1、单元素养评价(二) (第3章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.设复数z满足z(1+i)=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为()A.-iB.-1C.1D.i【解析】选B.由z(1+i)=2得z=1-i,所以z的虚部为-1.2.已知实数a,b满足a=(1+i)(1-bi),其中i是虚数单位,则|a-bi|=()A.B.C.5D.3【解析】选A.a=(1+i)(1-bi)=(1+b)+(1-b)i,因为a,b是实数,所以 解得 所以=.3.(2020全国卷)复数(1+i)=1-i,则z=()A.1-i
2、B.1+iC.-iD.i【解析】选D.因为=-i,所以z=i.4.复数z1=2+i,若复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z1z2=()A.5B.C.-5D.1【解析】选C.由题意知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=-5.5.已知复数z满足:(-1+2i)+=5-6i,则|z|=()A.6B.8C.D.10【解析】选D.=(5-6i)-(-1+2i)=5-6i+1-2i=6-8i,所以z=6+8i,所以|z|=10.6.已知复数z=,i为虚数单位,是z的共轭复数,则z=()A.iB.-iC.-1D.1【解析】选D.z=i,所以z=-i2=1.7.若复数(bR)的
3、实部与虚部互为相反数,则b=()A.-B.C.D.【解析】选A.因为=-i,又因为复数(bR)的实部与虚部互为相反数,所以=,解得b=-.8.定义复数的一种运算z1*z2=(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且实数a,b满足a+b=3,则z* 最小值为()A.B.C.D.【解析】选B.z*=|z|=,因为a+b=3,所以ab=,因此z*=.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.设有下面四个命题,其中真命题为()A.若复数z满足R,则zRB.若复数z满足z2R,则zR
4、C.若复数z1,z2满足z1z2R,则z1=D.若复数zR,则R【解析】选AD.令z=a+bi(a,bR),则由=R得b=0,所以zR,故A正确;当z=i时,因为z2=i2=-1R,而z=iR知,故B不正确;当z1=z2=i时,满足z1z2=-1R,但z1,知C不正确;对于D,因为实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故D正确.10.已知aR,i是虚数单位,若z=a+i,z=4,则a的值可以为()A.1 B.-1 C.- D.【解析】选AB.由z=a+i,z=4得a2+3=4,所以a=1.11.当实数a取下列哪些值时,复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限()A.-
5、5 B.-1 C.-2 D.1【解析】选AC.z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为对应的点在第二象限,所以解得a-1.12.已知复数(1+i)(a+bi)=2+4i(a,bR),函数f(x)=2sin图象的对称中心是()A.B.C.D.【解析】选BCD.因为(1+i)(a+bi)=2+4i,所以a+bi=3+i,所以a=3,b=1.f(x)=2sin,令3x+=k,kZ,所以x=-+,kZ,令k=0,得x=-,令k=1,得x=,令k=3,得x=.故选BCD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 请把正确答案填在题中横线上)13.已知复数z=(1+i)(1+2i
6、),其中i是虚数单位,则z的模是_.【解析】z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,所以|z|=.答案:14.设x,y为实数且+=,则x+y=_.【解析】+=可化为+=,即+i=+i,由复数相等的充要条件知所以所以x+y=4.答案:415.(2019江苏高考)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是_.【解析】因为(a+2i)(1+i)=(a+2)i+a-2,实部为0,即a-2=0,所以a=2.答案:216.已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=_, ab=_.【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则解得则a2+b2
7、=5,ab=2.答案:52四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z1=1-2i,z2=3+4i,i为虚数单位.(1)若复数z1+az2对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.(2)若z=,求z的共轭复数.【解析】(1)z1+az2=1-2i+a(3+4i)=1+3a+(4a-2)i,由题意得解得a.(2)z=-1-i,所以z的共轭复数=-1+i.18.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.【解析】设z=x+yi(x,yR),则z+2
8、i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.因为=(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.所以(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.由于(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,所以解得2a6.所以实数a的取值范围是(2,6).19.(12分)求实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)零.【解析】令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,z是实数.(2)当
9、k2-5k-60,即k6且k-1时,z是虚数.(3)当即k=4时,z是纯虚数.(4)当即k=-1时,z是0.20.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OABC.求顶点C所对应的复数z.【解析】设zC=x+yi,x,yR,对应的复数为-2+6i-(1+2i)=-3+4i,因为OABC,|OC|=|AB|,所以kOA=kBC,|zC|=|-3+4i|,即解得或因为|OA|BC|,所以x=-3,y=4(舍去),故z=-5.【拓展延伸】数形结合思想方法的应用(1)复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现,它们可以相
10、互转化.(2)涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.21.(12分)已知复数z=,=z+ai(aR),当时,求a的取值范围.【解析】因为z=1-i,所以|z|=,又=,所以|2.而=z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i(aR),则2(a-1)23,所以-a-1,1-a1+.22.(12分)已知实数x,y满足(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i.(1)求实数x,y的值.(2)若复数z=x+(y-2)i,求复数z的共轭复数以及复数z的模|z|.【解析】(1)原等式可整理为(3y-2x)+(-10y+x)i=1-9i.根据复数相等的条件可得所以(2)z=1-i,=1+i,|z|=.【补偿训练】已知z1=cos +isin 2,z2=sin +icos ,当为何值时:(1)z1=z2.(2)z1,z2对应点关于x轴对称.(3)|z2|.【解析】(1)因为z1=z2,所以即解得=2k+(kZ).(2)因为z1与z2对应点关于x轴对称,所以即解得=2k+(kZ).(3)因为|z2|,所以,即3sin2+cos22,化简得sin2,解得-sin ,所以k-k+(kZ).