1、第课时 展开与折叠 能说出直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图想象和制作实物模型能列举出上述展开图在现实生活中的应用熟知折叠等图形变化的应用直棱柱的侧面沿 着 它 的 一 条 棱 剪 开,展 成 平 面 图 形,它 的侧面可展成一个 ,同样一个 纸片也可以卷成直棱柱的侧面一个圆柱体由 个底面和 个侧面组成,侧面展开图是 圆柱体的底面圆的周长与侧面展开图的 相等圆柱体可以看作是由一个 绕着它的一边所在的直线旋转一周所形成的一个圆锥体由 个底面和 个侧面组成,侧面展开图是 圆锥体的下底面圆的周长与侧面展开图的 相等圆锥体可以看作是由一个 绕着它的一条 边所在的直线旋转一周所形成的折叠通常是
2、轴对称变换,其中 是对称轴剪拼是裁 剪 和 拼 图 的 简 称,剪 拼 过 程 做 到 且 不 考点 几何体的展开图例 ()(广东佛山)一个几何体的展开图如图所示,这个几何体是()A三棱柱B三棱锥C四棱柱D四棱锥()(山东德州)如图给定的是纸盒的外表面,下面能由它折叠而成的是()【解析】()通过图片可以想象出该物体由三条棱组成,底面是三角形,符合这个条件的几何体是三棱柱()A 展开得到,不能和原图相对应,故本选项错误;B展开 得 到,能 和 原 图 相 对,故 本 选 项 正 确;C 展 开 得 到,不 能 和 原 图 相 对 应,故 本 选 项 错 误;D 展 开 得 到,不能和原图相对应,
3、故本选项错误【全解】()A()B【小结】本类题解答时抓住:()熟悉基本几何体的展开图;()对几何体的侧面有符号标注的,要充分考虑带有符号的面的 特 殊 位 置;()必 要 时 可 以 进 行 实 物 演 示 操 作 获 得答案例 (四 川 德 阳)某 物 体 的 侧 面 展 开 图 如 图 所示,那么它的左视图为()【解析】根据侧面展开图是扇形判断出此物体是圆锥,圆锥的左视图是等腰三角形【全解】B【提醒】本题考查了几何体的展开图与简单几何体的三视图,根据侧面展开图判断出此物体是圆锥是解题的关键考点 几何体侧面展开图的有关计算例 ()(江 苏 无 锡)已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为cm,
4、母线长为cm,则圆锥的侧面积是()AcmBcmCcmDcm()(山东临沂)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的侧面积是()空间与图形 AcmBcmC()cmD()cm【解析】()圆锥的侧面展开图是扇形,其侧面积底面周长母线长,把相应数值代入即可求解即此圆锥的侧面积()根据三视图判断出该几何体是底面边长为cm,侧棱长为cm 的正三棱柱,每个侧面是个长为cm,宽为cm的矩形,所以侧面积是:()cm【全解】()D()A【小结】第()题的内容原课标安排在圆一章,新课标已删去,但考虑到可以根据本课时内容进行思考解答,所以安排在此课时供选学:()要弄清圆锥的有关计算方法;()把握某些相等关系,比如圆锥
5、的母线长侧面展开图中扇形的 半 径,圆 锥 的 底 面 圆 周 长 圆 锥 的 侧 面 扇 形 的 弧 长 等;()圆锥的有关计算有时涉及勾股定理的运用第()题是一道视图与展开图的综合题考点 折叠中的计算例 (贵州遵义)如 图,在 矩 形 ABCD 中,E 是AD 的中点,将ABE 沿BE 折叠后得到GBE,延长 BG 交CD 于点F,若CF,FD,则BC 的长为()A B C D【解析】首先过点 E 作EM BC 于点 M,交 BF 于点 N,易证得ENGBNM(AAS),MN 是 BCF 的 中 位 线,根 据 全 等 三 角形的性质,即可求得GNMN,由折叠的性质,可得 BG,继而求得B
6、F 的值,又由勾股定理,即可求得BC 的长【全解】过点E 作EM BC 于点 M,交BF 于点N,四边形 ABCD 是矩形,AABC,ADBC EMB,四边形 ABME 是矩形 AEBM由折叠的性质得 AEGE,EGNA,EGBM ENGBNM ENGBNM(AAS)NGNM CMDE E 是AD 的中点,AEEDBMCM EMCD,ANNFBMCM BNNF NM CF NG BGABCDCFDF,BNBGNG BFBN BCBFCF 故选 B【提醒】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中,注意辅助线的作法,注意数形结合思想的应用例
