1、21圆的标准方程填一填1.圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以(0,0)为圆心，r为半径的圆2中点坐标公式A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为.判一判1.方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆()2确定一个圆的几何要素是圆心和半径()3若(x0a)2(y0b)2r2，则说明点M(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2的外部()4若点M(1,1)在圆(xa)2(yb)2r2(r0)的外部，则(
2、1a)2(1b)2r2.()5A(a,0)，B(0，b)的中点坐标为.()6点M(5，1)在圆(x2)2(y3)225的内部()7如果点P到圆心的距离大于圆的半径，那么点P在圆外()8圆(x2)2y25关于原点对称的圆的方程为(x2)2y25.()想一想1.若圆的方程为(xa)2(yb)2c2，则此圆的半径一定等于c吗？提示：不一定，圆的半径应为|c|.2求圆的标准方程的主要方法有哪些？提示：(1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解3待定系数法求圆的标准方
3、程的一般步骤是什么？提示：4判断点与圆位置关系的两种方法是什么？提示：(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断点P(x0，y0)在圆C上(x0a)2(y0b)2r2；点P(x0，y0)在圆C内(x0a)2(y0b)2r2.思考感悟：练一练1.圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是()A(2,3)，1 B(2，3)，3C(2,3)， D(2，3)，答案：D2以点(2，1)为圆心，以为半径的圆的标准方程是()A(x2)2(y1)2B(x2)2(y1)22C(x2)2(y1)22D(x2)2(y1)2答案：C3圆心是C(2，3)，且经
4、过原点的圆的标准方程为()A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)2D(x2)2(y3)2答案：B4与圆(x2)2(y3)216同圆心且过点P(1,1)的圆的方程为_答案：(x2)2(y3)2255若某圆的标准方程为(x1)2(y5)23，则此圆的圆心和半径长分别为()A(1,5)， B(1，5)，C(1,5)，3 D(1，5)，3答案：B知识点一求圆的标准方程1.求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心为(3,4)，半径等于；(2)圆心为(1，3)，经过点(3，1)；(3)圆心在直线x2上，且与y轴交于点A(0，4)，B(0，2)解析：(1)圆的标准方程为(x3
5、)2(y4)22.(2)由两点间距离公式可得圆的半径r2，于是圆的标准方程为(x1)2(y3)220.(3)由于圆与y轴交于点A(0，4)，B(0，2)，所以圆心在直线y3上又圆心在直线x2上，所以圆心坐标为(2，3)半径r，所以圆的标准方程为(x2)2(y3)25.2求圆心在直线2xy30上，且过点A(5,2)，B(3，2)的圆的标准方程解析：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则解得所以圆的标准方程为(x2)2(y1)210.知识点二点与圆的位置关系3.点P(m,5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定解析：把P(m,5)代入x2y224，得m2252
6、4.所以点P在圆外，故选A.答案：A4若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则a的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(，1)(1，) Da1解析：若点(1,1)在圆的内部，则(1a)2(1a)24，化简得a21，因此1a2，所以|MQ|max426.|MQ|min422.(2)因为表示直线MQ的斜率，所以可设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由题意知直线MQ与圆C有交点，所以2，解得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.综合知识圆的标准方程7.求过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的方程解析：由已知得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB1
7、，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k1，所以AB的垂直平分线的方程为yx.又圆心在直线xy20上，解得，即圆心为(1,1)，圆的半径为r2，圆的方程为(x1)2(y1)24.8已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5，0)(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值解析：(1)由题意，结合图(1)可知圆心为(3,0)，r2，所以圆C的标准方程为(x3)2y24.(2)如图(2)所示，过点C作CD垂直于直线xy10，垂足为D.由点到直线的距离公式可得|CD|2r，又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2
8、，结合图形易知点P到直线xy10的距离的最大值为22，最小值为22.基础达标一、选择题1圆(x3)2(y2)213的周长是()A. B2C2 D2解析：由圆的标准方程可知，其半径为，周长为2.故选B.答案：B2以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A(x1)2(y2)225 B(x1)2(y2)225C(x1)2(y2)2100 D(x1)2(y2)2100解析：由题意可得，圆心为线段AB的中点C(1,2)，半径为rAB5，故要求的圆的方程为(x1)2(y2)225，故选A.答案：A3已知圆心为P(2,3)，并且与y轴相切，则该圆的方程是()A(x2)2(y3)24 B(x
9、2)2(y3)24C(x2)2(y3)29 D(x2)2(y3)29解析：由题意知，该圆的圆心为(2,3)，半径为2，所以其标准方程为(x2)2(y3)24.答案：B4方程y表示的曲线是()解析：该方程可以转化为x2y24(y0)，所以方程y表示的曲线是圆x2y24在x轴下方的部分及x轴上的点，故选A.答案：A5圆(x1)2(y2)21关于直线xy20对称的圆的方程为()A(x4)2(y1)21 B(x4)2(y1)21C(x2)2(y4)21 D(x2)2(y1)21解析：由于圆心(1,2)关于直线xy20对称的点的坐标为(4，1)，半径为1，故圆(x1)2(y2)21关于直线xy20对称的
