，则104，所以LI310lg10440，即无线电广播声的强度水平为40 dB.(2)由题意知，0L150，即010lg50，所以1105，即1012I107.所以小区内公共场所的声音的强度I的范围为大于或等于1012W/m2，同时应小于107W/m2.