1、 热点题型探究 第课时 几何综合题 以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用解答几何综合题应注意:()注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形()掌握常规的证题方法和思路;()运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题还要灵活运用其他的数学思想方法等为了复习方便,我们将几何综合题分为:几何计算型综合题;几何论证型综合题;几何计算论证型综合题类型一 几何计算型综合题典
2、例(浙 江 杭 州)如 图,AE 切 O 于 点E,AT交O 于点M、N,线段OE 交AT 于点C,OBAT 于点B,已知EAT,AE,MN()求COB 的度数;()求O 的半径R;()点F 在 O 上(FME 是 劣 弧),且 EF,把 OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点 E、F重合在EF 的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在O 上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与OBC 的周长之比【解析】()由切线的性质得到 AECE,又 OBAT,再由一对对顶角相等,可知EAT 的度数就是COB 的度数;()在 RtAEC 中,由已知条件
3、易求出CE 的长,在RtOCB 中,OCRCE,用 R 可表示出OB再根据 MN 的长求出 MB 的长在RtOBM 中,由半径OMR,及 MB 的长,以及 OB 的长列出关于R的方程,求出方程的解得到半径R 的值;()根据平移、旋转和相似变换的特征,通过画图得到答案其中顶点在圆上的三角形就是以EF 为一边,过点E 或点F 的直径为另一边的直角三角形,分别求出这个三角形的和的OBC 的周长即可求出两三角形的周长之比【全解】()AE 切O 于点E,AECE又 OBAT,AECCBO又 BCOACE,A,COBA()AE,A,在 RtAEC 中,tanA tan ECAE,即 EC AEtan OB
4、MN,在 RtOCB 中,OCR,cosBOCcosOBOC OB OC (R)由垂径定理知,B 为 MN 的中点,又 MN,MB MN连接 OM,在 RtMOB 中,OM R,MB,OB(R),R()(R)整理,得RR,即(R)(R),解得R(舍去)或R所以R()在EF 同一侧,COB 经过平移、旋转和相似变换后,这样的三角形有个,如图,每小图个,顶点在圆上的三角形,如图所示:延长EO 交圆O 于点D,连接 DF,如图所示,EF,直径ED,可得出FDE,FD 则CEFD ,由()可得CCOB ,CEFD CCOB()()【小结】几何 计 算 型 综 合 问 题,是 以 计 算 为 主 线 综
5、 合 各种几何知识的问题这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决如本题考查了切线的性质,垂径定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,含直角三角形的性质,平移及旋转的性质,以及锐角三角函数的定义,熟练掌握定理及性质是解题的关键类型二 几何论证型综合题典例(广东珠海)已知 AB 是 O 的直径,点 P在弧AB 上(不含点A、B),把AOP 沿OP
6、 对折,点A 的对应点C 恰好落在O 上()当点 P、C 都在AB 上方时(如图(),判断 PO 与BC的位置关系(只回答结果);()当点 P 在AB 上方而C 在AB 下方时(如图(),()中结论还成立吗?证明你的结论;()当点P、C 都在AB 上方时(如图(),过点C 作CD直线 AP 于点D,且CD 是O 的切线,证明:ABPD()()()【解析】()根据折叠的特性,以及圆的有关性质,易得AOPCOP,BBCO AOC AOP,利用同位角相等两直线平行,可得 POBC;()同样地,由折 叠 可 知 APO CPO,由 OAOP,得 到 AAPO,因此ACPO,又APCB,因此COPACB
7、,利用内错角相等两直线平行,可得 POBC;()由已知条件易得ADCD,OCCD,从而得到OCAD,因此有APOCOP,再由折叠的性质得到AOPCOP,所以APOAOP从而可以确定AOP 为等边三角形由此不难求出在 RtPCD中,PCD,PCPD,而PC半径,因此ABPD【全解】()PO 与BC 的位置关系是POBC()()中的结论 POBC 成立,理由:由折叠可知APOCPO,APOCPO又 OAOP,AAPO ACPO又 A 与PCB 都为PB 所对的圆周角,APCB CPOPCB POBC()CD 为圆O 的切线,OCCD又 ADCD,OCAD APOCOP由折叠可得AOPCOP,APO