10、圆的方程为(x4)2(y1)21，故选A.答案：A6圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A.2y2 B.2y2C.2y2 D.2y2解析：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a0)，半径为r，则圆E的标准方程为(xa)2y2r2.则有解得a，r2，所以圆E的方程为2y2.故选C.答案：C7如果实数x，y满足x2(y3)21，那么的取值范围是()A2，)B(，2 C2，2 D(，2 2，)解析：因为实数x，y满足x2(y3)21，所以表示以(0,3)为圆心，1为半径的圆上的点和原点连线的斜率k，设直线方程为ykx，当直线与圆相切
11、时，联立x2(y3)21和ykx消去y并整理可得(1k2)x26kx80，由36k232(1k2)0可解得k2，结合图形可知的取值范围是(，2 2，)答案：D二、填空题8与圆(x2)2(y3)216同心且过点P(1,1)的圆的标准方程是_解析：设圆的标准方程为(x2)2(y3)2r2，把(1，1)代入可得r225，故所求圆的标准方程为(x2)2(y3)225.答案：(x2)2(y3)2259已知半径为3的圆的圆心到y轴的距离等于半径，圆心在直线x3y0上，则此圆的方程为_解析：依题意设圆心为(3b，b)，半径为r，由已知得r|3b|3，所以b1.所以圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2
12、(y1)29.答案：(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)2910圆x2(y1)21的圆心到直线yx2的距离为_解析：圆x2(y1)21的圆心(0,1)到直线yx2的距离为d.答案：11自点A(1,4)作圆(x2)2(y3)21的切线，切点为B，则AB的长为_解析：点A到圆心C(2,3)的距离为，所以切线长为3.答案：312设圆C同时满足三个条件：过原点；圆心在直线yx上；截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是_解析：由题意可设圆心为C(a，a)，则22222a2，解得a2，又r22a28，所以圆C的方程是(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28.答案：(x2)2(y2)28或(x2)
13、2(y2)28三、解答题13一圆经过点P(4,3)，圆心在直线2xy10上，且半径为5，求该圆的标准方程解析：设圆的方程为(xa)2(yb)225，由圆心在直线2xy10上，且圆经过点P(4,3)，得解得或故圆的标准方程为(x1)2(y3)225或(x1)2(y1)225.14求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点A(2，3)；(2)经过点A(4，5)，B(6，1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线y2x上，且与直线y1x相切于点(2，1)；(4)圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)解析：(1)设圆的标准方程为(xa)2y225，因为点A(2，3
14、)在圆上，所以(2a)2(3)225，解得a2或a6.所以所求圆的标准方程为(x2)2y225或(x6)2y225.(2)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，由题意得a1，b3，又因为点(6，1)在圆上，所以r2(61)2(13)229.所以所求圆的标准方程为(x1)2(y3)229.(3)方法一设圆心为(a，2a)因为圆与直线y1x相切于点(2，1)，所以，解得a1.所以所求圆的圆心为(1，2)半径r.所以所求圆的方程为(x1)2(y2)22.方法二设过(2，1)且与y1x垂直的直线为yxb，把(2，1)代入，得b3.所以圆心(a，b)在yx3上，即ba3，又因为圆心在直线y2
15、x上，所以b2a，解之得a1，b2，则圆心为(1，2)，所以r，所以所求圆的方程为(x1)2(y2)22.(4)方法一设点C为圆心，因为点C在直线：x2y30上，所以可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，所以|CA|CB|.所以，解得a2，所以圆心坐标为C(1，2)，半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.方法二设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.由条件知所以故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.方法三线段AB的中点为(0，4)，kAB，所以弦AB的垂直平分线的斜率为2，所以线段AB的垂直平分线的方程为y42x，即y2x4，圆心是直线y2x4与直线
16、x2y30的交点，由得即圆心为(1，2)，圆的半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.能力提升15.已知ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，求该三角形的外接圆的方程解析：方法一设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有解得所以，所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.方法二因为A(0,5)，B(1，2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y，即x7y100.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2xy
17、50.由，得圆心的坐标为(3,1)，又圆的半径长r5，所以，所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.16已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)(1)求圆C的方程(用含x0的方程表示)；(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程解析：(1)由题意，设圆C的标准方程为(xx0)2(yx0)2r2(r0)因为圆C过定点P(4,2)，所以(4x0)2(2x0)2r2(r0)，所以r22x12x020.所以圆C的标准方程为(xx0)2(yx0)22x12x020.(2)因为(xx0)2(yx0)22x12x0202(x03)22，所以当x03时，圆C的半径长最小，即面积最小，此时圆C的标准方程为(x3)2(y3)22.
