1、高考资源网（） 您身边的高考专家一、正、余弦定理及其应用1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C(3)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(4)sin A，sin B，sin C； (5)abcsin_Asin_Bsin_C；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A；cos B；cos C变形2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为
2、锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)二、等差数列及其前n项和1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A
3、叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn
4、2Bn(A，B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值三、等比数列及其前n项和1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1(a10，q0)3等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，G2ab，G，称G为a，b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(
5、n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.四、数列求和的常用方法1公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和2分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项常见的裂项
6、公式(1)；(2)；(3).4倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广5错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解五、不等关系两个实数比较大小的方法(1)作差法(a，bR)，(2)作商法(aR，b0)，六、一元二次不等式及其解法1“三个二次”的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式
7、ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2x|xR一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx22.常用结论(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ababab(xa)(xb)0x|xa或xbx|xax|xb或xa(xa)(xb)0x|axbx|bxa口诀：大于取两边，小于取中间3常见分式不等式的解法(1)0(0)f(x)g(x)0(0)(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式七、基本不等式及其应用1基本不等式：(a0，b0)(1)基0本不等式成立的条件：a0，b0.(a0，b0)(2)等号成立的条
8、件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab (a，bR)(4) (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)1在ABC中，若sin Asin B，则AB.()2当b2c2a20时，三角形ABC
9、为锐角三角形()提示只能保证A为锐角，但不能保证三角形为锐角三角形3在ABC中，.()4在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()5若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()提示“常数”必须强调为“同一个常数”6等差数列an的单调性是由公差d决定的()7数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()8已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()9满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()提示必须强调q0.10G为a，b的等比中项G2ab.()提示G2ab不能得出G是a，b
10、的等比中项，如G0，a0，b1.11如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()提示当an0时，结论才能成立12数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()提示公式成立的条件是a0，且a1.13若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，), 则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()14若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()提示当a0或a0，b0且c0时，结论才能成立15不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()提示当a0，b0且c0时，不等式在R上也是恒成立的16若二次函数yax2bxc的图象开口向下
11、，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()17函数yx的最小值是2.()提示当x0时，x的最小值是2.18函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()提示cos x.19“x0且y0”是“2”的充要条件()提示2Dx0且y0，如x4，y1.20若a0，则a3的最小值为2.()提示2不是定值21不等式a2b22ab与有相同的成立条件()提示a2b22ab成立的条件是a，bR.成立的条件是a0，b0.22两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()1(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A.B.C.D.C因为SABCabsin C，所以abs
12、in C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2absin C，即cos Csin C，所以在ABC中，C.故选C.2(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A4 B. C. D2A因为cos ，所以cos C2cos2 1221.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，所以AB4.故选A.3(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A. B. C. D.B因为a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin
13、C.又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C为ABC的内角，故sin C0，则sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.从而sin Csin A.由A知C为锐角，故C.故选B.4(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_由bsin Ccsin B4asin Bsin C得s
14、in Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C0，所以sin A.因为b2c2a28，cos A，所以bc，所以SABCbcsin A.5(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.法一：由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB.2sin Bcos Bsin(B)sin B.又sin B0，cos B.B.法二：在ABC中，acos Cccos A
15、b，条件等式变为2bcos Bb，cos B.又0B，B.6(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.7(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)
16、求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.8(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)又由题设可得a
17、12，满足上式，所以an的通项公式为an.(2)记的前n项和为Sn.由(1)知，则Sn.9(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得.由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.10(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.- 13 - 版权所有高考资源网