1、2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为（）A5B4C3D22设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（）A2B2CD3已知M=，由图示程序框图输出的S为（）A1Bln2CD04已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=（）ABCD25已知圆x2+y2+mx=0与抛物线y=的准线相切，则m的值等于（）ABCD6正方体ABCDA1B1C1D1
2、中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）ABCD7下列命题正确的个数是（）（1）命题“若m0，则方程x2+xm=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+xm=0无实根，则m0”（2）对于命题p：“xR使得x2+x+10”，则p：“xR，均有x2+x+10”（3）“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件（4）若pq为假命题，则p，q均为假命题A4B3C2D18对于数列an，定义数列an+1an为数列an的“等差列”，若a1=2，an的“等差列”的通项公式为2n，则数列an的前2015项和S2015=（）A220161B2201
3、6C22016+1D2201629已知x0是的一个零点，x1（，x0），x2（x0，0），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）010已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）f（x）f（x0+2016）成立，则的最小值为（）ABCD11已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A2，0B2，0）C0，2D（0，212正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD
4、外接球表面积为（）A7B19C D 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知向量=（cos，sin），向量=（，1），且，则tan的值是14若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是15若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为16点P为双曲线右支上第一象限内的一点，其右焦点为F2，若直线PF2的斜率为，M为线段PF2的中点，且|OF2|=|F2M|，则该双曲线的离心率为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知ABC的面积为S，且（1）求tan2A的值；（2）若，求ABC的面积S18
5、退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在2080岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示若规定年龄分布在为“老年人”（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在2080年龄段的人口分布的概率从该城市2080年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望19在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，ACD与ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和
6、平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上（）求证：DE平面ABC；（）求二面角EBCA的余弦值20如图，椭圆C： +=1（ab0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|（）求椭圆C的离心率；（）若点M（，）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OPOQ求直线l的方程及椭圆C的方程21已知函数，其中常数a0（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知，f（x）表示f（x）的导数，若x1，x2（a，a），x1x2，且满足f（x1）+f（x2）=0，试比较f（x1+x2）与f（0）的大小，并加以证明请考生在22
7、、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，APC的平分线分别交AB，AC于点D，E（）证明：ADE=AED；（）若AC=AP，求的值选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C1的极坐标方程为=4sin，（1）求半圆C1的参数方程；（2）设动点A在半圆C1上，动线段OA的中点M的轨迹为C2，点D在C2上，C2在点D处的切线与直线平行，求点D的直角坐标选修4-5：不等式选讲24已知m，nR+，f（x）=|x
8、+m|+|2xn|（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为（）A5B4C3D2【考点】交集及其运算【分析】根据集合的基本运算进行求解【解答】解：A=x|x=3n+2，nN=2，5，8，11，14，17，则AB=8，14，故集合AB中元素的个数为2个，故选：D2设i是虚数单位，复数是纯虚
9、数，则实数a=（）A2B2CD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数=是纯虚数，=0，0，解得a=故选：D3已知M=，由图示程序框图输出的S为（）A1Bln2CD0【考点】定积分；程序框图【分析】根据积分的定义，分别解出M和N，再判断M与N的大小，代入程序图进行求解【解答】解：M=dx=ln（x+1）|=ln2，N=cosxdx=sinx|=1，ln21MN，由程序图可知求两个数的最大值，输出的是最小的一个数，S=ln2，故选：B4已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=（）ABCD2【考点】等比数列的通项公