7、(江苏南京)如 图,在 菱 形 纸 片 ABCD 中,A,将纸片折叠,点 A、D 分别落在点A、D处,且 AD经过点B,EF 为折痕,当 DFCD 时,CFFD的值为()A B C D【解析】首先延长 DC 与AD,交于点 M,由四边形 ABCD 是菱形与折叠的性质,易求得BCM 是等腰三角形,DFM 是含 角的直角三角形,然后设 CFx,DFDFy,利 用 正 切 函 数 的 知识,即可求得答案【全解】延长 DC 与AD,交于点 M,在菱形纸片 ABCD 中,A,DCBA,ABCD DA根据折叠的性质,可得ADFD,FDM ADF DFCD,DFM,MFDM BCMBCD,CBMBCMM C
8、BMM BCCM设CFx,DFDFy,则BCCMCDCFDFxy,FMCMCFxy在 RtDFM 中,tanMtanDFFM yxy ,x y CFFDxy 故选 A【提醒】此题考查了折叠的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意折叠中的对应关系,注意数形结合思想的应用考点 折叠与证明例 (广 东 深 圳)如 图,将 矩 形 ABCD 沿 直 线EF 折叠,使点C 与点A 重合,折痕交 AD 于点E,交 BC 于点F,连接 AF、CE()求证:四边形 AFCE 为菱形;()设 AEa,EDb,DCc请写出一个a,b,c三者之间的数量关
9、系式【解析】()由矩形 ABCD 与折叠的性质,易证得CEF 是等腰三角形,即CECF,即可证得 AFCFCEAE,即可得四边形AFCE 为菱形;()由折叠的性质,可得 CEAEa,在 RtDCE 中,利用勾股定理即可求得a,b,c三者之间的数量关系式为abc【全解】()四边形 ABCD 是矩形,ADBC AEFEFC由折叠 的 性 质,可 得 AEF CEF,AECE,AFCF,EFCCEF CFCE AFCFCEAE 四边形 AFCE 为菱形()a,b,c三者之间的数量关系式为abc理由:由折叠的性质,得CEAE 四边形 ABCD 是矩形,D AEa,EDb,DCc,CEAEa在 RtDC
10、E 中,CECDDE,a,b,c三者之间的数量关系式为abc【小结】折叠实际是一种对称变换,属于轴对称折叠前后图形的形状、大小不变,位置变化,证明或计算时,抓住折叠中相等的边或相等的角是关键(湖北天门)将如图所示表面带有图案的正 方 体 沿 某些棱展开后,得到的图形是()(第题)(湖北武汉)如图,在矩形 ABCD 中,点E 在边AB 上,将矩形 ABCD 沿直线DE 折叠,点 A 恰好落在边BC 的点F 处若 AE,BF,则CD 的长是()ABCD(贵州铜仁)小红要过生日了,为 了 筹 备 生 日 聚 会,准备自己动手 用 纸 板 制 作 一 个 底 面 半 径 为 cm,母 线 长 为cm的
11、圆锥形生 日 礼 帽,则 这 个 圆 锥 形 礼 帽 的 侧 面 积 为()AcmBcmCcmDcm(第题)(第题)(辽宁铁岭)如图,在O 中,半径OA,AOB,用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是()ABCD(四 川 资 阳)如 图,在 ABC 中,C,将 ABC沿直线 MN 翻折后,顶点 C 恰好落在边AB 上的点D 处,已知 MNAB,MC,NC,则四边形 MABN 的面积是()(第题)A B C D(福建南安)一个正方体的每个面都写有一个汉字其平面展开图如图 所 示,那 么 在 该 正 方 体 中,和“您”相 对 的 空间与图形 字是 (第题)(第题)(浙江台州)如图,将正方形
12、ABCD 沿BE 对 折,使 点A 落 在 对 角 线 BD 上 的 A处,连 接 AC,则 BAC 度(吉林)如图,在扇形 OAB 中,AOB,半径 OA将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠,点O 恰好落在AB上点D 处,折痕 交 OA 于 点C,求 整 个 阴 影 部 分 的 周 长 和面积(第题)(广西南宁)如图,已知矩形纸片 ABCD,AD,AB将纸片折叠,使顶点A 与边CD 上的点E 重合,折痕FG分别与 AB、CD 交于点G、F,AE 与FG 交于点O()如图(),求证:A、G、E、F 四点围成的四边形是菱形;()如图(),当AED 的外接圆与BC 相切于点 N 时,求证:点 N 是
