1、章末知识整合网络构建三角函数基本概念的应用若角的终边与函数y2|x|的图象重合，求的各三角函数值分析：由于y2|x|的图象为三、四象限中的两条射线，故可根据三角函数的定义来求解解析：角的终边与函数y2|x|的图象重合，是第三或第四象限的角若为第三象限的角，取终边上一点P(1，2)，r|OP|，从而 sin ，cos ，tan 2.若在第四象限，可取点P(1，2)，易得：sin ，cos ，tan 2.规律总结：三角函数的基本概念是本单元内容的基本部分，是研究三角公式、三角函数图象及性质的出发点，尽管大纲对本部分内容难度的要求有所降低，但同学们仍然要注意考试中对基本概念、基本公式、三角函数基本性
2、质的应用和计算、推理能力的考查，解题的关键是对有关概念的正确理解和灵活应用1函数f(x)若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为()A1BC1，D1，解析：此题可运用代入排除法f(1)f(a)2，f(1)e01，f(a)1，选项中提供的a的可能值有三个，分别为1，因此把这三个数代入f(x)中，值为1的即为所求f(1)e01，fe1，fsin1.a的所有可能值为1，.答案：C2在平面直角坐标系中，角的终边在直线3x4y0上，则tan _解析：角的终边在第二象限或第四象限，tan .答案：三角函数图象及其变换已知函数f(x)Asin(x)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小
3、值点分别为(x0，2)和(x03，2)(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后再将所得的图象向x轴正方向平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，写出函数g(x)的解析式，并用五点作图的方法画出g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象分析：由题目可以获取以下主要信息：要求的函数的形式是f(x)Asin(x)；图象与y轴交点是(0，1)相邻的一个最大值点和最小值点分别是(x0，2)和(x03，2)，其中x00.解答本题可先由已知求出A、，然后再根据图象变换得到函数yg(x)解析：(1)由f(x)Asin(x)在y轴上的臷距为1，最大值为2，
4、得12sin ，所以sin ，.又因为两相邻的最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x03，2)所以T2(x03)x06，所以.所以，函数的解析式为f(x)2sin.(2)压缩后函数的解析式为y2sin，再平移得g(x)2sin2sin.列表、作图.x02xg(x)02020规律总结：三角函数图象是本章的重点内容，它是研究三角函数性质的根据，重点抓住图象的特征及变换与函数解析式中各变量之间的内在联系主要解决两个方面的问题：一是根据图象写函数解析式，关键要把握图象与函数性质的关系，从而确定出相关的数值对于yAsin(x)b(A0，0)的解析式求解问题：ymaxM，yminm，则A，b.由T求得
5、的值；的值采取代入特殊点(顶点或平衡点)坐标法求得二是关于三角函数图象的平移和伸缩，此类问题关键要搞清在x轴方向的左右平移或伸缩是对解析中的字母x而变换3函数y2cos x，0x2的图象和直线y2围成的封闭图形的面积是()A4B8C2D4解析：如图，由函数ycos x的图象的对称性，知：所求封闭图形的面积即为图中矩形OABC的面积，即S224.答案：D4要得到函数ycos的图象，只要将函数ysin 2x的图象()A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度解析：ysin 2xcoscos 2，而ycoscos 2cos2故选A.答案：A三角函数的性质及应
6、用已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的图象在y轴上的截距为1，在相邻两最值点(x0，2)和(x00)上，f(x)分别取得最大值和最小值(1)求f(x)的解析式(2)在区间上是否存在f(x)的对称轴？请说明理由解析：(1)A2，x0，T3，即3.0，.这时f(x)2sin.把点(0，1)代入，得2sin 1.而|，.f(x)2sin.(2)x，x，sin.故sin1，即在区间上不存在f(x)的对称轴规律总结：三角函数的图象和性质密不可分，在解决三角函数的综合问题时，应借助于图象特征，充分利用三角函数的有关性质进行求解如单调区间、最值、周期性、对称性等问题5求函数ysin的单调递增区间