10、式【分析】设公比为q0，由题意可得=2，a1q=2，由此求得a1的值【解答】解：设公比为q0，由题意可得=2，a1q=2，解得 a1=q，故选C5已知圆x2+y2+mx=0与抛物线y=的准线相切，则m的值等于（）ABCD【考点】直线与圆的位置关系【分析】由抛物线的方程找出P，写出抛物线的准线方程，因为准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值【解答】解：由抛物线的方程得到p=2，所以抛物线的准线为y=1，将圆化为标准方程得： +y2=，圆心坐标为（，0），圆的半径r=，圆心到直线的距离d=1=r=，化简得：m2=3，解
11、得m=故选D6正方体ABCDA1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C故选：C7下列命题正确的个数是（）（1）命题“若m0，则方程x2+xm=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+xm=0无实根，则m0”（2）对于命题p：“xR使得x2+x+10”，则p：“xR，均有x2+x+10”（3）“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必
12、要条件（4）若pq为假命题，则p，q均为假命题A4B3C2D1【考点】命题的真假判断与应用【分析】直接写出命题的逆否命题判断（1）；写出命题的否定判断（2）；求出方程的解后利用充分必要条件的判定方法判断C；由复合命题的真假判断判断D【解答】解：对于（1），命题“若m0，则方程x2+xm=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+xm=0无实根，则m0”，故（1）正确；对于（2），命题p：“xR使得x2+x+10”，则p：“xR，均有x2+x+10”，故（2）正确；对于（3），由x23x+2=0，解得x=1或x=2，“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件，故（3）正确；对于（4），若pq为
13、假命题，则p，q中至少一个为假命题，故（4）错误正确命题的个数有3个故选：B8对于数列an，定义数列an+1an为数列an的“等差列”，若a1=2，an的“等差列”的通项公式为2n，则数列an的前2015项和S2015=（）A220161B22016C22016+1D220162【考点】数列的求和【分析】利用“累加求和”及其等比数列的前n项和公式可得an，再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：a1=2，an的“等差列”的通项公式为2n，an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2n1+2n2+2+2=+1=2n数列an的前2015项和S2015=2+22+22015
14、=220162故选：D9已知x0是的一个零点，x1（，x0），x2（x0，0），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0【考点】函数零点的判定定理【分析】已知x0是的一个零点，可令h（x）=，g（x）=，画出h（x）与g（x）的图象，判断h（x）与g（x）的大小，从而进行求解；【解答】解：已知x0是的一个零点，x1（，x0），x2（x0，0），可令h（x）=，g（x）=，如下图：当0xx0，时g（x）h（x），h（x）g（x）=0；当xx0时，g（x）h（x），h（x）g（x）=0；x1（，x0），x2（x0，0），
15、f（x1）0，f（x2）0，故选C；10已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）f（x）f（x0+2016）成立，则的最小值为（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【分析】由题意可得区间x0，x0+2016能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2x+）+，再根据2016，求得的最小值【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016）是函数f（x）的最大值显然要使结论成立，只需保证区间x0，x0+2016能够包含函数的至少一个完整的单调
16、区间即可又f（x）=cosx（sinx+cosx）=sin2x+=sin（2x+）+，故2016，求得，故则的最小值为，故选：D11已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A2，0B2，0）C0，2D（0，2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，A（1，1），M（x，y），z=xy，即y=xz，平移直线y=xz，由图象可知当y=xz，经过点D（0，2）时，直线截距最大，此时z最小为z=02=2
17、当直线y=xz，经过点B（1，1）时，直线截距最小，此时z最大为z=11=0故2z0，故选：B12正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A7B19C D 【考点】球的体积和表面积【分析】三棱锥BACD的三条侧棱BDAD、DCDA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可【解答】解：根据题意可知三棱锥BACD的三条侧棱BDAD、DCDA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就
18、是球的半径，三棱柱中，底面BDC，BD=CD=1，BC=，BDC=120，BDC的外接圆的半径为=1由题意可得：球心到底面的距离为，球的半径为r=外接球的表面积为：4r2=7故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知向量=（cos，sin），向量=（，1），且，则tan的值是【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由向量的数量积的性质可知， =0，然后结合同角基本关系tan=可求【解答】解：由向量的数量积的性质可知， =0tan=故答案为：14若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（，0）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函
