1、山西省长治市第二中学校2019-2020学年高一数学下学期摸底考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 把集合用列举法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解一元二次方程的根，然后直接利用列举法表示集合.【详解】解方程得或，因此集合用列举法表示为.故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解和集合列举法的应用，属于基础题.2. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出正确选项.【详解】依题意，原式，故选D.【点睛
2、】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.3. 若向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】若，且，则有，列出方程可求得m.【详解】，代入得，解得.故选：B【点睛】本题主要考查向量平行的等价条件，属于基本题.4. 某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用较恰当的方法是（ ）A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样D. 分层抽样【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义可知，该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样【详解】因为该
3、校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样故选D【点睛】本题主要考查抽样方法的选择，分层抽样主要适用于差异比较明显的样本5. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由指数函数的性质得，由对数函数的性质得，根据正切函数的性质得，即可求解，得到答案【详解】由指数函数的性质，可得，由对数函数的性质可得，根据正切函数的性质，可得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题6. 已知函数则的值是
4、()A. 0B. 1C. D. 【答案】C【解析】分析】先确定函数自变量的取值范围再代入分段函数解析式求解.【详解】.，故选C.【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入（万元）8.28.610.011.311.9支出（万元）6.27.58.08.59.8 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元【答案】B【解析】试题分析：由题，所以试题解析
5、：由已知，又因为，所以，即该家庭支出为万元考点：线性回归与变量间的关系8. 已知，若在上单调递减，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据减函数性质求解，函数应在每一段都是减函数，结合临界点建立不等关系即可求解【详解】是上的减函数，故满足，解得；故选【点睛】本题考查由函数的增减性确定参数取值范围问题，分段函数若要满足是增（减）函数，则每一段必须符合增（减）函数性质，同时要注意结合临界点的取值建立不等关系，属于中档题9. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则等于（ ）A. B. C.
6、 D. 【答案】D【解析】【分析】根据图象变换可得,再根据图象关于对称,可得,结合,可得,由此可得的值.【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数,再把向左平移个单位长度,得到,因为函数的图象关于对称,所以时,即,所以,所以,所以,因为,所以,所以.故选.【点睛】本题考查了三角函数的周期变换和相位变换,还考查了对称轴,属于中档题.注意,相位变换时,要把的系数提出来,按照左加右减变形.10. 已知函数，的零点依次为，则以下排列正确的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数，的零点依次为，在坐标系中画出，与的图象,数形结合即得解.【详解】函数，的
7、零点依次为，在坐标系中画出，与的图象如图：可知，满足.故选：.【点睛】本题考查了转化法研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合的能力，属于中档题.11. 若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】由，推出，可知的中线和底边垂直，则为等腰三角形.【详解】,，的中线和底边垂直，是等腰三角形故选：A.【点睛】考查向量运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系，知识点较为基础，考查了学生对基本向量相乘相关知识的掌握程度，为容易题.12. 已知函数若，且，现有结论：；.这四个结论中正确的个数是(
8、)A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，根据二次函数的对称性、值域和对数函数运算，结合图像，判断四个结论的正确性.【详解】画出函数的大致图象如下图.得出，故错误正确；由图可知，故正确；因为，所以，故正确.故选C.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的对称性和值域，考查对数运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知角的终边经过点，则的值为_【答案】【解析】按三角函数的定义，有.14. 已知平面向量，满足，若，则向量与的夹角为_.【答案】120【解析】【分析】将两边平方，可求得
9、向量与的夹角的余弦值，则可得向量与的夹角【详解】解：平面向量与满足，若，设向量与的夹角为，0，180，则有，即，即，求得， 120，故答案为：120【点睛】本题考查两向量夹角的求解，将两边平方是关键，属于基础题15. 幂函数在上单调递减，则的值为_.【答案】2【解析】【分析】根据幂函数的图象与性质，列出方程和不等式，求出满足题意的值【详解】解：幂函数在 上单调递减，解得故答案为：2【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题16. 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，点P满足 ，则_.【答案】1:6【解析】【分析】由题意首先利用几何关系确定点P的位置，然后利