7、解析：方法一令tx，则ysin t，因为t是x的一次递减函数，故应取ysin t的减区间才符合要求由已知得2kt2k，kZ.即2k2k，kZ.x，kZ.ysin的单调递增区间是，kZ.方法二ysin，令usin，则yu，故应取usin的减区间才符合要求，故有2kx2k，kZ.x，kZ.ysin的单调递增区间是，kZ.注：两种形式，结果一致6已知函数f(x)cos x(0)，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求.解析：f(x)关于对称，ff，即ff0.令x0得f0.cos0，k，kZ.(2k1)，k0，1，2，.当k0时，f(x)cosx在上是单调减函数当k1时，2，f(x)cos 2x
8、在上是单调减函数当k2时，f(x)在上不再是单调函数或2.数学思想方法的应用一、数形结合的思想和方法已知函数f(x)Asin(x)在一个周期内的简图如右图所示，则函数的解析式为_，方程f(x)lg x0的实根个数为_解析：根据图中的特殊点，可确定f(x)解析式中的特定系数A、.研究方程f(x)lg x0的实数根即是研究函数yf(x)与ylg x图象的交点个数显然A2.由图象过点(0，1)则f(0)1，即sin ，又|，则.又是图象上的点，则f0，即sin0，由图象可知，是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点2.2.因此所求函数的解析式为f(x)2sin.如图，在同一平面直角坐标系中作函数f(x
9、)2sin和函数ylg x的示意图因为f(x)的最大值为2，令lg x2，得x100，令k100(kZ)，得k30(kZ)，而31100，所以在区间(0，100内有31个形如(kZ，0k30)的区间，在每个区间上yf(x)与ylg x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在上的交点个数为23162(个)，另外在上还有1个交点，所以方程f(x)lg x0共有实根63个答案：f(x)2sin63个规律总结：自觉应用数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要思想方法本章中的数形结合通常有两种形式：一是利用单位圆解决角的范围或三角不等式问题；二是利用三角函数图象求方程解的个数问题，或已知方程解的个数，求方
10、程中的字母参数的范围问题7已知函数ysin x2|sin x|，x0，2的图象与直线yk有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围解析：ysin x2|sin x| 观察图象可知，0k1，则当cos x1时，f(x)min14a；若2，则有14aa，矛盾；若2a2，则有2a1a1或a3(舍)当g(a)时，a1，此时f(x)2，故当cos x1时，f(x)max5.三、函数与方程的思想是否存在，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立？若存在，求出、的值；若不存在，则请说明理由分析：本题属探索性问题，应将、满足的关系当作条件，从而去求、；因条件式较繁琐，故先化简，再求出与
11、的一个三角函数值和其范围，进而求角解析：由条件得22，得sin23cos22，sin2.又，或.将代入，得cos ，又(0，)，代入可知符合将代入，得cos ，又(0，)，代入可知不符合综上可知，存在，满足条件规律总结：函数、方程、不等式三者密不可分在三角中，已知条件等式，求一个三角函数值的问题，常采用方程的思想，把某一三角函数看做未知数，解三角方程在求角的问题时要注意两点：一是求一个三角函数值，二是求该角的范围9设有函数f(x)asin和g(x)btan(a0，b0，k0)若它们的最小周期之和为，且fg，fg1.求两函数解析式分析：欲求两个函数解析式，只需利用两个函数的周期和两个函数对应两个
12、值的关系，用待定系数法求解解析：由题意，得k2.由解得得a1，b.因此f(x)sin，g(x)tan.四、转化与化归的思想求函数f(x)的最大值和最小值解析：设sin xcos xt，则sin xcos x，t，且t1，则f(x)，t，解得x2k(kZ)时，f(x)的最大值为.当x2k(kZ)时，f(x)的最小值为.规律总结：在三角函数式中，若同时含有sin cos 与sin cos ，可利用换元的思想，将三角问题转化为代数问题来解决10定义运算ab令f(x)(cos2xsin x)，且x，求函数f的最大值解析：设ycos2xsin xsin2xsin x1，x，0sin x1.1y，即1cos2xsin x.根据新定义的运算，可知f(x)cos2xsin x，x，f，x.函数f的最大值为.