19、数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a的范围【解答】解：函数f（x）=x+alnx的定义域为：x0函数f（x）=x+alnx的导数为：f（x）=1+，当a0时，f（x）0，函数是增函数，当a0时，函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（，0）故答案为：（，0）15若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为15【考点】二项式系数的性质【分析】根据展开式的各项系数绝对值之和为4n=1024，求得n=5在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得r的值，可得展开式中x项的系数【解答】解：在的展开式中，令x=1，可得展开式的各项系数绝对值之和为4n=22
20、n=1024=210，n=5故展开式的通项公式为Tr+1=令=1，求得r=1，故展开式中x项的系数为15故答案为：1516点P为双曲线右支上第一象限内的一点，其右焦点为F2，若直线PF2的斜率为，M为线段PF2的中点，且|OF2|=|F2M|，则该双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】设|PF2|=t，则|OF2|=|F2M|=t=c，求得直线PF2的倾斜角为60，由三角函数的定义，可得P（2c， c），代入双曲线的方程，运用a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值【解答】解：设|PF2|=t，则|OF2|=|F2M|=t=c，即t=2c，由直线PF2的斜率为，可得直线PF
21、2的倾斜角为60，可得P（c+2ccos60，2csin60），即为P（2c， c），代入双曲线的方程可得=1，由b2=c2a2，e=，可得4e2=1，化为4e48e2+1=0，解得e2=（舍去），即有e=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知ABC的面积为S，且（1）求tan2A的值；（2）若，求ABC的面积S【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数【分析】（1）由已知和三角形的面积公式可得，进而可得tanA=2，由二倍角的正切公式可得答案；（2）由（1）中的tanA=2，可得sinA，cosA，由两角和的正弦公式可得si
22、nC，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案【解答】解：（1）设ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，tanA=2（2），即，tanA=2，解得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=由正弦定理知：，可推得18退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在2080岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示若规定年龄分布在为“老年人”（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率
23、视为该城市在2080年龄段的人口分布的概率从该城市2080年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）由频率分布直方图，能估算所调查的600人的平均年龄（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占频率，由题意知，XB（3，），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX【解答】解：（1）由频率分布直方图，估算所调查的600人的平均年龄为：250.1+350.2+450.3+550.2+650.1+750.1=48（岁）（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占频率，该城市2080年龄段
24、市民中随机抽取3人，抽到“老年人”的概率为又题意知，XB（3，），P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P随机变量X的数学期望EX=19在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，ACD与ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上（）求证：DE平面ABC；（）求二面角EBCA的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题【分析】（）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO平面ABC，作E
25、F平面ABC，由已知条件推导出EBF=60，由此能证明DE平面ABC（）法一：作FGBC，垂足为G，连接EG，能推导出EGF就是二面角EBCA的平面角，由此能求出二面角EBCA的余弦值法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出二面角EBCA的余弦值【解答】（本小题满分12分）解：（）由题意知，ABC，ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BOAC，DOAC，又平面ACD平面ABC，DO平面ABC，作EF平面ABC，那么EFDO，根据题意，点F落在BO上，BE和平面ABC所成的角为60，EBF=60，BE=2，四边形DE
