1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系填一填1.直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离判断方法几何法：设圆心到直线的距离ddr判断方法代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000，则相交；若有两组相同的实数解，即0，则相切；若无实数解，即0，则相离(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离3过一点的圆的切线方程的求法？提示：(1)点(x0，y0)在圆上先求切点与圆心连线的斜率k
2、，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.(2)点(x0，y0)在圆外设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况过圆外一点的切线有两条一般不用联立方程组的方法求解4求弦长常用的方法有哪些？提示：圆的性质利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2d22解题交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式设直线l：ykxb与圆的两交点为(x1
3、，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l|x1x2|思考感悟：练一练1.圆(x1)2(y1)21与直线yx的位置关系是()A相离 B相切C相交且直线过圆心 D相交但直线不过圆心答案：C2设A，B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|AB|()A1 B.C. D2答案：D3圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20答案：D4若经过P(1,0)的直线与圆x2y24x2y30相切，则该直线在y轴上的截距是_答案：15直线x2y50与圆x2y28相交于A，B两点，则|AB|_.答案：2知识点一直线与圆位置关系
4、的判断1.已知点P(x0，y0)，圆O：x2y2r2(r0)，直线l：x0xy0yr2，有以下几个结论：若点P在圆O上，则直线l与圆O相切若点P在圆O外，则直线l与圆O相离若点P在圆O内，则直线l与圆O相交无论点P在何处，直线l与圆O恒相切其中正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：根据点到直线的距离公式有d，若点P在圆O上，则xyr2，dr，相切；若点P在圆O外，则xyr2，dr，相交；若点P在圆O内，则xyr，相离，故只有正确故选A.答案：A2若直线l：axby1与圆C：x2y21有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是()A点在圆上 B点在圆内C点在圆外 D不能确定解析：由题
5、意，圆心(0,0)到直线l的距离d1，即点P(a，b)在圆C外答案：C知识点二直线与圆相切问题3.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴相切，则该圆的标准方程是()A(x3)221B(x2)2(y1)21C(x1)2(y3)21D.2(y1)21解析：设圆心为(a,1)，由已知得d1，由a0，所以a2.故选B.答案：B4已知圆O：x2y24.(1)过点P(，)作圆O的切线，求切线l的方程；(2)过点Q(2,4)作圆O的切线，求切线l的方程解析：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x，不合题意当直线l的斜率存在时，设切线方程为yk(x)即kxyk0，由题意得，圆心到该
6、切线的距离d2，得k1.故所求的切线方程为xy20.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，符合题意当直线l的斜率存在时，设切线方程为y4k(x2)，即kxy42k0.由题意得d2，得k.所以直线l的方程为y4(x2)即3x4y100.综上得，所求的切线方程为x2或3x4y100.知识点三直线被圆截得的弦长问题5.过点P(0,1)与圆x2y22x30相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是()Ax0 By1Cxy10 Dxy10解析：被圆截得的最长弦是直径，于是所求直线过圆心(1,0)及点P(0,1)，故直线方程是xy10.答案：C6直线xy30被圆(x2)2(y2)22截得
7、的弦长等于()A. B.C2 D.解析：圆心(2,2)到直线xy30的距离d，圆的半径r，解直角三角形得，半弦长为，所以弦长等于.答案：D综合知识直线与圆的位置关系7.已知圆x2y28，定点P(4,0)，过点P的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相交；(2)相切；(3)相离并写出过点P的切线方程解析：设过点P的直线的斜率为k(由已知k存在)，则方程为yk(x4)方法一由消去y，得x2k2(x4)28，即(k21)x28k2x16k280，(8k2)24(1k2)(16k28)32(1k2)(1)令0，即32(1k2)0，得1k1.所以当k的取值范围为(1,1)时，直线与圆相
8、交(2)令0，即32(1k2)0，得k1.所以当k1时直线与圆相切，切线方程为xy40或xy40.(3)令0，即32(1k2)1或k1.所以当k的取值范围为(，1)(1，)时，直线与圆相离方法二设圆心到直线的距离为d，则d.(1)当dr，即，所以k21，即1kr，即，所以k21，即k1或k1.所以，当k的取值范围为(，1)(1，)时，直线与圆相离8设有一条光线从P(2,4)射出，并且经x轴上一点Q(2,0)反射(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1，l2)；(2)设动直线l：xmy2，当点M(0，6)到l的距离最大时，求l，l1，l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内，并
9、且与三角形的三边相切的圆)的方程解析：(1)因为kPQ，所以l1：y(x2)，因为l1，l2关于x轴对称，所以l2：y(x2)(2)因为l恒过点N(2，0)，当MNl时，M到l的距离最大，因为kMN，所以m，所以l的方程为xy2，设所求方程为(x2)2(yt)2r2，所以r，得t2，所以所求方程为(x2)2(y2)21.基础达标一、选择题1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切 B相交但不过圆心C过圆心 D相离解析：由于圆心(0,0)不满足直线方程，所以直线不过圆心，又圆心到直线的距离d1，所以直线与圆相交，但不过圆心，故选B.答案：B2过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0截得
10、的弦长为()A. B2C. D2解析：直线方程为xy0，圆的圆心为(0,2)，半径为2，因为圆心到直线的距离为d1，所以所截弦长为22，故选D.答案：D3过原点且与圆x2y24x2y10相切的直线方程是()Ayx Byx或y0Cyx或x0 Dyx或x0解析：设切线方程为kxy0，由圆心(2，1)到直线的距离等于半径2，得k，因此一条切线方程为yx；画图可知，y轴是符合条件的切线，方程为x0，故选C.答案：C4已知直线l：yxm与圆C：x2(y3)26相交于A，B两点，若|AB|2，则实数m的值等于()A7或1 B1或7C1或7 D7或1解析：圆心(0,3)到直线l的距离d，故26，解得：m1或
