1、本作品版权由孙小明老师所有,授权予北京校园之星科技有限公司，任何机构或个人均不得擅自复制、传播。本公司热忱欢迎广大一线教师加入我们的作者队伍。有意者请登录高考资源网()版权所有，盗用必究！7.5曲线和方程（一）一、教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法（5）进一步理解数形结合的思想方法 二、教
2、材分析（1）知识结构 曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题（2）重点、难点分析本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法三、教法分析（1
3、）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系注意强调曲线方程的完备性和纯粹性（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设 表示曲线 上适合某种条件的点 的集合； 表示二元方程的解
4、对应的点的坐标的集合可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得教学中对课本例2的解法分析很重要这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即 文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式 数学符号语言中含动点坐标 ， 的代数方程 简化了的 ， 的代数方程 由此可
5、见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程” （6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”四、教学过程(一)创设情境： 温故知新，揭示课题问题： (1)求如图所示的AB的垂直平分线的方程；(2)画出方程和方程所表示的曲线观察、思考，求得(1)的方程为，(2)题画图如下 讲解：第(1)题是从曲线到方程，曲线C(即AB的垂直平分线)点的坐标(x,y)方程f(x,y)=0 第(2)题是从方程到曲线，即方程f(x,y)=0 解(x,y)(即点的坐标)曲线C教师在
6、此基础上揭示课题，并提出下面的问题让学生思考问题:方程f(x,y)=0的解与曲线C上的点的坐标，应具备怎样的关系，才叫方程的曲线，曲线的方程？设计意图：通过复习以前的知识来引入新课，然后提出问题让学生思考，创设问题情境，激发学生学习的欲望和要求（二）探究新知1曲线的方程和方程的曲线2坐标法和解析几何的意义、基本问题对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程（2）通过方程，研究平面曲线的性质事实上，在前边
7、所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线本节课就初步研究曲线方程的求法（三）探究新知例1：设 、 两点的坐标是 、（3，7），求线段 的垂直平分线 的方程首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决解法一：易求线段 的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为 分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决可是，你们是否想过恰好就是所求的吗？或者说就是直线 的方程？根据是什么，有证明吗？（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）证明：（1）曲线上的点
8、的坐标都是这个方程的解设 是线段 的垂直平分线上任意一点，则 即将上式两边平方，整理得这说明点 的坐标 是方程 的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点设点 的坐标 是方程的任意一解，则 到 、 的距离分别为 所以 ，即点 在直线 上 综合（1）、（2），是所求直线的方程 至此，证明完毕回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设 是线段 的垂直平分线上任意一点，最后得到式子 ，如果去掉脚标，这不就是所求方程 吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设 是线段 的垂直平分线上任意一点，也就是点 属于集合由两点间的距离公式
9、，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想因此是个好方法让我们用这个方法试解如下问题：例2：点 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数 求点 的轨迹方程分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系然后仿照例1中的解法进行求解求解过程略（四）课堂练习：1如果曲线C上
10、的点满足方程F（x,y)=0，则以下说法正确的是（ ）A.曲线C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲线是CC.坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线C上D.坐标不满足方程F（x,y)=0的点不在曲线C上分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程和曲线解：由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性.故选D 2.判断下列结论的正误，并说明理由.（1）过点A（3，0）且垂直于x轴
11、的直线的方程为x=0; (2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2;(3)到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1;(4)ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D为BC中点，则中线AD的方程为x=0 分析：判断所给问题的正误，主要依据是曲线的方程及方程的曲线的定义，即考查曲线上的点的纯粹性和完备性.解：（1）满足曲线方程的定义.结论正确（2）因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个；y=2，即不具备完备性.结论错误.（3）到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为xy=1,即xy=1.所给问题不具备完备性结论错误（4）中线AD是一条线段，而不是直线，x=0(-
12、3y0),所给问题不具备纯粹性.结论错误.3.方程（3x-4y-12)log2(x+2y)-3=0的曲线经过点A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个分析：方程表示的两条直线3x-4y-12=0和x+2y-9=0，但应注意对数的真数大于0，x+2y0 解：由对数的真数大于0，得x+2y0.A(0,-3)、C()不合要求将B（0，4）代入方程检验，不合要求.将D（4，0）代入方程检验，合乎要求.故选B.4.已知点A（-3，0），B（0，），C（4，-），D（3sec, tan),其中在曲线上的点的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4
13、分析：由曲线上的点与方程的解的关系，只要把点的坐标代入方程，若满足这个方程，说明这是这个方程的解，这个点就在该方程表示的曲线上.解：将点A（-3，0）、B（0，）、C（4，-）、D（3sec, tan)代入方程检验，只有点A和点B满足方程.故选B.5.如果两条曲线的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它们的交点M（x0,y0)，求证：方程F1(x,y)+F2(x,y)=0表示的曲线也经过M点.（为任意常数）分析：只要将M点的坐标代入方程.F1(x,y)+F2(x,y)=0，看点M的坐标是否满足方程即可证明：M(x0,y0)是曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点，F1（x0,
14、y0)=0,F2(x0,y0)=0.F1(x0,y0)+F2(x0,y0)=0(R)M(x0,y0)在方程F1(x,y)+F2(x,y)=0所表示的曲线上.评述：方程F1(x,y)+F2(x,y)=0也称为过曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点的曲线系方程(五)概括总结通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如 表示曲线上任意一点 的坐标；（2）写出适合条件 的点 的集合；（3）用坐标表示条件 ，列出方程 ；（4）化方程 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正（六）课外作业课本第72页练习1，2，3；（七）板书设计76 求曲线的方程坐标法：解析几何：基本问题：（1）（2）例1：例2：求曲线方程的步骤：练习：小结：作业：
