1、第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握直线的一般式方程(重点)2.理解关于 x，y 的二元一次方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)都表示直线(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化(难点、易混点)通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学学科素养自 主 预 习 探 新 知 直线的一般式方程(1)定义：关于 x，y 的二元一次方程 (其中 A，B不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示(3)系数的几何意义：当
2、B0 时，则ABk(斜率)，CBb(y 轴上的截距)；当 B0，A0 时，则CAa(x 轴上的截距)，此时不存在斜率AxByC0思考：当 A0 或 B0 或 C0 时，方程 AxByC0 分别表示什么样的直线？提示(1)若 A0，则 yCB，表示与 y 轴垂直的一条直线(2)若 B0，则 xCA，表示与 x 轴垂直的一条直线(3)若 C0，则 AxBy0，表示过原点的一条直线C 直线斜率 k 33，所以倾斜角为 150，故选 C.1在直角坐标系中，直线 x 3y30 的倾斜角是()A30 B60 C150 D120D 方程 AxByC0 表示直线的条件为 A，B 不能同时为 0，即 A2B20
3、.故选 D.2若方程 AxByC0 表示直线，则 A，B 应满足的条件为()A.A0 B.B0C.AB0 D.A2B202xy10 由直线点斜式方程可得 y32(x1)，化成一般式为 2xy10.3斜率为 2，且经过点 A(1，3)的直线的一般式方程为_3x2y60 由截距式得，所求直线的方程为x2y31，即 3x2y60.4过 P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线的一般式方程是_合 作 探 究 释 疑 难 直线的一般式方程【例 1】根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式(1)斜率是12，经过点 A(8，2)；(2)经过点 B(4，2)，平行于 x 轴；(3)在 x 轴和 y 轴上的
4、截距分别是32，3；(4)经过两点 P1(3，2)，P2(5，4).解(1)由点斜式得 y(2)12(x8)，即 x2y40.(2)由斜截式得 y2，即 y20.(3)由截距式得x32 y31，即 2xy30.(4)由两点式得 y（2）4（2）x353，即 xy10.1求直线的一般式方程的策略(1)首先选择不同的形式求出直线方程，再整理成 AxByC0的形式(2)直线 AxByC0 中虽然参数含有三个，但其实只需两个即可：或点与斜率，或斜率和截距，或两个截距等2直线方程的几种形式的转化提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件跟进训练1(1)下列直线中，斜率为43，且不经
5、过第一象限的是()A3x4y70 B4x3y70C4x3y420 D3x4y420(2)直线 3x5y90 在 x 轴上的截距等于()A 3 B5 C95 D3 3(1)B(2)D(1)将一般式化为斜截式，斜率为43的有：B、C 两项又 y43x14 过点(0，14)，即直线过第一象限，所以只有 B 项正确(2)令 y0，则 x3 3.由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直【例 2】(1)已知直线 l1：2x(m1)y40 与直线 l2：mx3y20 平行，求 m 的值；(2)当 a 为何值时，直线 l1：(a2)x(1a)y10 与直线 l2：(a1)x(2a3)y20 互相垂直？解 法一：
6、(1)由 l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20 知：当 m0 时，显然 l1 与 l2 不平行当 m0 时，l1l2，需2mm13 42.解得 m2 或 m3，m 的值为 2 或3.(2)由题意知，直线 l1l2.若 1a0，即 a1 时，直线 l1：3x10 与直线 l2：5y20 显然垂直若 2a30，即 a32时，直线 l1：x5y20 与直线 l2：5x40 不垂直若 1a0 且 2a30，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在，k1a21a，k2 a12a3.当 l1l2 时，k1k21，即a21a a12a3 1，a1.综上可知，当 a1 或 a1 时，直线 l1l
7、2.法二：(1)令 23m(m1)，解得 m3 或 m2.当 m3 时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然 l1 与 l2 不重合，l1l2.同理当 m2 时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然 l1 与 l2 不重合，l1l2，m 的值为 2 或3.(2)由题意知直线 l1l2，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得 a1，将 a1 代入方程，均满足题意故当 a1 或 a1 时，直线 l1l2.1直线 l1：A1xB1yC10，直线 l2：A2xB2yC20，(1)若 l1l2A1B2A2B10 且 B1C2B2C10(或 A1C2A2C10).(2)若 l1l2A1A2
