1、第2课时等比数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的性质及其应用(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式(难点)1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养.2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养.1等比数列与指数函数的关系如果数列an是等比数列，则ana1qn1(a10，q0)，故q1时点(n，an)均在函数ya1qx1的图象上思考1：我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：ana1(n1)dam(nm)d.等比数列也有类似变形吗？提示在等比数列中，由通项公式ana1qn
2、1，得qnm，所以anamqnm(n，mN*)思考2：我们知道等差数列的通项公式可以变形为andna1d，其单调性由公差的正负确定等比数列的通项公式是否也可做类似变形？提示设等比数列an的首项为a1，公比为q.则ana1qn1qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值由于an1ana1qna1qn1a1qn1(q1)，所以an的单调性由a1，q，q1的正负共同决定2等比数列的性质(1)如果mnkl，则有amanakal.(2)如果mn2k，则有amana.(3)在等比数列an中，每隔k项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列(4)如果an，bn均为等比数列，且公比分别
3、为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.1对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列答案D2等比数列an中，a13，q2，则a4_，an_.2432n1a4a1q332324，ana1qn132n1.3在等比数列an中，a54，a76，则a9_.9因为a7a5q2，所以q2.所以a9a5q4a5(q2)24
4、9.4在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11的值为_25因为a7a12a8a11a9a105，所以a8a9a10a1125.等比数列的性质【例1】在等比数列an中，(1)若a3a5a7a9a11243，求的值；(2)若an0，且a3a632，求log2a1log2a2log2a8的值思路探究：利用等比数列的性质，若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa求解解(1)a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，a3a5a7a9a11a24335，a73.又a7，3.(2)log2a1log2a2log2a8log2a1a2a8log2(a1a8)4log2(
5、a3a6)4log2324log222020.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便.提醒：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.1(1)在各项均为正数的等比数列an中，a3a94，a6a10a3a541，求a4a8的值；(2)在等比数列an中，a5，a9是方程7x218x70的两个根，求a7.解(1)an为等比数列，且3948,61028,3524，a3a9a4a84，a6a10a，a3a5a，a6a1
6、0a3a5aa41，又a4a84，(a4a8)2412449，且an0，a4a87.(2)a5，a9是方程7x218x70的两个根，a50，a90.又aa5a91，且a7a5q20，a71.等比数列的实际应用【例2】某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值(1)用一个式子表示第n(nN*)时这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？思路探究：根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决解(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，an，由题意，得a113.5，a213.5(110%)，a31
7、3.5(110%)2，由等比数列定义，知数列an是等比数列，首项a113.5，公比q(110%)0.9，ana1qn113.5(0.9)n1.所以n年后车的价值为an13.5(0.9)n1万元(2)由(1)得a5a1q413.50.948.86(万元)，所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.86万元解等比数列应用题的一般步骤2某市2018年建成共有产权住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2018年
8、为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解(1)设中低价房面积构成数列an，由题意可知，an是等差数列，其中a1250，d50，则Sn250n5025n2225n.令25n2225n4 750，得n29n1900，令f(n)n29n190，当f(n)0时，n119，n210，由二次函数的图象得n19或n10时，f(n)0，而n是正整数所以n10.故到2027年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)设新建住房面积构成数列bn，由题意可知，bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则b
9、n4001.08n1，由题意可知an0.85bn，即250(n1)504001.08n10.85，满足不等式的最小正整数n6.故到2023年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.灵活设项求解等比数列探究问题1若三个数成等比数列，如何设这三个数使计算较为方便？提示设等比中项为a，公比为q，则这三个数分别为，a，aq，这样计算较为方便2若四个数成等比数列，如何设这四个数使计算较为方便？提示设这四个数分别为，aq，aq3计算较为方便【例3】有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数又成等差数列，四个数的和为21，求这四个数解设这四个数为，a，aq，b，由
10、题意aaqa3216，解得a6，则这四个数为，6,6q，b，由题意，解得或故这四个数为9,6,4,2，或12,6,3,0.1(变条件)若将本例的条件改为“前三个数的积为8，后三个数的积为80”其他条件不变，试求这四个数解由题意设此四个数分别为，b，bq，a，则有解得或所以这四个数分别为1，2,4,10或，2，5，8.2(变条件)本例四个数满足的条件改为“前三个成等差，后三个成等比，中间两个数之积为16，首尾两个数之积为128”，求这四个数解设这四个数分别为a，a，aq，则由题意得解得或因此所求的四个数为4,2,8,32或4，2，8，32.灵活设项求解等比数列问题，要注意题中的隐含条件，及时取舍
11、，做到既快又准确.1解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法2所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.1判断正误(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()(2)当q1时，an为递增数列()(3)当q1时，an为常数列()答案(1)(2)(3)提示(2)当a10且q1时an为递增数列，故(2)错2在正项等比数列an中，3a1，a3,2a2成等差数列，则等于()A3或1B9或1C1 D9D由3a1，a3,2a2成等差数列可得a33a12a2，
12、即a1q23a12a1q，a10，q22q30.解得q3或q1(舍)q29.3在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为_8设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b2ac84，因为a2b0，b2(舍负)所以这3个数的积为abc428.4已知数列an为等比数列(1)若a1a2a321，a1a2a3216，求an；(2)若a3a518，a4a872，求公比q.解(1)a1a2a3a216，a26，a1a336.又a1a321a215，a1，a3是方程x215x360的两根3和12.当a13时，q2，an32n1；当a112时，q，an12n1.(2)a4a8a3qa5q3a3a5q418q472，q44，q.