10、用三角形的性质即可确定的值.【详解】设AB的中点是E,O是三角形ABC的重心,动点P满足，P在AB边的中线上，是中线上靠近点C的三等分点，则，故故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本大题共70分17. 已知是定义域为的奇函数，当时，.(1)写出函数的解析式；(2)若方程恰3有个不同的解，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设，则有0，利用可求得，然后写出完整的函数式；（2）作出函数的图象，确定的极值和单调性，由图象与直线有三个交点可得的范
11、围【详解】解：(1)当时，是奇函数，.(2)当时，最小值为；当，最大值为.据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程恰有个不同的解，则的取值范围是.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围18. 函数的图象过点，且相邻的最高点与最低点的距离为.（）求函数的解析式；（）求在上的单调递增区间.【答案】（）；（）和.【解析】【分析】（）利用勾股定理得到，将点代入图像得到，得到答案.（），函数的单调区间为，代入得到上单调
12、区间.【详解】解：（）函数的周期，把坐标代入得，又，（）令解得 在上的单调递增区间是和【点睛】本题考查了三角函数的解析式，三角函数的单调区间，属于常考题型，需要熟练掌握.19. 设是定义在上的单调递增函数，满足.（1）求；（2）解不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据可令，从而可求出的值；（2）根据条件可求出，原不等式可化为，再根据是定义在上的单调递增函数列出不等式组，解出即可.【详解】（1），令，.（2），由得，且是定义在上的单调递增函数，解得，故原不等式的解集是【点睛】本题主要考查了增函数的定义，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于中档题20. 某校组织了一次新高考质量
13、测评，在成绩统计分析中，某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求该班数学成绩在的频率及全班人数；（2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；（3）若规定90分及其以上为优秀，现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2份分析学生得分情况，求在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率.【答案】（1）0.08，25；（2）73.8；（3）.【解析】【分析】（1）分数在的频率为第一组矩形的面积，全班人数为该组的频数与频率的比值；（2）用全班人数减去其余组的人数即为之间的频数，用该组的频数与总人数的比值求得频率，再求出各组的频率，利
14、用平均值公式求出结论；（3）对符合条件的试卷进行编号，使用列举法求出基本事件个数和符合条件的基本事件个数，得出概率【详解】（1）频率为，由茎叶图知：分数在50，60）之间的频数为2，所以全班人数为：；（2）由第一问可得第四组的频数为：25271024，则第四组的频率为各组频率依次是：0.08，0.28，0.4，0.16，0.08，估计平均分为：；（3）由已知得的人数为：，设分数在的试卷为，分数在的试卷为，.则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件，分别是，其中至少有一份优秀的事件共有9个，分别是，在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率为.【点睛】本题考查了茎叶图与频率分布直方图，古典概型的概率
15、计算，属于基础题21. 已知函数(1)当时,求函数的单调递减区间；(2)对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等实根，求实数的值；(3)在(2)的条件下,若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）当时,写出函数解析式，由正弦型函数性质可求解（2）由题意可知在为任意实数，有两不等实根，知其周期为，即可求解（3）求出的值域，原不等式可转化为恒成立，的值域是的子集即可.【详解】（1）当时，令，解得，所以函数的单调递减区间为.（2）因为对于为任意实数，关于的方程恰好有两个不等实根，所以在为任意实数，有两不等实根，所以,即.（3）因为，所以，故，又因为
16、恒成立，所以恒成立，所以，解得.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性，周期，值域，绝对值不等式恒成立，属于难题.22. 已知函数.（1）若函数为偶函数，求实数的值；（2）若，求函数的单调递减区间；（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）和；（3）.【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，结合题意，得到，进而可求出结果；（2）先由题意得到，根据二次函数性质，即可得出单调减区间；（3）先由题意得到在上恒成立，令，根据二次函数单调性，得出函数的最小值，只需即可求出结果.【详解】（1）因为函数为偶函数，所以，即，即，因此；（2）因为，所以，因为函数的对称轴为，开口向上；所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；又函数的对称轴为，开口向上；所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；因此，函数的单调递减区间为：和；（3）由题意，不等式可化为，即在上恒成立，令，则只需即可；因为，所以，因此，当时，函数开口向上，对称轴为：，所以函数在上单调递减；当时，函数开口向上，对称轴为；所以函数在上单调递增；因此，由得，解得或，因为，所以.即实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求分段函数的单调区间以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数奇偶性的概念，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.