1、宜宾市2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试 数 学（理工农医类）【试卷综述】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.【题文】第卷（选择题，共50分） 【题文】一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1.已知集合,则 (A) (B) (C) (D) 【知识点】
2、交集的运算.A1【答案】【解析】A 解析：因为，所以，故选A。【思路点拨】直接利用交集的定义即可.【题文】2.函数的图象 (A) 关于轴对称 (B) 关于轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线对称【知识点】余弦函数的图象C3【答案】【解析】B 解析：余弦函数是偶函数,函数是偶函数，故关于y轴对称，故选B【思路点拨】根据余弦函数是偶函数关于y轴对称可得答案【题文】3二项式的展开式中，的系数为 (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 【知识点】二项式定理的应用J3【答案】【解析】A 解析：二项式的展开式的通项为；令103r=1解得r=3，二项式的展开式中的系数为C53=10，
3、故选A【思路点拨】先求出二项式的展开式的通项，然后令的指数为1，求出r，从而可求出的系数【题文】4.给出下列三个命题：命题：,使得，则：，使得 是“”的充要条件.若为真命题，则为真命题.其中正确命题的个数为(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【知识点】命题的真假判断与应用A2【答案】【解析】C 解析：若命题：,使得，则：，使得，故正确；“”，故是“”的充要条件正确若为真命题，则p，q中至少存在一个真命题，若此时两个命题一真一假，则为假命题，故错误；故正确的命题个数为：2个，故选：C【思路点拨】写出原命题的否定形式，可判断；根据充要条件的定义，可判断；根据充要条件的定义，可判断.【题文
4、】5执行如图所示的程序框图，输出的S值是(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16【知识点】循环结构L1【答案】【解析】C 解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，故选C.【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，并输出【题文】6.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程是(A) (B) (C) 或 (D) 或【知识点】抛物线的标准方程H7【答案】【解析】D 解析：设抛物线方程为，代入点可得，解得，则抛物线方程为，设抛物线方程为，代入点可得，解得，则抛物线方程为，故抛物
5、线方程为或故选：D【思路点拨】设抛物线方程分别为，或，代入点，解方程，即可得到m，n进而得到抛物线方程【题文】7.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起， 则不同的站法有(A) 192种 (B) 120种 (C) 96种 (D) 48种【知识点】排列、组合及简单计数问题J2 J1【答案】【解析】A 解析：不妨令小李、小张在小明左侧，先排小李、小张两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法考虑到小李、小张在右侧的站法，故总的站法总数是2A22C41A22A33=192故选：A【思路点拨】由于小明必须站
6、正中间，故先安排小明，两边一边三人，不妨令小李、小张在小明左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数，计数时要先安排小李、小张两人，再安排小明左边的第三人，最后余下三人，在小明右侧是一个全排列【题文】8.已知单位向量和的夹角为,记 , , 则向量与的夹角为(A) (B) (C) (D) 【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】C 解析：由于单位向量和的夹角为，则=11cos60=，则，即有，则由于，则向量与的夹角为故选C【思路点拨】运用向量的数量积的定义，求得单位向量和的数量积，再求向量与的数量积和模，运用向量的夹角公式计算即可得到夹角【题文】9.双曲线的左右焦点为,
7、是双曲线右支上一点，满足条件,直线与圆相切，则双曲线的离心率为(A) (B) (C) (D)【知识点】双曲线的简单性质H6【答案】【解析】D 解析：设与圆相切于点M，因为，所以为等腰三角形，所以，又因为在直角中，|2=|2a2=c2a2，所以又 ， 由解得故选D【思路点拨】先设PF1与圆相切于点M，利用，及直线与圆相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值【题文】10.设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 (A) 2 (B) (C) (D) 【知识点】分段函数的应用B9【答案】【解析】B 解析：根据的函数，我们易得出其值域为：R，又时，值域为；时，其值域为