13、线段BC 的中点;()如图(),在()的条件下,求折痕FG 的长()()(第题)【基础达标】(台湾)如 图()为 图()中 三 角 柱 ABCEFG 的 展 开图,其中 AE、BF、CG、DH 是三角柱的边若图()中,AD,CD,则下列何者可为 AB 长度?()()()(第题)ABCD(黑龙江鸡西)小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品 盒(如 图),六 个 面 上 各 有 一 个 字,连 起 来就是“预祝中考成功”,其中“预”的 对 面 是“中”,“成”的 对面是“功”,则它的平面展开图可能是()(第题)(四川广安)如图是一个正方体的表面展开图,则原正方体中与“建”字所在的面相对的
14、面上标的字是()A美B丽C广D安(第题)(第题)(浙江衢州)用圆心角为,半径为cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示),则这个纸帽的高是()A cmB cmC cmDcm(河北)如图,在平行四边形 ABCD 中,A,将平行四边形折叠,使点 D、C 分别落在点F、E 处(点F、E 都在 AB所在的直线上),折痕为 MN,则AMF 等于()ABCD(第题)(第题)(湖北襄阳)如图,从一个直径为 dm 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为的扇形 ABC,并将剪下来的扇形围成一个圆锥,则圆锥的底面半径为 dm(黑龙江哈尔滨)一个圆锥的母线长为,侧面积为,则这个圆锥的底面圆的半径是 (四川达州)已知圆
15、锥的底面半径为,母线长为,则它的侧面积是 (不取近似值)(河 南)如 图,在 RtABC 中,ACB,B,BC点 D 是边BC 上的一动点(不与点B、C 重合),过点D 作DEBC 交AB 于点E,将B 沿直线DE 翻折,点B 落在射线BC 上 的 点F 处当 AEF 为 直 角 三 角 形时,BD 的长为 (第题)(第题)(辽宁大连)如图,在矩形ABCD 中,ABcm,点E 在AD 上,且AEcm,连接EC,将矩形 ABCD 沿直线BE 翻折,点A 恰好落在EC 上的点A处,则AC cm(湖北荆门)如图是一个上下底 密 封 纸 盒 的 三 视 图,请你 根 据 图 中 数 据,计 算 这 个
16、 密 封 纸 盒 的 表 面 积 为 cm(结果可保留根号)(第题)(海南)如图(),在矩形 ABCD 中,把B、D 分别翻折,使点B、D 恰 好 落 在 对 角 线AC 上 的 点E、F 处,折痕分别为CM、AN,()求证:ADNCBM;()请连接 MF、NE,证明四边形 MFNE 是平行四边形;四边形 MFNE 是菱形吗?请说明理由;()点 P、Q 是矩形的边CD、AB 上的两点,连接 PQ、CQ、MN,如图()所 示,若 PQCQ,PQMN,且 ABcm,BCcm,求 PC 的长度()()(第题)【综合拓展】(四 川 成 都)如 图,在 长 方 形 纸 片 ABCD 中,ABcm,ADc
17、m,按下列步骤进行裁剪和拼图:(第题)第一步:如图(),在线段 AD 上任意取一点E,沿 EB、EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用);第二步:如图(),沿三角形 EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分,并在线段 GH 上任意取一点 M,线段 BC 上任意取一点N,沿 MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分;第三步:如图(),将 MN 左侧纸片绕点G 按顺时针方向旋转,使线段GB 与GE 重合,将 MN 右侧纸片绕点H 按逆时针方向旋转,使线段 HC 与 HE 重合,拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片(注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小
18、值为 cm,最大值为 cm(山东德州)如图所示,现有 一 张 边 长 为 的 正 方 形纸片 ABCD,点 P 为 正 方 形 边AD 上 的 一 点(不 与 点 A、点 D 重合)将正方形纸片折叠,使点 B 落在P 处,点 C落在G 处,PG 交DC 于 H,折痕为EF,连接BP、BH()求证:APBBPH;()当点 P 在边AD 上移动时,PDH 的周长是 否 发 生变化?并证明你的结论;()设 AP 为x,四边形EFGP 的面积为S,求出S 与x 的函数关系式,试 问 S 是 否 存 在 最 小 值?若 存 在,求 出这个最小值;若不存在,请说明理由(第题)第课时 展开与折叠【自主梳理】
