1、20202021学年第二学期高一期末考试数学试题【考试时间120分钟 满分150分】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数满足,则的虚部为A5BC-D-52一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是()A至多有一次中靶 B两次都中靶C只有一次中靶 D至少有一次中靶3已知直线a，b分别在两个不同的平面内，则“直线a和直线b相交”是“平面与平面相交”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4从长度为2,4,6,8,9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为A B
2、C D5已知P是ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=,则异面直线PA与MN所成角的大小是()A30 B45 C60 D906已知的三个顶点及平面内一点满足,则与的面积比为A B C D7袋中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球，从中不放回的依次摸出两个球，设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”，则A B C D8圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点。其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面
3、上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）ABCD二、选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9下列关于事件和事件的结论正确的是A若则事件与事件互为对立事件B若则事件与事件相互独立C若事件与事件B互为互斥事件，则事件与事件也互为互斥事件D若事件与事件B相互独立，则事件与事件也相互独立10已知复数，则A在复平面内对应的点位于第四象限 B为纯虚数C D满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线11已知有6个电器元件，其中有2个次
4、品和4个正品，每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件“测试次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是A B事件和事件互为互斥事件C事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”D事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”12已知正四棱柱的底面边长为，设是 的中点，过作直线平面与平面交于点则下列结论正确的是A平面 BC点为线段上靠近点的三等分点D二面角平面角的正切值为三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。13天气预报元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0
5、.3，假定在这段时间内两地之间是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为 14已知向量a，b不平行，向量ab与(1)a2b平行，则实数_15已知是某球面上不共面的四点，与垂直，则此球的体积为 16在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17(本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知点(1)求
6、(2)设实数满足求的值18（本小题满分12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30)，30,40)，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中女生的人数19（本小题满分12分） 如图在三棱柱中，侧棱，为的中点，.（1）求证：；（2）求四棱锥的体积.20(本小题满分12分)在中，内角的对边分别为的面积满足（1）求；（2）
7、若为锐角三角形，求的取值范围21(本小题满分12分)某公司计划购买1种机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.该公司搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.（1）若=18，求y与x的函数解析式；（2）假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件，分别计算这100台机器在购
8、买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件？（3）若该公司计划购买2台该机器，以上面柱状图中100台机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率代替1台机器在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率，求两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率。22（本小题满分12分）如图，四棱锥中，且（1）证明：平面平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值。20202021学年第二学期高一期中考试数学答案1-5CDABA 6-8BAD 9 BD 10. ABCD 11.BD 12.ABD13. 0.38 14. 15. 16. 50.417(1) (
9、2)即，18.(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4，小于80的频率为0.8，所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.(2)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060，所以样本中分数不小于70的男生人数为6030，所以样本中的男生人数为30260，女生人数为1006040，估计总体中女生人数为（人）。19.（1）连接，设与相交于点，连接OD，(2)平面平面，四棱锥的体积20.(1)由题得（2）由正弦定理得，为锐角三角形，的取值范围是21.(1)(2)若
10、每台都购买18个易损零件，则购买易损零件费用的平均数（元）若每台都购买19个易损零件，则购买易损零件费用的平均数（元）所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件。（3） 将两台机器编号为1号、2号，设事件“1号机器需要更换的易损零件为个”，事件“2号机器需要更换的易损零件为个”，设事件=“两台机器三年内共需更换的易损零件数为36”，, 两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率为0.1584.22.（1）取AD中点O，连PO，AC，BO，CO，设AC与BO交于E，CO与BD交于F，连PE，PF.AOBC且AO=BC=AB，四边形AOCB为菱形，ACBO，且E为AC中点又PA=PC，ACPE，又PEBO=E，AC平面PBO.又PO平面PBO，ACPO，同理，由四边形DOBC为菱形，且PB=PD，得BDPO.又直线AC与BD相交，PO平面ABCD，又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD. （6分）（2）设，过O作OHPF交PF于H，由BD平面POC，故BDOH.又PFBD=F，OH平面PBD，故.又AD=2OD，故点A到平面PBD的距离.设直线PA与平面PBD所成角的大小为.则.当且仅当，即时取等号，故直线PA与面PBD所成角的正弦值的最大值为. 注：第（2）问设，建立空间直角坐标系表示也可以。