8、AOP又 OAOP,AAPO AAPOAOP APO 为等边三角形 AOP又 OPBC,OBCAOP又 OCOB,BCO 为等边三角形 COB POC(AOPCOB)又 OPOC,POC 也为等边三角形 PCO,PCOPOC又 OCD,PCD在 RtPCD 中,PD PC,又 PCOP AB,PD AB,即 ABPD【提醒】几 何 论 证 型 综 合 题 以 知 识 上 的 综 合 性 引 人 注目值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势本题考查了
9、切线的性质,等边三角形的判定与性质,含 直角三角形的性质,折叠的性质,圆周角定理,以及平行线的判定与性质,熟练掌握性质及判定是解本题的关键类型三 几何计算论证型综合题典例(浙江湖州)如 图,已 知 在 梯 形 ABCD 中,点ADBC,DADC,以点D 为圆心,DA 长为半径的D 与AB 相切于A,与BC 交于点F,过点D 作DEBC,垂足为E()求证:四边形 ABED 为矩形;()若 AB,ADBC ,求CF 的长【解析】()根据 ADBC 和AB 切圆D 于点A,求出DABADEDEB,即可推出结论;()根据矩形的性质求出 ADBEABDE,根据垂径定理求出CFCE,设 ADk,则 BCk
10、,BEk,ECk,DCADk,在DEC 中由勾股定理得出一个关于k 的方程,求出k的值,即可求出答案【全解】()D 与AB 相切于点A,ABAD 热点题型探究 ADBC,DEBC,DEAD DABADEDEB 四边形 ABED 为矩形()四边形 ABED 为矩形,DEAB DCDA,点C 在D 上 D 为圆心,DEBC,CFEC ADBC ,设 ADk(k),则BCk,BEk,ECBCBEkkk,DCADk由勾股定理,得 DEECDC,即k(k)k k,k CFEC【提醒】本题考查了勾股定理,切线的判定和性质,矩形的判定,垂径定理等知识点的应用,通过做此题培养了学生的推理能力和计算能力,用的数
11、学思想是方程思想,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目(江苏盐 城)如 图,ACAB,AB,AC,点 D是以AB 为直径的平面上一动点,DECD 交直线AB 于点E,设DAB()()当时,求BD的长;()当时,求线段BE 的长;()若要使点E 在线段BA 的延长线上,则的取值范围是 (直接写出答案)(第题)(湖北黄冈)如图,在ABC 中,BABC,以 AB 为直径作半圆O,交 AC 于 点 D,连 接 DB,过 点 D 作 DE BC,垂足为E()求证:DE 为O 的切线;()求证:BDABBE(第题)(四川成都)如 图,AB 是 O 的 直 径,弦 CDAB 于点 H,过CD 延长线上一
12、点E 作O 的切线交AB 的延长线于点F切点为G,连接 AG 交CD 于点K()求证:KEGE;()若 KGKDGE,试判断 AC 与EF 的位置关系,并说明理由;()在()的条件下,若sinE ,AK,求FG 的长(第题)【基础达标】(福建厦门)如图,已知在ABC 中,C,点 D、E分别在边 AB、AC 上,DEBC,DE,BC()求ADAB 的值;()若BD,求sinA 的值(第题)(江 苏 宿 迁)如 图,在 四 边 形 ABCD 中,DAB ABC,CD 与以AB 为 直 径 的 半 圆 相 切 于 点E,EFAB 于点F,EF 交BD 于点G,设 ADa,BCb()求CD 的长度;(
13、用a,b表示)()求EG 的长度;(用a,b表示)()试判断EG 与FG 是否相等,并说明理由(第题)(湖南常德)如图,已知ABAC,BAC,在BC上取一点O,以O 为圆心,OB 为半径作圆,且O 过点A,过点 A 作ADBC 交O 于点D求证:()AC 是O 的切线;()四边形BOAD 是菱形(第题)【综合拓展】(湖南益阳)如图(),已知在面积为的正方形ABCD中,E、F 分别是边BC 和CD 上的两点,AEBF 于点G,且BE求证:()ABEBCF;()求出ABE 和BCF 重叠部分(即BEG)的面积;()现将ABE 绕点A 逆时针方向旋转到 ABE(如图(),使点 E 落在边CD 上的点
