1、邵东三高2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟分值：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上。）1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.若复数同时满足，则（ ）A.B.C.D.3.下列命题中，真命题是（ ）A.，B.“，”是“”的充分条件C.，D.的充要条件是4.已知向量，若，则实数（ ）A.B.C.2D.5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）A.B.C.D.6.经过点作圆的切线，则的方程为（ ）A.B.C.或D.或7.在某项测试中，测量结
2、果服从正态分布（），若，则（ ）A.0.8B.0.4C.0.6D.0.28.安排A、B、C、D、E、F，6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有（ ）A.30种B.40种C.48种D.42种二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。）9.已知函数，则正确的结论是（ ）A.在区间上递增B.的图象关于点对称C.最小正周期为D.的值域为10.已知立方体棱长为，则下列说法正确的是（ ）A.线段的长度为B.异面直线、互相垂直C.对角面的面积为D.
3、的体积为11.关于函数，下列结论正确的是（ ）A.图像关于轴对称B.图像关于原点对称C.在上单调递增D.恒大于012.凸四边形的4个顶点均在抛物线上，则（ ）A.四边形可能为平行四边形B.存在四边形，满足C.若为正三角形，则该三角形的面积为D.若过拋物线的焦点，则直线，斜率之积恒为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.若，互为对立事件，其概率分别为，则的最小值为_.14.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则_.15.若展开式中的二项式系数和为64，则等于_，该展开式中的常数项为_.16.在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的
4、切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是_.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题10分）在中，、分别是内角、的对边，.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.18.（本题10分）在公比为2的等比数列中，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19.（本题12分）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.20.（本题12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛（其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁判），设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为，但每局
5、比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时受体力影响，胜的概率均降为，第一局甲当裁判.（1）求第三局甲当裁判的概率；（2）设表示前4局乙当裁判次数，求的分布列和数学期望。21.（本题12分）已知椭圆（）的左顶点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，当取得最大值时，求的面积.22.（本题14分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由.数学答案一、1.C2.A3.B4.D5.B6.B7.A8.D二、9.ACD10.ABD11.ACD12.BC三、13.914.415.6，1516.四、17.（本
6、题10分）【解析】（1）（5分）【解析】（1），由正弦定理可得：，即，.（2）（5分），的面积为，由余弦定理可得：，即，解得，的周长为.18.（本题10分）【解析】（1）（4分）因为，成等差数列，所以，所以，解得，所以.（2）（6分）因为，所以，所以，所以.19.（本题12分）【解析】（1）（4分）由已知得，平面，平面，故.又，所以平面.（2）（8分）由（1）知.由题设知，所以，故，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即所以可取.设平面的法向量为，则即所以可取.于是.所以，二面角的正弦值为.20.（本题12分）【解析】（1）（4分
7、）第三局甲当裁判的概率为.（2）（8分）的可能取值为0，1，2，当时，前三局乙均胜，故，不能连续两局当裁判，第一局由甲当裁判，故乙只能是第2、4局当裁判，故乙在第一局中输掉，在第三局中也输掉，故，.其分布列为012.21.（本题12分）【解析】（1）（4分）由题意可得：，得，则.所以椭圆.（2）（8分）当直线与轴重合时，不妨取，此时；当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，联立得，显然，.所以.当时，取最大值.此时直线方程为，不妨取，所以.又，所以的面积.22.（本题14分）【解析】（1）（6分）.令，得或.若，则当时，；当时，.故在，单调递增，在单调递减；若，在单调递增；若，则当时，；当时，.故在，单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的，存在.（）当时，由（1）知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为.此时，满足题设条件当且仅当，即，.（）当时，由（1）知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为.此时，满足题设条件当且仅当，即，.（）当时，由（1）知，在的最小值为，最大值为或.若，则，与矛盾.若，则或或，与矛盾.综上，当且仅当，或，时，在的最小值为，最大值为1.
