1、单元素养评价(三) (第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020全国卷)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.D.2【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.2.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,mR,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.因为z1=z2,所以解得m=1或m=-2,所以m=1是z1=z2的充
2、分不必要条件.3.设z1=3-4i,z2=2+3i,则z1-2z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为z1-2z2=3-4i-2(2+3i)=-1-10i,在复平面内对应的点(-1,-10)位于第三象限.4.已知a是实数,是纯虚数,则a等于()A.1B.-1C.D.-【解析】选A.=是纯虚数,则a-1=0,a+10,解得a=1.5.若i(x+yi)=3+4i(x,yR),则复数x+yi的模是()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.由i(x+yi)=3+4i,得-y+xi=3+4i,解得x=4,y=-3,所以复数x+yi的模为=5.6.在
3、复平面内,O是原点,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为()A.4+7iB.1+3iC.4-4iD.-1+6i【解析】选C.因为,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,=-=-(+),所以对应的复数为3+2i-(-2+i)+(1+5i)=4-4i.7.在复平面内,复数z=所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.在复平面内,复数z=-i,所对应的点位于第三象限.8.若复数z=a+的实部与虚部相等,其中a是实数,则a=()A.1B.0C.-1D.2【解析】选A.因为z=a+=a+=a+i的实部与虚部相等,所以a=1.9.设复
4、数z=1-i(i是虚数单位),则的虚部为()A.iB.-C.D.-i【解析】选C.因为z=1-i,所以=-+i.所以的虚部为.10.当z=-时,z100+z50+1的值是()A.1B.-1C.iD.-i【解析】选D.原式=+1=+1=(-i)50+(-i)25+1=-i.11.已知复数的实部与虚部互为相反数,那么实数b等于()A.B.C.2D.-【解析】选D.复数=,由于复数的实部与虚部互为相反数,那么(2-2b)+(-4-b)=0b=-.12.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应点的轨迹是 ()A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆【解析】选A.由题意知(|z|-
5、3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=-1,因为|z|0,所以|z|=3,所以复数z在复平面内对应点的轨迹是1个圆.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中的横线上)13.复数(i是虚数单位)的虚部是_.【解析】因为=1-i,所以复数的虚部是:-1.答案:-114.-3的平方根是_.【解析】由(i)2=-3得解.答案:i15.设zC,|z|=1,则|z-(1+i)|的最大值是_.【解析】由题意可知,复数z的轨迹为单位圆,如图,|z-(1+i)|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离,由图可知,|z-(1+i)|的最大值为|AP|=1+.答案:1+16.下列
6、说法中正确的序号是_.若(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中xR,yCR,则必有2+i1+i;虚轴上的点表示的数都是纯虚数;若一个数是实数,则其虚部不存在;若z=,则z3+1对应的点在复平面内的第一象限.【解析】由yCR,知y是虚数,则不成立,故错误;两个不全为实数的复数不能比较大小,故错误;原点也在虚轴上,表示实数0,故错误;实数的虚部为0,故错误;中z3+1=+1=i+1,对应点在第一象限,故正确.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)计算:(1)(1+i).(2).(3).【解析】(1)(1+i)=(1+i)=(1+i)=
7、+i=-+i.(2)=+i.(3)=1-i.18.(12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2.【解题指南】解题的关键就在于“z1z2是实数”这一条件,可得z1z2的虚部为零,进而求出结果.【解析】可以结合复数z2的虚部为2,设z2=a+2i,由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i,又已知z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数,则虚部4-a=0,即a=4,即复数z2=4+2i.19.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2
8、,当a为何值时,w为:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.【解题指南】求复数z化简w求待定系数a的值.【解析】设z=x+yi(x,yR),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,=(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,(1)当w为实数时,令a-2=0,所以a=2.(2)w为虚数,只要a-20,所以a2.(3)w为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-20,所以a=-2或a=6.20.(12分)设复数z=2m+(4-m2)i,其中i为虚数单位,当实数m取何值时,复数z对应的点:(
9、1)位于虚轴上.(2)位于一、三象限.(3)位于以原点为圆心,以4为半径的圆上.【解析】(1)复数z对应的点位于虚轴上,则m=0.所以m=0时,复数z对应的点位于虚轴上.(2)复数z对应的点位于一、三象限,则2m(4-m2)0m(m-2)(m+2)0m-2或0m2.所以当m(-,-2)(0,2)时,复数z对应的点位于一、三象限.(3)复数z对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上,则|z|=4m=0或m=2.所以m=0或m=2时,复数z对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上.21.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.(1)求复数z.(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应
10、点分别为A,B,C,求ABC的面积.【解析】(1)设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以SABC=1.当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以SABC=1.22.(12分)已知复平面内的平行四边形ABCD中,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:(1)点C,D对应的复数;(2)平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.设O为坐标原点,又因为=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因为=,所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为=|cos B,所以cos B=.因为0B,所以SABCD=|sin B=7,所以平行四边形ABCD的面积为7.