1、第课时 分式及二次根式 能说出分式和最简分式的意义,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能进行简单的分式加、减、乘、除运算能说出二次根式、最简二次根式的概念,会用二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则进行简单四则运算分式有关概念()分式:分 母 中 含 有 字 母 的 式 子 叫 做 分 式即 若 AB 是 分式,必 须 中 含 有 字 母当 时,分 式 有意义;当 时,分 式 没 有 意 义;只 有 在 同 时 满 足 ,且 这 两 个 条 件 时,分 式 的 值 才是零()有理式:和 统称为有理式()最简分式:一个分式的分子与分母 时,叫做最简分式()约分:把一个分式的分子与分
2、母的 约去,叫做分式的约分()通分:把几个异分母 的 分 式 分 别 化 成 与 原 分 式 相 等 的 的分式叫做分式的通分通分的关键是确定几个分式的 ()最简公 分 母:通 常 取 各 分 母 所 有 因 式 的 的 积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母分式性质()基本性质:AB AMBMAMBM(其中 M )()符号法则:ab a ab b 分式的运算分式运算加减同分母ac bc 异分母ab cd 乘除乘ab cd 除ab cd 乘方ab()n (n为整数)二次根式()二次根式:一般地,式子 a()叫做二次根式()最简二次根式:最简二次根式必须满足两个条件:被开方数中不含 的因数或因式
3、;被开方数的因式是 ()二次根式的性质非负性:二次根式 a的被开方数a 一定是非负数即a ,并且 a (a)(a);a (a),(a);ab (a,b);ab (a,b)()二次根式的运算加减法:先化为 ,再合并被开方数相同的二次根式乘除法:应用公式 a b (a,b);ab (a,b)混合运算:仍满足运算律,也可以用多项式的乘法公式来简化运算考点 分式的概念例 (湖北宜昌)若分式 a有意义,则a 的取值范围是()AaBaCaDa【解析】本题主要考查分式有意义的条件,分母不为,即a,从而a【全解】C【提醒】分式的概念要抓住“分母中含有字母”这个关键条件解答时,即要从整体上看“分母不为”,还要从
4、局部上看“分母的形式”否则容易出错例 (浙 江 嘉 兴)若 分 式xx的 值 为,则()AxBx 数与代数 Cx或Dx【解析】本题考查分式的值为零的条件先根据分式的值为的条件列出关于x 的式子,求出x 的值即可 分式xx的值为,x,x解得x【全解】D【提醒】分式的值等于 的条件是“分子等于,分母不等于”根据题意列出关于x 的不等式组是解答此题的关键考点 分式化简、求值例 (湖南常德)化简:xxx()x x()【解析】本题考查分式的化简知识,涉及分式的通分;分式的约分;除法变乘法的法则;同类项的合并;平方差公式等需要分式、整式的运算能力解答时先对两个括号里的分式进行通分运算,再把除法变乘法进行约
5、分运算即可【全解】原式xxxx xxxx xxxxx【小结】分式的化简:注意运算顺序;注意运算的准确;慎用运算律和运算性质只要每一步都到位了,化简就不会错例(江 苏 南 通)先 化 简,再 求 值:x(x)(x)xx,其中x【解析】本题主要考查了分式的化简求值,首先把括号里面的分子分解因式,再约分化简,然后再通分计算,再把括号外的除法运算转化成乘法运算,再进行约分化简,最后把x代入即可求值【全解】原式(x)(x)(x)(x)(x)x xx x(x)(x)xxx(x)(x)xx把x代入,得原式【小结】解答 本 题 的 关 键 是 把 分 式 通 过 约 分 化 为 最 简,然后再代入数值计算在化
6、简的过程中要注意运算顺序分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找公因式,同时注意最后结果必须为最简分式运算结果注意:若分式的分子与分母的各项系数 是 分数或小数时,一般要化为整数;若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时,一般要化为正数考点 a的双重非负性与 a|a|的性质例 ()(福建福州)式子x在实数范围内有意义,则x 的取值范围是()AxBxCxDx()(江苏南京)下列四个数中,负数是()A|B()C()D()【解析】()本题考查二次根式有意义的条件,根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式,求出x 的取值范围即可 式子x在实数范围