26、FO是平行四边形，DEOF，DE不包含于平面ABC，OF平面ABC，DE平面ABC（）解法一：作FGBC，垂足为G，连接EG，EF平面ABC，EFBC，又EFFG=F，BC平面EFG，EGBC，EGF就是二面角EBCA的平面角RtEFG中，即二面角EBCA的余弦值为解法二：建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，B（0，0），C（1，0，0），E（0，），=（1，0），=（0，1，），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则，所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角EBCA的余弦值为20如图，椭圆C： +=1（ab0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|
27、BF|（）求椭圆C的离心率；（）若点M（，）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OPOQ求直线l的方程及椭圆C的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由已知得，由此能求出（）由（）知a2=4b2，设椭圆C：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得，直线l的方程为2xy+2=0由，由此能求出椭圆C的方程【解答】（本题满分13分）解：（）由已知，即，4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2c2）=5a2，（）由（）知a2=4b2，椭圆C：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得，即，即，从而，进而直线l的方程为，即2xy+2=0由，即17x2+
28、32x+164b2=0.，OPOQ，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0从而，解得b=1，椭圆C的方程为21已知函数，其中常数a0（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知，f（x）表示f（x）的导数，若x1，x2（a，a），x1x2，且满足f（x1）+f（x2）=0，试比较f（x1+x2）与f（0）的大小，并加以证明【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可；（2）令g（x）=f（x），求出g（x）的导数，得到g（x）的单调性，得到f（x1+x2）的表达式，通过换
29、元法求出其最大值，从而判断出与f（0）的大小即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（a，+），由f（x）=0，得x1=0，当时，所以f（x）在上为增函数；当时，所以f（x）在（0，+），上为增函数；在上为减函数；当时，所以f（x）在，（a，0）上为增函数；在上为减函数；（2）令则，axa，0x+a2a，g（x）0，g（x）在（a，a）上为减函数，即f（x）在（a，a）上为减函数，以题意，不妨设x1x2，又因为f（0）=0，f（x1）+f（x2）=0，所以，ax10x2a，所以，0x1+aa，且ax1+x2a，由f（x1）+f（x2）=0，得，=，令t=x1+a，则，所以，h（t）在（0，
30、a）内为增函数，又因为t=x1+a（0，a）所以，h（t）h（a）0，即：所以，f（x1）+f（x2）f（0）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，APC的平分线分别交AB，AC于点D，E（）证明：ADE=AED；（）若AC=AP，求的值【考点】弦切角；相似三角形的性质【分析】（）根据弦切角定理，得到BAP=C，结合PE平分APC，可得BAP+APD=C+CPE，最后用三角形的外角可得ADE=AED；（）根据AC=AP得到APC=C，结合（I）中的结论可得AP
31、C=C=BAP，再在APC中根据直径BC得到PAC=90+BAP，利用三角形内角和定理可得利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出APCBPA，从而【解答】解：（）PA是切线，AB是弦，BAP=C又APD=CPE，BAP+APD=C+CPEADE=BAP+APD，AED=C+CPE，ADE=AED（） 由（）知BAP=C，APC=BPA，AC=AP，APC=CAPC=C=BAP由三角形内角和定理可知，APC+C+CAP=180BC是圆O的直径，BAC=90APC+C+BAP=18090=90在RtABC中，即，在APC与BPA中BAP=C，APB=CPA，APCBPA 选修4-
32、4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C1的极坐标方程为=4sin，（1）求半圆C1的参数方程；（2）设动点A在半圆C1上，动线段OA的中点M的轨迹为C2，点D在C2上，C2在点D处的切线与直线平行，求点D的直角坐标【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步转化成参数方程，注意参数的取值范围（2）由中点坐标公式求得点M的坐标，易得曲线C2的参数方程，结合切线与平行线的性质来求得点D的坐标即可【解答】解：（1）半圆C的极坐标方程为=4sin，转化成直角坐标方程为：x2+
33、y24y=0（0x2）再把半圆C1化为参数方程为：（为参数，）；（2）设M（x，y），由中点坐标公式，得：x=cos，y=1+sin所以曲线C2的参数方程为：（为参数，），因为C2在点D处的切线与直线平行，则点D对应的参数=+=由曲线C2的参数方程得，xD=cos=，yD=1+sin=故点D的直角坐标为（，）选修4-5：不等式选讲24已知m，nR+，f（x）=|x+m|+|2xn|（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值【考点】分段函数的应用【分析】（1）化绝对值函数为f（x）=，从而判断函数的单调性及最值即可；（2）由基本不等式可得【解答】解：（1）f（x）=，f（x）在是减函数，在是增函数；当x=时，f（x）取最小值=（2）由（1）知，f（x）的最小值为，=2，m，nR+，（当且仅当，即m=1，n=2时，取等号），的最小值为22016年8月4日