19、长方形 长方形两 一 长方形 长 矩形一 一 扇形 扇形弧长 直角三角形 直角折痕 无缝 重叠【当堂过关】C C A B C 年 连接OD(第题)根据 折 叠 的 性 质,CD CO,BD BO,DBCOBC,OBODBD即OBD 是等边三角形 DBO CBO DBO AOB,OCOBtanCBO SBDC SOBC OBOC ,S扇形AOB,AB 整个阴影 部 分 的 周 长 ACCDBDAB ACOCOBABOAOBAB整个阴影部分的面积为 S扇形AOB SBDC SOBC ()由折叠的性质可得GAGE,AGFEGF(第题)DCAB,EFGAGF EFGEGF EFEGAG 四边形 AGE
20、F 是平行四边形(EFAG,EFAG)又 AGGE,四边形 AGEF 是菱形()连接ON,AED 是 直 角 三 角 形,AE 是 斜 边,点 O 是AE 的中点,AED 的外接圆与BC 相切于点N,ONBC 点O 是AE 的中点,ON 是梯形ABCE 的中位线 点 N 是线段BC 的中点()OE、ON 均是AED 的外接圆的半径,OEOAON故可得 AEAB在 RtADE 中,AD,AE,AED在 RtOEF 中,OE,AED,OF 故可得FGOF 【课后精练】C C D C B 或 ()由折叠的性 质 得 出 DAN NAC,BCMACM,ADBC,DACBCA DANBCM在 RtADN
21、 和 RtCBM 中,AD BC,D B,DAN BCM,ADNCBM()连接 NE、MF,ADNCBM,DNBM DNNF,BMME,NFME NFEMEF,NFME 四边形 MFNE 是平行四边形 MN 与EF 不垂直,四边形 MFNE 不是菱形()设 AC 与MN 的交点为O,EFx,作QGPC于点G,如图所示 AB,BC,AC AFCEBC,AFEFAC,即x解得x EF CF在 RtCFN 中,tanDCANFCF BCAB ,(第题)解得 NF OEOF EF ,在 RtNFO 中,ONOFNF ON MNON PQMN,PMMQ,四边形 MQPN 是平行四边形 MNPQ PQCQ
22、,PQC 是等腰三角形 PGCG在 RtQPG 中,PGPQQG,即 PG PCPG 解析:首先确定剪拼 之 后 的 四 边 形 是 个 平 行 四 边形,其周长大小 取 决 于 MN 的 大 小然 后 在 矩 形中探究 MN 的不同位置关系,得到其长度的最大值与最小值,从而问题解决画出第三步 剪 拼 之 后 的 四 边 形 MNNM 的 示意图,如图()所示图中,NNENENNBNCBC,(第题()MMMGGMMHMH(GMMH)GHBC(三角形中位线定理),又 MMNN,四边形 MNNM 是一个平行四边形,其周长为NNMNBCMN BC为定值,四边形的周长取决于 MN 的大小如图()所示,
23、是剪拼之前的完整示意图(第题()过G、H 点作边BC 的平 行 线,分 别 交 AB、CD 于点P、点 Q,则 四 边 形 PBCQ 是 一 个 矩 形,这 个 矩形是矩形 ABCD 的一半 M 是 线 段 PQ 上 的 任 意 一 点,N 是 线 段BC上的任意一点,根据垂线段最短,得到 MN 的最小值为PQ 与BC平行线之间的距离,即 MN 最小值为而 MN 的最大值等于矩形对角线的长度,即PBBC 四边形 MNNM 的周长 BCMNMN,四边形 MNNM 周长的最小值为,最大值为 ()如图(),PEBE,(第题()EBPEPB又 EPHEBC,EPHEPBEBCEBP即PBCBPH又 A
24、DBC,APBPBC APBBPH()PHD 的周长不变,为定值如图(),过B 作BQPH,垂足为 Q(第题()由()知APBBPH,又 ABQP,BPBP,ABPQBP APQP,ABBQ又 ABBC,BCBQ又 CBQH,BHBH,BCHBQH CHQH PHD 的 周 长 为 PD DH PH APPDDHHCADCD()如图(),过点F 作FM AB,垂足为 M,则FMBCAB(第题()又 EF 为折痕,EFBP EFMMEFABPBEF EFMABP又 AEMF,EFMBPA EMAPx 在 RtAPE 中,(BE)xBE,解得BEx CFBEEMx x又 四边形 PEFG 与四边形BEFC 全等,S (BECF)BC x x(),即S xx配方,得S (x),当x时,S 有最小值