1、12点、线、面之间的位置关系12.1平面的基本性质我们在日常生活中常见到一些物体如湖面、黑板面、桌面、玻璃面，都给我们以平面的感觉那么我们能够将这些面定义为平面吗？测量中的平板仪、望远镜或照相机等都用三条腿的架子支撑在地面上，你知道其中的道理吗？1我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是：A，读作：“点A在平面内”；B，读作：“点B在平面外或点B不在平面内”Al，读作：“点A在直线l上”；Bl，读作：“点B在直线l外或点B不在直线l上”l，读作：“直线l在平面内”；l，读作：“直线l在平面外或直线l不在平面内”2公理1.(1)文字语言：如果一条直
2、线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)符号语言：Al，Bl，A，Bl3公理2.(1)文字语言：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线(2)符号语言：P，Pl，Pl4公理3.(1)文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(2)符号语言：Al，Bl，Cl三点A、B、C确定唯一平面5推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面6推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面7推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面,一、公理1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这
3、个平面内该公理是判定直线在平面内的依据证明一条直线在某一平面内，即只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内即可二、公理2公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线该公理主要用于判定或证明两个平面相交及三点在同一条直线上证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内)，这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线三、公理3及其三个推论公理3：经过不
4、在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道知识点一平面的概念及符号表示1下列说法中，正确的有_(填序号)一个平面长4 m，宽2 m；2个平面重叠在一起比一个平面厚；一个平面的面积是25 cm2；一条直线的长度比一个平面的长度大；圆和平行四边形都可以表示平面解析：根据平面定义，前4个说法均不正确，正确答案：2点M在直线a上，且直线a在平面内，可记为_解析：点、线、面的
5、关系采用集合中的符号来记答案：Ma3根据下列条件，画出图形：平面平面AB，直线CD，CDAB，ECD，直线EFF，FAB.解析：由题意画图形如下：知识点二平面基本性质三条公理4平面、有公共点A，则、有_个公共点解析：根据公理2.答案：无数5如图，平面平面l，A、B，C，Cl，直线ABlD，过A、B、C三点确定的平面为，则平面、的交线必过点_解析：根据公理判定点C和点D既在平面内又在平面内，故在与的交线上答案：C和D6空间任意四点可以确定_个平面解析：若四点共线，可确定无数个平面；若四点共面不共线，可确定一个平面；若四点不共面，可确定四个平面答案：1个或4个或无数知识点三平面基本性质三条推论7下
6、列命题说法正确的是_(填序号)空间中不同三点确定一个平面；空间中两两相交的三条直线确定一个平面；一条直线和一个点能确定一个平面；梯形一定是平面图形解析：根据三个公理及推论知均不正确答案：8下列各图的正方体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是_(把正确图形的序号都填上)解析：中PSRQ，中SRPQ，由推论3知四点共面答案：9点A在直线l上但不在平面内，则l与的公共点有_个答案：0或1综合点一点共线的问题10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C平面ABC1D1E，则B、E、D1三点的关系是_解析：连接AC、A1C1、AC1，则E为A1C与AC1的交点，故E为
7、AC1的中点又ABC1D1为平行四边形，所以B、E、D1三点共线答案：共线11如右图，E、F、G、H分别是空间四边形中AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O.求证：B、D、O三点共线证明：EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理可证O平面BCD.平面ABD平面BCDBD，OBD，即B、D、O三点共线综合点二线共点问题12如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、AB的中点，求证：D1E、CF、DA三线共点证明：如图，连接EF，A1B，D1C，E、F为AA1、AB的中点，EF綊A1B.又A1B綊D1C，EF綊D1C
8、.故直线D1E、CF在同一个平面内，且D1E、CF不平行，则D1E、CF必相交于一点，设该点为M.又M平面ABCD且M平面ADD1A1，MAD，即D1E、CF、DA三线共点综合点三点、线共面问题13下列叙述中，正确的是_(填序号)若点P在直线l上，点P在直线m上，点P在直线n上，则l、m、n共面；若点P在直线l上，点P在直线m上，则l、m共面；若点P不在直线l上，点P不在直线m上，点P不在直线n上，则l、m、n不共面；若点P不在直线l上，点P不在直线m上，则l、m不共面；若点P在直线l上，点P不在直线m上，则l、m不共面解析：Pl，Pm，lmP.由推论2知，l、m共面答案：综合点四同一法证直线共面14已知：abc，直线laA，lbB，lcC.求证：a、b、c、l四线共面证明：ab，a、b确定一个平面.Aa，Bb，A，B.AB，即l.同理，由bc，得b，c确定一个平面，可证l.l、b，l、b.lbB，l、b只能确定一个平面与重合故c在平面内a、b、c、l四线共面