1、推理与证明(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1根据偶函数定义可推得“函数f (x)x2在R上是偶函数”的推理过程是()A归纳推理B类比推理C演绎推理D非以上答案C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EFBC，这个问题的大前提为()A三角形的中位线平行于第三边B三角形的中位线等于第三边的一半CEF为中位线DEFBCA这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为ABC的中位线；结论：EFBC.3用数学归纳
2、法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”从“k到k1”左端需增乘的代数式为()A2k1B2(2k1)CDB当nk时左端的第一项为(k1)，最后一项为(kk)当nk1时，左端的第一项为(k2)，最后一项为(2k2)左边乘以(2k1)(2k2)，同时还要除以(k1)4下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sin xsin yC把a(bc)与axy类比，则有axyaxayD把(ab)c与(xy)z类比，则有(xy)zx(yz)D(xy)zx(yz)是乘法的结合律，正确5已知
3、abc0，则abbcca的值()A大于0B小于0C不小于0D不大于0D法一：因为abc0，所以a2b2c22ab2ac2bc0，所以abbcca0.法二：令c0，若b0，则abbcca0，否则a，b异号，所以abbccaab0，排除A，B，C，故选D.6对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与bc及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数为()A0个B1个C2个D3个B若(ab)2(bc)2(ca)20，则abc，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故正确ab与bc及ac中最多只能有一个成立，故不正确由于“a，b，c
4、是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确7我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似体的有()两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥A4个B3个C2个D1个C类比相似形中的对应边成比例知，属于相似体8观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123D199C利用归纳法，ab1，a2b23，a3b3431，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8
5、291847，a9b9472976，a10b107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和9对任意的锐角，下列不等式中正确的是()Asin()sin sin Bsin()cos cos Ccos()sin sin Dcos()cos cos D因为，为锐角，所以0，所以cos cos()又cos 0，所以cos cos cos()10在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_x，y均不大于1(或者x1且y1)“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x1且y1”14
6、当n1时，有(ab)(ab)a2b2，当n2时，有(ab)(a2abb2)a3b3，当n3时，有(ab)(a3a2bab2b3)a4b4，当nN*时，你能得到的结论是_(ab)(anan1babn1bn)an1bn1根据题意，由于当n1时，有(ab)(ab)a2b2，当n2时，有(ab)(a2abb2)a3b3，当n3时，有(ab)(a3a2bab2b3)a4b4，当nN*时，左边第二个因式为anan1babn1bn，那么对应的表达式为(ab)(anan1babn1bn)an1bn1.15有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡
7、片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_1和3法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以
8、乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.16现有一个关于平面图形的命题：同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b0，则lg ；(2)22.证明(1)当a，b0时，有，lglg，lglg ab.(2)要证22，只要证()2(22)
9、2，即22，这是显然成立的，所以，原不等式成立18(本小题满分12分)观察：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101，tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51.由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广解从已知观察到10206090，1075590，因此猜测推广式为若，且，都不为k(kZ)，则tan tan tan tan tan tan 1.证明如下：由，得.因为tan()tan.又因为tan()，所以tan tan tan()(1tan tan )(1tan tan )，所以tan tan tan
10、 tan tan tan tan (tan tan )tan tan tan (1tan tan )tan tan 1tan tan tan tan 1.19(本小题满分12分)设a0，b0，ab1，求证：8.试用综合法和分析法分别证明解法一(综合法)a0，b0，ab1，1ab2，ab，4.又(ab)24，8(当且仅当ab时等号成立)法二(分析法)a0，b0，ab1，要证8，只要证8，只要证8，即证4，也就是证4，即证2.由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，所以原不等式成立20(本小题满分12分)已知函数f (x)ax(a1)(1)证明：函数f (x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法
11、证明方程f (x)0没有负数根解(1)法一：任取x1，x2(1，)，不妨设x10，a 1且ax10，aaa (a1)0，又x110，x210，0，于是f (x2)f (x1)aa0，故函数f (x)在(1，)上为增函数法二：f (x)axln aaxln aa1，ln a0，axln a0，f (x)0在(1，)上恒成立，即f (x)在(1，)上为增函数(2)法一：设存在x00(x01)满足f (x0)0，则a，且0ax01.01，即x02，与假设x00矛盾故方程f (x)0没有负数根法二：设x00(x01)，若1x00，则2，a1，f (x0)1.若x00，a0，f (x0)0.综上，x0(
12、x1)时，f (x)0，即方程f (x)0无负数根21(本小题满分12分) (1)椭圆C：1(ab0)与x轴交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：为定值b2a2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线1(a0，b0)与x轴交于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求证：为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)解(1)证明如下：设点P(x0，y0)(x0a)依题意，得A(a,0)，B(a,0)，所以直线PA的方程为y(xa)，令x0，得yM.同理得yN.所以yMyN.又点P(x0，y0)在椭圆上，所以 1，因此y(a2x)所以yMyNb2.因为(a，yN)，(a，yM)，所以a2yMyNb2a2.(2)(a2b2)22(本小题满分12分)各项都为正数的数列an满足a11，aa2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：对一切nN*恒成立解(1)aa2，数列a为首项为1，公差为2的等差数列，a1(n1)22n1，又an0，则an(nN*)(2)证明：由(1)知，即证1.当n1时，左边1，右边1，所以不等式成立当n2时，左边右边，所以不等式成立假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，即1，当nk1时，左边1所以当nk1时不等式成立由知对一切nN*不等式恒成立