8、B1B20.2与直线 AxByC0 平行或垂直的直线方程的设法：与直线AxByC0 平行的直线方程可设为 AxBym0(mC)；与直线AxByC0 垂直的直线方程可设为 BxAym0.跟进训练2已知直线 l 的方程为 3x4y120，求直线 l的一般式方程，l满足(1)过点(1，3)，且与 l 平行；(2)过点(1，3)，且与 l 垂直解 法一：由题设 l 的方程可化为 y34x3，l 的斜率为34.(1)由 l与 l 平行，l的斜率为34.又l过(1，3)，由点斜式知方程为 y334(x1)，即 3x4y90.(2)由 l与 l 垂直，l的斜率为43，又过(1，3)，由点斜式可得方程为 y3
9、43(x1)，即 4x3y130.法二：(1)由 l与 l 平行，可设 l方程为 3x4ym0.将点(1，3)代入上式得 m9.所求直线方程为 3x4y90.(2)由 l与 l 垂直，可设其方程为 4x3yn0.将(1，3)代入上式得 n13.所求直线方程为 4x3y130.与含参数的一般式方程有关的问题探究问题1直线 kxy13k0 是否过定点？若过定点，求出定点坐标提示 kxy13k0 可化为 y1k(x3)，由点斜式方程可知该直线过定点(3，1).2若直线 ykxb(k0)不经过第四象限，k，b 应满足什么条件？提示 若直线 ykxb(k0)不经过第四象限，则应满足 k0且 b0.【例
10、3】已知直线 l：5ax5ya30.(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围思路探究：(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于 0 且与 y 轴的截距不大于 0.解(1)证明：法一：将直线 l 的方程整理为 y35ax15，直线 l 的斜率为 a，且过定点 A15，35，而点 A15，35 在第一象限内，故不论 a 为何值，l 恒过第一象限法二：直线 l 的方程可化为(5x1)a(5y3)0.上式对任意的 a 总成立，必有5x10，5y30，即x15，y35即 l 过定点
11、 A15，35.以下同法一(2)直线 OA 的斜率为 k3501503.如图所示，要使 l 不经过第二象限，需斜率 akOA3，a3.1本例中若直线不经过第四象限，则 a 的取值范围是什么？解 由本例(2)解法可知直线 OA 的斜率为 3，要使直线不经过第四象限，则有 a 3.2本例中将方程改为“x(a1)ya20”，若直线不经过第二象限，则 a 的取值范围又是什么？解(1)当 a10，即 a1 时，直线为 x3，该直线不经过第二象限，满足要求(2)当 a10，即 a1 时，直线化为斜截式方程为 y 1a1xa2a1，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在 y轴的截距小于等于零，
12、即 1a10，a2a10，解得a1a2或a1，所以 a1.综上可知 a1.直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标(2)将方程转化为 f(x，y)mg(x，y)0；解方程组f（x，y）0g（x，y）0的解(x0，y0)；(x0，y0)即为含参数直线的定点课 堂 小 结 提 素 养 1根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则 k1k2 且 b1b2；若都不存在，则还要判定不重合(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.l1l2A1B2A2B10，且 B1C2B2C10，或 A
13、1C2A2C10.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性2根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则 k1k21.(2)一般地，设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.第二种方法可避免讨论，减小失误C 直线x3y41 化成一般式方程为 4x3y120.1直线x3y41，化成一般式方程为()Ay43x4 By43(x3)C4x3y120 D4x3y12D y 轴方程表示为 x0，所以 a，b，c 满足条件为bc0，a0.2如果
14、axbyc0 表示的直线是 y 轴，则系数 a，b，c 满足条件()A.bc0 Ba0Cbc0 且 a0 Da0 且 bc0 x3y240 直线 2x3y120 的斜率为23，所以 kl13.又直线 2x3y120 在 y 轴的截距为 4，所以直线 l 在 y 轴上的截距为 8，所以直线 l 的方程为 y13x8，即 x3y240.3已知直线 l 的斜率是直线 2x3y120 的斜率的12，l 在 y 轴上的截距是直线 2x3y120 在 y 轴上的截距的 2 倍，则直线 l 的方程为_y4 3(x0)x4 33 y41 y 3x4 3xy40 点斜式方程：y4 3(x0)，截距式方程：x4 33 y41，斜截式方程：y 3x4，一般式方程 3xy40.4已知直线 l 的倾斜角为 60，在 y 轴上的截距为4，则直线l 的点斜式方程为_；截距式方程为_；斜截式方程为_；一般式方程为_5已知直线 l1：ax2y30，l2：3x(a1)ya0，求满足下列条件的 a 的值(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)l1l2，a（a1）320，2（a）（3）（a1）0，解得 a2.(2)l1l2 得 a32(a1)0，得 a25.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