11、m7，故选C.答案：C5曲线y1与直线kxy2k40有两个交点时，实数k取值范围是()A. B.C. D.解析：曲线y1，因为x2,2，y11，所以x2(y1)24，表示圆心为M(0,1)，半径r2的圆的上半部分直线yk(x2)4表示过定点P(2,4)的直线，当直线与圆相切时，由圆心到直线kxy42k0的距离d2，解得k.当直线经过点B(2,1)时，直线PB的斜率为k.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点，则必有k.即实数k的取值范围是.答案：A6若PQ是圆x2y29的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是()Ax2y30 Bx2y50C2xy40 D2xy0解析：设圆的圆心是O，由
12、题意知，直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为y2(x1)，整理得x2y50.故选B.答案：B7若直线axby30和圆x2y24x10相切于点P(1,2)，则ab的值为()A3 B2C2 D3解析：圆的标准方程为(x2)2y25，直线与圆相切，则圆心到直线距离为，所以，整理得a212a5b290且直线过P(1,2)，代入得2ba30，两式联立，得a1，b2，所以ab2，故选C.答案：C二、填空题8在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析：由题意可得，圆心为(2，1)，r2，圆心到直线的距离d，所以弦长为22.答案：9过点(1，2)的直
13、线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，则直线l的斜率为_解析：由条件易知直线l的斜率必存在，设为k.圆心(1,1)到直线y2k(x1)的距离为，解得k1或k，即所求直线的斜率为1或.答案：1或10已知圆C：x2(y3)24，过A(1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点若|PQ|2，则直线l的方程为_解析：当直线l与x轴垂直时，易知x1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，由|PQ|2，则圆心C(0,3)到直线l的距离d1，解得k，此时直线l的方程为y(x1)故所求直线l的方程为x1或4x3y40.答案：x1或4x3y4011若直线xy0与圆x2(ya)21相切，则
14、a的值为_解析：圆x2(ya)21的圆心坐标为(0，a)，半径为1，又直线xy0与圆x2(ya)21相切，所以圆心(0，a)到直线xy0的距离dr，即1，解得a.答案：12已知从圆C：(x1)2(y2)22外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为_解析：如图所示，圆心C(1,2)，半径r.因为|PM|PO|，所以|PO|2r2|PC|2(C为圆心，r为圆的半径)，所以xy2(x11)2(y12)2，即2x14y130.要使|PM|最小，只要|PO|最小即可当直线PO垂直于直线2x4y30时，即直线PO的方程为2xy0
15、时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标.答案：三、解答题13已知直线l：yxm，mR.若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程解析：方法一依题意，点P的坐标为(0，m)因为MPl，所以11，解得m2，即点P的坐标为(0,2)从而圆的半径长r|MP|2.故所求圆的方程为(x2)2y28.方法二设所求圆的半径长为r，则圆的方程可设为(x2)2y2r2.依题意，所求圆与直线l：xym0相切于点P(0，m)，则解得所以所求圆的方程为(x2)2y28.14已知圆的方程为x2y28，圆内有一点P(1,2)，AB为过点P且倾斜角为的弦(1)当135时，求A
16、B的长；(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程解析：(1)方法一(几何法)如图所示，过点O作OCAB.由已知条件得直线AB的斜率为ktan 1351，所以直线AB的方程为y2(x1)，即xy10.因为圆心为(0,0)，所以|OC|.因为r2，所以|BC|，所以|AB|2|BC|.方法二(代数法)当135时，直接AB的方程为y2(x1)，即yx1，代入x2y28，得2x22x70.所以x1x21，x1x2，所以|AB|x1x2|.(2)如图，当弦AB被点P平分时，OPAB，因为kOP2，所以kAB，所以直线AB的方程为y2(x1)，即x2y50.能力提升15.已知圆C：(x1)2(y2)2
17、25，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1)证明：不论m取什么值，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值解析：(1)直线l的方程可化为(2xy7)mxy40(mR)，由得直线l恒过点M(3,1)又M到圆心C(1,2)的距离为5，点M(3,1)在圆内，不论m取什么值，直线l与圆C恒交于两点(2)过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d，弦心距、半弦长和半径长r构成直角三角形，当d时，半弦长的最小值为2，弦长|AB|的最小值|AB|min4，此时，kCM，kl.lCM，1，解得m.当m时，直线l被圆C截得的线段最短，且最短长度为4.16已知点P(
18、x，y)在圆C：x2y26x6y140上(1)求的最大值和最小值；(2)求x2y22x3的最大值与最小值；(3)求xy的最大值与最小值解析：方程x2y26x6y140可化为(x3)2(y3)24.(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率，如图(1)，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小设切线方程为ykx(由题意知，斜率一定存在)，即kxy0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径长2，可得2，解得k，所以的最大值为，最小值为.(2)x2y22x3(x1)2y22，它表示圆上的点P到E(1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值如图(2)，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|CE|2，点P与点E距离的最小值为|CE|2.又|CE|5，所以x2y22x3的最大值为(52)2251，最小值为(52)2211.(3)设xyb，则b表示动直线yxb在y轴上的截距，如图(3)，显然当动直线yxb与圆(x3)2(y3)24相切时，b取得最大值或最小值此时圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆的半径长2，则2，即|b6|2，解得b62，所以xy的最大值为62，最小值为62.- 9 - 版权所有高考资源网