8、R，可以看出的值域为上有两个解，要想，在上只有唯一的满足，必有（因为），所以：2，解得：x4，当 x4时，x与f（f（x）存在一一对应的关系，且a0，所以有：（2at1）（at+1）0，解得：或者（舍去），故选：B【思路点拨】此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合的值域范围或者图象，易知只有在的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当2时，才会存在一一对应【题文】第卷（非选择题，共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.【题文】11.已知是虚数单位，则.【知识点】复数的基本运算.L4【答案】【解析】1+i 解析：，故答案为.【思路点拨】在分式的分子分
9、母同时乘以分母的共轭复数再进行化简即可。【题文】12.函数的图像在点处的切线方程为. 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11【答案】【解析】 解析：；故；故函数的图象在点处的切线方程为：；即；故答案为：【思路点拨】由题意求导，从而可知切线的斜率，从而写出切线方程【题文】13.在中，内角所对的边分别为，且满足，则角B的大小为.【知识点】正弦定理C8【答案】【解析】 解析：在ABC中，利用正弦定理化简得：，即，则B=，故答案为：【思路点拨】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出tanB的值，即可确定出B的度数【题文】14.在正方体中，点是上底面的中心，点在线段上运动，则异面直线与
10、所成角最大时，.【知识点】异面直线所成的角G9【答案】【解析】 解析：由题意可判断出BC在平面的射影为BD,可知当在平面内越远离射影时面直线与所成角越大，所以当Q与P点重合时，异面直线与所成角最大，不妨设正方体的棱长为2，则,根据余弦定理，故答案为。【思路点拨】由题意可判断出BC在平面的射影为BD,可知当在平面内越远离射影时面直线与所成角越大，所以当Q与P点重合时，异面直线与所成角最大，再结合余弦定理即可。【题文】15.对于函数，有下列4个结论：任取，都有恒成立；，对于一切恒成立；函数有3个零点；对任意，不等式恒成立 则其中所有正确结论的序号是.【知识点】分段函数的应用B1【答案】【解析】 解
11、析：的图象如图所示：的最大值为1，最小值为1，任取，都有恒成立，正确；f（）=2f（+2）=4f（+4）=8f（+6）8f（+8），故不正确；如图所示，函数有3个零点；对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是，结合图象，可得正确故答案为：【思路点拨】作出的图象，利用图象可得结论【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.【题文】16.（本题满分12分）已知函数，且周期为.（I）求的值；（II）当时，求的最大值及取得最大值时的值.【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象C3 C7【
12、答案】【解析】（I）;（II），取得最大值为解析：（I）.（2分） =.（4分）且， 故.（6分）（II） 由(1)知 .（7分）.（9分）当时，即，取得最大值为.（12分）【思路点拨】（I）化简解析式可得，由且，即可求的值;（II）由已知先求得，可求得，从而可求最大值及取得最大值时的值【题文】17.（本题满分12分）在2014年11月4日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位：)有关，若日平均气温不超过15 ，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过15但不超过20 ，则日销售量为150 瓶；若日平均气温超过20 ，则日销售量
13、为200瓶据宜宾市气象部门预测，该地区在运动会期间每一天日平均气温不超过15 ，超过15 但不超过20 ，超过20 这三种情况发生的概率分别为P1，P2，P3，又知P1，P2为方程5x23xa0的两根，且P2P3.（I）求P1，P2，P3的值；（II）记表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位：瓶)，求的分布列及数学期望【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差K6【答案】【解析】（I）;（II）分布列见解析, 解析：（I）由已知得，解得：（II）的可能取值为200，250，300，350，400 随机变量的分布列为所求的数学期望为【思路点拨】（）利用P1，P2为
14、方程5x23x+a=0的两根，即可求的值；（）确定的可能取值，求出相应的概率，即可求的分布列及数学期望【题文】18.（本题满分12分）如图，一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O, G、H分别是AE、BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC.（I）证明:GH/平面ACD；（II）若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法G4 G9 G11【答案】【解析】（I）见解析;（II） 解析：（I）证明：连结GO,OH GO/AD,OH/AC.（2分）GO/平面ACD,OH
