1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用基础全面练(15分钟30分)1(2021石嘴山高二检测)联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有多少种()A22 B23 C24 D25【解析】选D.由题意知，若每个国家都要有物资援助，需要分为：三个国家粮食和药品都有，有1种方法；一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法；一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法；两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法；两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有
2、3(22)12种方法根据分类加法计数原理，方法总数是25.2如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有_种()A.120 B260 C340 D420【解析】选D.由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有5431354322180240420(种).3小明正在玩一款“种菜”的游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小明已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种
3、植方案共有_种.【解析】当第一块地种茄子时，有43224种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有43224种不同的种法，故共有48种不同的种植方案答案：484如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有_条不同的路线【解析】不同路线共有344532(条).答案：325从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少个？【解析】第一类：一位数中除8外符合要求的有8个；第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，有89个符合要求；第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数
4、字除8外均有9种情况，有99个，而百位上数字是2的只有200符合所以总共有889991162(个).综合突破练(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有()A6种 B7种 C8种 D9种【解析】选D.可按女生人数分类：若选派一名女生，有236种；若选派2名女生，则有3种由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法2由数字1，2，3，4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是()A4 B8 C16 D24【解析】选B.由题意分析知，
5、严格递增的三位数只要从4个数中任取3个，共有4种取法；同理严格递减的三位数也有4个，所以符合条件的数的个数为448.3对于自然数n作竖式运算n(n1)(n2)时不进位，那么称n是“良数”，如32是“良数”，由于计算323334时不进位，23不是“良数”，由于计算232425时要进位，那么小于1000的“良数”有()A36个 B39个 C48个 D64个【解析】选C.如果n是良数，则n的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3(首位不为0)，而小于1 000的数至多三位，一位的良数有0，1，2，共3个，二位良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有339个，三位良数个位可取
6、0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有34336，综上，小于1 000“良数”的个数为393648个【拓展延伸】本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理及新定义问题，属于难题新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决本题通过定义“良数”达到考查两个计数原理的目的 4从1，2，3，9，这9
7、个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f(x)ax2bxc的系数，则满足Z的函数f(x)共有 ( )A44个 B204个 C264个 D504个【解析】选C.由题设可得f(1)abc是偶数，可分两类：一是取出的三个数都是偶数，只能从2，4，6，8中选取，根据分步乘法计数原理共有43224种；第二类取出的三个数是两奇一偶，偶数从2，4，6，8中选取，共有4种，两个奇数从1，3，5，7，9中选取，有10种，然后再全排，根据分步乘法计数原理共有432110240种；由分类加法计数原理可得函数的个数为24024264个5(2021白银高二检测)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2，且a3a
8、2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为()A240 B204 C729 D920【解析】选A.分8类当中间数为2时，有122(个)；当中间数为3时，有236(个)；当中间数为4时，有3412(个)；当中间数为5时，有4520(个)；当中间数为6时，有5630(个)；当中间数为7时，有6742(个)；当中间数为8时，有7856(个)；当中间数为9时，有8972(个).故共有26122030425672240(个).二、填空题(每小题5分，共15分)6如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有_种不同涂色方法13425【解析】
9、区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法，区域4可选与3不同的3种颜色，有3种选法，区域5从区域4剩下的2种颜色中选，有2种选法，共有43232144种答案：1447用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)【解析】方法一：数字2只出现一次的四位数有4个；数字2出现两次的四位数有6个；数字2出现三次的四位数有4个故总共有46414(个).方法二：由数字2，3组成的四位数共有2416个其中没有数字2的四位数只有1个，没有数字3的四位数也只有1个，故符合条件的四位数共有16214(个).答案：148如图的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们
10、称这样的图案为L形，那么在由35个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数为_(注：其他方向的也是L形).【解析】每四个小正方形图案都可画出四个不同的L形图案，该图中共有8个这样的小正方形故可画出不同位置的L形图案的个数为4832.答案：32三、解答题(每小题10分，共20分)9一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡(1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？【解析】(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第1
11、类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；第2类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法根据分类加法计数原理，共有101222(种)取法(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法根据分步乘法计数原理，共有1012120(种)取法【补偿训练】 若某人只需要两张卡(可同为移动卡或联通卡)，放到两个手机内使用，问共有多少种不同的取法？【解析】可以分两步完成：第一步，从包括移动和联通在内的22张卡中任选一张，有22种选法；第二步，从剩下的21张卡中任选一张，共有21
12、种选法根据分步乘法计数原理，共有2221462(种)取法 10如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数【解析】方法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1，2，3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S，A，B已染好时，C，D
13、还有7种染法，故不同的染色方法有607420(种).方法二：以S，A，B，C，D顺序分步染色第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种).方法三：按所用颜色种数分类第一类，5种颜色全用，共有54321120种不同的方
14、法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有25432240种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有54360种不同的方法由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为12024060420(种).创新迁移练(2021南宁高二检测)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为()A.46 B44 C42 D40【解析】选B.按每一位算筹的根数分类一共有15种情况，如下：(5，0，0)，(4，1，0)，(4，0，1)，(3，2，0)，(3，1，1)，(3，0，2)，(2，3，0)，(2，2，1)，(2，1，2)，(2，0，3)，(1，4，0)，(1，3，1)，(1，2，2)，(1，1，3)，(1，0，4)，2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，则上述情况能表示的三位数字个数分别为2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根据分类加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为22242444442242244.