1、2.3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式第1课时等比数列的概念及通项公式学 习 目 标核 心 素 养1.理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系(重点)2.会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题(重点)3.会证明一个数列是等比数列(难点)1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养.2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.1等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)思考1：观察下列4
2、个数列，归纳它们的共同特点1,2,4,8,16，；1，；1,1,1,1，；1,1，1,1，.提示从第2项起，每一项与前一项的比是同一个常数思考2：若数列an满足an12an(nN*)，那么an是等比数列吗？提示不一定当a10时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故an不一定为等比数列2等比数列的通项公式如果数列an是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为ana1qn1(a10，q0)3等比中项(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2ab.(2)若数列an是等比数列，对任意的正整数n(n2)，都有aan1an1.思考3：任意两个非零常数都有等比中项
3、吗？若有，有几个？提示当ab0时，a，b的等比中项有两个，且这两个数互为相反数；当ab0).2若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为()A B. C1 D1D由题知2a13，a2.由b24得b2，1.3设等差数列an的公差d不为0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A2 B4 C6 D8Ban(n8)d，又aa1a2k，(k8)d29d(2k8)d，解得k2(舍去)，k4.等比数列的判断与证明探究问题1若数列an是等比数列，易知有q(q为常数，且q0)或aanan2(an0，nN*)成立反之，能说明数列an是等比数列吗？提示能若数列an满足q(q为常数，q0
4、)或aanan2(an0，nN*)都能说明an是等比数列2若数列an是公比为q的等比数列，则它的通项公式为ana1qn1(a，q为非零常数，nN*)反之，能说明数列an是等比数列吗？提示能根据等比数列的定义可知【例3】已知数列的前n项和为Sn2na，试判断an是否是等比数列思路探究：如何由求和公式得通项公式？a1是否适合anSnSn1(n2)？需要检验吗？解anSnSn12na2n1a2n1(n2)当n2时2；当n1时，.故当a1时，数列an成等比数列，其首项为1，公比为2；当a1时，数列an不是等比数列1(变条件)将例题中的条件“Sn2na”变为“Sn2an”求证数列an是等比数列证明Sn2
5、an，Sn12an1，an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1，an1an.又S12a1，a110.又由an1an知an0，an是等比数列2(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn2na”变为“a11，an12an1”证明数列an1是等比数列，并求出数列an的通项公式解因为an12an1，所以an112(an1)由a11，知a110，从而an10.所以2(nN*)，所以数列an1是等比数列所以an1是以a112为首项，2为公比的等比数列，所以an122n12n，即an2n1.判断一个数列an是等比数列的方法(1)定义法：若数列an满足q(q为常数且不为零)或f(an,an1)q(n2，q
6、为常数且不为零)，则数列an是等比数列.(2)等比中项法：对于数列an，若a2n1anan2且an0，则数列an是等比数列.(3)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列.1等比数列的判断或证明(1)利用定义：q(q为与n无关的常数且不为零)(2)利用等比中项：aanan2(nN*)2两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个()，而不是一个()，这是容易忽视的地方3等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量1判断正误(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比
7、数列()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项2在等比数列an中，若a24，a532，则公比q应为()AB2C.D2D因为q38，故q2.3在等比数列an中，若公比q4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an_.4n1由题意知a14a116a121，解得a11，所以通项公式an4n1.4已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bnan，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式解依题意an2(n1)(1)3n，于是bn.而12.数列bn是公比为2的等比数列，通项公式为bn2n3.