7、内有意义,x,解得x()本题主要考查非负数知识初中学习的非负数主要是绝对值、偶次方、算术平方根显然 A 选项是绝对值,B选项是偶次方,D 选项是算术 根,都 是 非 负 数它 们 的 值 分 别 为|,(),(),只有 是负无理数【全解】()D()C【小结】()a的双重非负性是指a且 a;()三个重要的非负数是:a(a);a;|a|例 (湖南张家界)实数a,b在轴上的位置如图所示,且|a|b|,则化简 a|ab|的结果为()AabBabCbDab【解析】本题考查 a、绝对值的非负性以及a|a|等性质首先化简 a|ab|a|ab|观察数轴可知:a,b又|a|b|,所以ab从而a|ab|a|ab|
8、a(ab)b【全解】C【提醒】注意易混淆的两式:(a)a(a)与a|a|可从成立条件和化简结果方面理解考点 二次根式的运算例 (江 苏 南 通)计 算:【解析】此题考查了二次根式的混合运算,根据二次根式混合运算的顺序和法则 分 别 进 行 计 算,再 合 并 被 开 方 数 相 同 的 二 次 根 式即可【全解】原式 【小结】二次根式的混合运算先将各项都化成最简二次根式,再进行加、减、乘、除运算,计算时要注意顺 序 和 法 则 以及结果的符号例 (辽宁大连)计算:()()()【解析】本题考查运用乘法公式进行二次根式的运算分别算出每个部分,再进行相关合并即可【全解】原式()【提醒】二次根式的运算
9、也可运用乘法公式进行简化运算本题就使用了平方差公式(浙江嘉兴)若分式xx的值为,则()AxBxCx或Dx(宁夏)当a 时,分式 a有意义(贵州铜仁)当x 时,二次根式x 有意义(内蒙古 呼 和 浩 特)实 数a,b 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所示,则(ab)a的化简结果为 (第题)(湖南衡阳)计算:(山东烟台)化简 aaa()aaa(湖南张家界)先化简:aa aa,再 用 一 个 你最喜欢的数代替a计算结果(广西柳州)计算:()(湖北荆门)先化简,后求值:aaa()(a),其中a(广东珠海)先化简,再求值:xxxx()(x),其中x【基础达标】(湖北宜昌)若分式 a有意义,则a的取值
10、范围是()AaBaCaDa(湖北宜昌)下列计算正确的是()A B C D(江苏南京)使x有意义的x的取值范围是 (浙 江 温 州)若 代 数 式x 的 值 为 零,则 x (福建泉州)计算:mmm (江西)当x时,x的值是 (山东临沂)计算:(广东湛江)计算:xxx【综合拓展】(湖北潜江)化简(x)x的结果是()A(x)B(x)C(x)D(x)(山东潍坊)如果代数式x有意义,那么 x 的取值范围是()AxBxCxDx(山东菏泽)在算式 的 中填上运算符号,使结果最大,这个运算符号是()A加号B减号C乘号D除号(江苏南京)计算 的结果是 (福建福州)若n是整数,则正整数n 的最小值为 (湖南常德
11、)化简:xxx()x x()(湖北黄石)先化简,后计算:aaaaa a,其中a(北京)已知ab,求代数式abab(ab)的值 ab()最简二次根式 ab ab【当堂过关】D b aa原式(a)(a)(a)aa a aa a不能取和因为a可以取,所以当a时,原式原式 a,当a 时,原式 原式 x,当x 时,原式 【课后精练】C Ax 原式x(x)(x)x(x)(x)xx(x)(x)xD C D 原式xxxx xxxx xxxx x 原 式 (a)(a)(a)(a)aaa当a 时,原式 由已知得ba,原式ababaaaa 第课时 分式及二次根式【自主梳理】()B B B B A()整式 分式()没有公因式()公因式()同分母 最简公分母()最高次幂()()b aabc adbcbd acbd adbc anbn()a()开得尽方 整式(不含分母)()a|a|a a a b