1、1.与正方体ABCD的三条棱AB 、CC 、A所在直线的距离相等的点( ) A.有且只有1个B.有且只有2个 C.有且只有3个D.有无数个 答案:D 解析:经验证线段上的点B,D,中点,四等分点均满足题意,故由排除法知应有无数个点. 2.直三棱柱ABC中,若则异面直线与所成的角等于 ( ) A.30B.45C.60D.90 答案:C 解析:不妨设AB=AC=,建立空间直角坐标系如图所示,则B(0,-1,0),A(0,0,0), (-1,0,1). cos . . 异面直线与所成的角为60. 3.在空间中, 若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线; 若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线
2、. 以上两个命题中,逆命题为真命题的是(把符合要求的命题序号都填上). 答案: 解析:对于的逆命题可举反例,如直线ABCD,A 对于的逆命题由异面直线定义知正确，故填.4.若a、b是异面直线,在直线a上有5个点,在直线b上有4个点,则这9个点可确定平面的个数为 个. 答案:9 解析:直线a上任一点与直线b确定一平面,共5个,直线b上任一点与直线a确定一平面,共4个,一共9个. 5.如图,三棱锥ABCD中E .证明:在ABD中, AEAB=AGAD, EGBD.同理,GFDC,EFBC. 又与方向相同. 同理. EFGBCD. 题组一 共线、共面问题 1.下列命题中正确的有几个?( ) 若ABC
3、在平面外,它的三条边所在的直线分别交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线;若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点,则这四条直线共面;空间中不共面的五个点一定能确定10个平面. A.0个B.1个 C.2个D.3个 答案:C 解析:在中,因为P、Q、R三点既在平面ABC上,又在平面上,所以这三点必在平面ABC与的交线上,即P、Q、R三点共线,故正确;在中,因为ab,所以a与b确定一个平面而l上有A、B两点在该平面上,所以即a、b、l三线共面于;同理a、c、l三线也共面,不妨设为而、有两条公共的直线a、l,与重合,即这四条直线共面,故正确;在中,不妨设其中四点共面,则它们最多只能
4、确定7个平面,故错. 2.如图所示,ABCD是正方体,O是的中点,直线交平面于点M,则下列结论正确的是 ( ) A.A、M、O三点共线 B.A、M、O、不共面 C.A、M、C、O不共面 D.B、O、M共面 答案:A 解析:连接 则AC, 、C、A四点共面. 平面. 平面. 又平面 M在平面与平面的交线上, 同理O也在平面与平面的交线上, A、M、O三点共线. 3.在空间四边形ABCD的边AB ( ) A.M一定在直线AC上 B.M一定在直线BD上 C.M可能在直线AC上,也可能在直线BD上 D.M既不在直线AC上,也不在直线BD上 答案:A 解析:平面平面平面平面ACD,从而. 4.对于空间三
5、条直线,有下列四个条件: 三条直线两两相交且不共点; 三条直线两两平行; 三条直线共点; 有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交. 其中,使三条直线共面的充分条件有 .(把符合要求的条件序号都填上) 答案: 解析:中两直线相交确定平面,由于第三条直线不过前两条直线的交点且又分别与它们都相交,所以第三条直线也在这个平面内. 中可能有直线和平面平行. 中直线最多可确定3个平面. 两条平行线确定一个平面,第三条直线与它们都相交,所以第三条直线也在这个平面内.5.如图,在四边形ABCD中,已知ABCD,直线AB、BC、AD、CD与平面相交于点E、G、H、F. 求证:E、F、G、H四点共线. 证明
6、:ABCD, 直线AB、CD确定一个平面. E是直线AB上一点,又 E是平面与的一个公共点. 同理可证F、G、H均为平面与的公共点. 两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, E、F、G、H四点共线. 题组二 异面直线 6.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 ( ) A.只有1个B.恰有3个 C.恰有4个D.有无穷多个 答案:D 解析:放在正方体中研究,显然,线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等,所以排除A、B、C,选D. 7.如图,正方体中,E、F分别是线段BC、的中点,则直线与直线EF的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D
7、.垂直 答案:A 解析:如题图所示,直线与直线平行,所以确定一个平面显然平面直线EF与相交所以与EF相交. 8.如图,长方体中,1,点E、F、G分别是、AB、的中点.求异面直线与GF所成角的大小. 解:连接 由于E、G分别是和的中点, EGC而AEGA 四边形是平行四边形. 从而为异面直线与GF所成的角, 连接易求得 , 即异面直线与GF所成的角为90. 题组三 综合问题 9.在正方体ABCD的侧面内有一动点P到直线与直线BC的距离相等,则动点P所在曲线的形状为( ) 答案:C 解析:动点P到定点B的距离也就是P到直线BC的距离,它等于到直线的距离,所以动点P的轨迹是以B为焦点,以为准线的过A
8、的抛物线的一部分. 10.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为 ( ) A. B.AC截面PQMN C.AC=BD D.异面直线PM与BD所成的角为45 答案:C 解析:由PQAC,QM可得故A正确; 由PQAC可得AC截面PQMN,故B正确;异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角,故D正确; 综上C是错误的,故选C. 11.已知正方体ABCD 中,E是对角线上一点,且是对角线BD上一点且.求证:E、F、C、四点共面.证明:延长与AB交于G, 则即 GA=11.同理延长CF与AB交于G, 则GA=11. G与G重合,即直线与CF相交于G,从而确定一个平面. E、F、C、四点共面. 12.如图所示,三棱锥P-ABC中平面,PA=AB=AC=2,E是PC的中点. (1)求证AE与PB是异面直线. (2)求三棱锥A-EBC的体积. 解:(1)证明:假设AE与PB共面,设平面为 平面即为平面ABE, 平面ABE,这与平面ABE矛盾, 所以直线AE与PB是异面直线. (2)平面ABC,E是PC的中点, E到平面ABC的距离. ABC中,AB=AC=2, ABC的面积sin. 三棱锥AEBC的体积,即三棱锥EABC的体积为.