15、/平面ACD,又GO交HO于O.（.4分）平面GOH/平面ACD.（5分）GH/平面ACD.（6分）（II） 法一：以CB为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立如图所示的直角坐标系则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)平面BCE的法向量，设平面OCE的法向量.（8分）则，故令.（10分）二面角O-CE-B是锐二面角，记为，则.（12分）法二：过H作HMCE于M，连结OMDC平面ABC 平面BCDE平面ABC又AB是圆O的直径 ACBC,而AC/OHOHBC OH平面BCE.（8分）OHCE ,又HMCE于M CE平面OHMCEOM 是二面角O-
16、CE-B的平面角.（10分）由且CE=. 又OH=在. .（11分）.（12分）【思路点拨】（）连结GO，OH，证明GO平面ACD，OH平面ACD，利用平面与平面平行的判定定理证明平面GOH平面ACD然后证明GH平面ACD（）以CB为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出C，B，A（，O，E的坐标，平面BCE的法向量，平面OCE的法向量二面角OCEB是锐二面角，记为，利用空间向量的数量积求解cos即可【题文】19. （本题满分12分） 已知数列的前项和为，向量,满足条件,且.（I）求数列的通项公式；（II）设函数，数列满足条件， (i) 求数列的通项公式；(ii)设，求数
17、列的前和.【知识点】数列的求和D4【答案】【解析】（I）;（II）; 解析：（）因为所以. 当时， .（2分） 当时，满足上式 所以 .（4分）（）（） ，又 是以2为首项3为公差的等差数列 .（8分） （） -得 .（12分）【思路点拨】（）由可得，然后利用（n2）求得数列的通项公式；（）（）再由，得到，说明是以2为首项3为公差的等差数列由等差数列的通项公式可得bn；（）把数列、的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前和【题文】20. （本题满分13分）已知点的坐标分别为，直线相交于点,且它们的斜率之积是（I）求点的轨迹方程；（II）过点作两条互相垂直的射线，与点的轨迹交于两点.试判断点
18、到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由.【知识点】轨迹方程H9【答案】【解析】（I） ;（II）为定值 解析：（）解：，由题可得 .（4分） 所以点M的轨迹方程为 .（6分 ） （）点O到直线AB的距离为定值 ，设, 当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线OA： 将代入，解得 所以点O到直线AB的距离为； .（8分） 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为与 联立消去得 ， .（9分） 因为，所以， 即 所以，整理得，.（12分 ） 所以点O到直线AB的距离 综上可知点O到直线AB的距离为定值 .（13分 ） 【思路点拨】（）由题可得，即可求点M的轨
19、迹方程；（）（）分类讨论，直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，代入椭圆方程，消去y，利用，可得，整理得，即可得出结论.【题文】21. （本题满分14分）已知函数，在轴上的截距为，在区间上单调递增，在上单调递减，又当时取得极小值.（I）求函数的解析式；（II）能否找到函数垂直于轴的对称轴，并证明你的结论；（）设使关于的方程恰有三个不同实根的实数的取值范围为集合，且两个非零实根为,试问：是否存在实数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件B11 B12【答案】【解析】（I）;（II）见解析;（）
20、不存在. 解析：（）易知 (1分)又由，得(2分)令，得由，得(3分)由得 (4分)（）若关于直线对称（显然），则取点关于直线对称的点必在上，即，得 (6分)又 (7分)验证，满足 (9分)（也可直接证明，计算较繁琐；）（）由（1）知，即又为其一根，得且故 (10分)又，得，故且 , (11分)即只需 (12分)设无解即不存在满足题意的实数m. (14分)【思路点拨】（）利用函数在y轴上的截距为5，可求得c=5根据函数f（x）在区间0，1上单调递增，在1，2上单调递减，可得x=1时取得极大值，当x=0，x=2时函数f（x）取得极小值可知x=0，x=1，x=2为函数f（x）的三个极值点，从而f（x）=0的三个根为0，1，2，由此可求函数f（x）的解析式；（）若关于直线对称（显然），则取点关于直线对称的点必在上，即，得,从而可出对称轴x=1（）恰好有三个不同的根，等价于恰好有三个不同的根，由于是一个根，所以方程应有两个非零的不相等的实数根，从而可求的取值范围要使m2+tm+2|x1x2|对任意t3，3，A恒成立，可转化为m2+tm+20对任意t3，3恒成立，构造函数，只要，从而可知不存在实数m满足题意