14、E处,问 ABE 在 旋转前后与BCF 重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由()()(第题)(内蒙古呼和浩特)如 图,已 知 AB 为 O 的 直 径,PA与O 相切于点A,线段OP 与弦AC 垂直并相交于点D,OP 与弧AC 相交于点E,连接BC()求证:PACB,且 PABCABCD;()若 PA,sinP ,求 PE 的长(第题)第课时 几何综合题【当堂过关】()连接OD,DOB AB,O 的半径为 BD的长为 ()AB 为O 的直径,(第题()ADB,B ACAB,DECD,CABCDE CAD,B CADB CDAADEADEBED,CDABED ACDBED ACBEADBD
15、AB,BD AB ADABBD BE BE ()如图,当点E 与点A 重合时,(第题()AB 是直径,ADCD,ADBADC 点C、D、B 共线 ACAB,在 RtABC 中,AB,AC tanABC ABC DABABC当点E在BA 的延长线上时,如图,可得DABDAE,的取值范围是()连接OD、BD,则ADB(圆周角定理),(第题)BABC,CDAD(三线合一)OD 是ABC 的中位线 ODBC DEB,ODE,即ODDE故可得 DE 为O 的切线()BEDBDC,BDBC BEBD又 ABBC,BDABBEBD故BDABBE()如图(),连接OG EG 为切线,KGEOGA CDAB,A
16、KHOAG又 OAOG,OGAOAG KGEAKHGKE KEGE()()()(第题)()ACEF理由:连接GD,如图()所示 KGKDGE,即KGKDGEKG,KGGE KDKG又 KGEGKE,GKDEGK EAGD又 CAGD,EC ACEF()连接OG、OC,如图()所示sinEsinACH ,设 AHt,则 ACt,CHt,KEGE,ACEF,CKACt HKCKCHt在 RtAHK 中,根据勾股定理,得 AHHKAK,即(t)t(),解得t 设O 的半径为r,在 RtOCH 中,OCr,OHrt,CHt,由勾股定理,得OHCHOC,即(tt)(t)r,解得rt EF 为切线,OGF
17、 为直角三角形在 RtOGF 中,OGr,tanOFGtanCAHCHAH ,FGOGtanOFG 【课后精练】()DEBC,ADEABC,即ADAB DEBC 又 DE,BC,ADAB ()根据()ADAB DEBC,得ADADBDDEBC,BD,DE,BC,ADAD AD AB sinABCAB ()AB 为半圆的直径,DABABC,DA、BC 为半圆O 的切线又 CD 与以AB 为直径的半圆相切于点E,DEDAa,CECBb CDab()EFAB,EGBC EGBCDEDC,即EGb aab EG abab()EG 与FG 相等理由如下:EGBC,DGDBEGBC,即EGb DGDB又
18、GFAD,FGADBGBD,即FGa BGBD,得EGb FGa DGBDBGBD,而EG abab,aabFGa FG abab EGFG()ABAC,BAC,ABCC (BAC)OAOB,ABOBAO OAC,即OAAC OA 为O 的半径,AC 是O 的切线()连接 AE,(第题)AOBCOAC,由圆周角定理,得AEB AOB D、B、E、A 四点共圆,DAEB ADB ADBC,DAOBOA DAO DBO,即 DBOA,DBODAO 四边形BOAD 是平行四边形 OAOB,平行四边形BOAD 是菱形()四边形 ABCD 是正方形,ABEBCF,ABBC ABFCBF AEBF,ABF
19、BAE BAECBF在ABE 和BCF 中,ABEBCF,ABBC,BAECBF,ABEBCF()正方形的面积为,AB 在BGE 与ABE 中,GBEBAE,EGBEBA,BGEABE SBGESABE BEAE()又 BE,AEABBE SBGE BEAESABE ()没有变化理由:AB,BE,tanBAE ,BAE ABAD,ABE ADE,AEAE,RtABERtABERtADE DAEBAEBAE AB与AE 在 同 一 直 线 上,即 BF 与AB的 交点是G设BF 与AE的交点为 H,则BAGHAG,而AGBAGH,AGAG,BAGHAG S四边形GHEB SABE SAGH SABE SABGSBGE ABE 在旋转前后与BCF 重叠部分的面积没有变化()PA 是O 的切线,AB 是直径,PAO,C PACBAC,BBAC PACB又 OPAC,ADPC PADABC APABADBC 在O 中,ADOD,ADCD APABCDBC PABCABCD()sinP ,且 AP,ADAP AD ACAD 在 RtADP 中,PDAPAD,又 PADABC,APABPDAC AB AO 在 RtAPO 中,根 据 勾 股 定 理,得 OP APOA ,PEOPOE