1、第6章 推理与证明62 直接证明与间接证明62.1 直接证明：分析法与综合法第6章 推理与证明 1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法 2理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明1综合法(1)综合法的定义从命题的_出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法(2)综合法的特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，_，其逐步推理，实际上是寻找它的_已知条件由因导果必要条件栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明2分析法(1)分析法的定义从
2、命题的_出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法(2)分析法的特点从“未知”看“需知”，_，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的_待证结论或需求问题执果索因充分条件栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是执果索因的逆推证法()(2)分析法就是从结论推向已知()(3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆()答案：(1)(2)(3)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明2在ABC 中，sin Asin Ccos Acos C，则A
3、BC 一定是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定答案：C栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明4函数 f(x)axb 在(，)上是增函数，则 a 的取值范围是_3欲证2 3 6 7，只需证明()A(2 3)2(6 7)2B(2 6)2(3 7)2C(2 7)2(6 3)2D(2 3 6)2(7)2答案：C答案：(0，)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明 综合法的应用 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面 PAC.(2)求证：平面 PAB平面 PAC.【证
4、明】(1)因为 PC平面 ABCD，所以 PCDC.又因为 DCAC，且 PCACC，所以 DC平面 PAC.(2)因为 ABDC，DCAC，所以 ABAC.因为 PC平面 ABCD，所以 PCAB.又因为 PCACC，所以 AB平面 PAC.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明综合法证明问题的步骤栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明 1.已知 a，b0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明：因为 b2c22bc，a0，所以 a(b2c2)2abc，又因为 c
5、2a22ac，b0，所以 b(c2a2)2abc.因此 a(b2c2)b(c2a2)4abc.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明2求证：sin(2)sin 2sin cos()证明：因为 sin(2)2sin cos()sin()2sin cos()sin()cos cos()sin 2sin cos()sin()cos cos()sin sin()sin.所以原命题成立栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明 分析法的应用 已知ABC 三边 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：B为锐角【证明】要证 B 为锐角，根据余弦定理
6、，只需证明 cos Ba2c2b22ac0，即证 a2c2b20.由于 a2c2b22acb2，要证 a2c2b20，只需证 2acb20.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明因为 a，b，c 的倒数成等差数列，所以1a1c2b，即 2acb(ac)要证 2acb20，只需证 b(ac)b20，即 b(acb)0，上述不等式显然成立，所以 B 为锐角栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明分析法证明数学问题的方法栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明 已知非零向量 a，b，且 ab，求证：|a
7、|b|ab|2.证明：abab0，要证|a|b|ab|2，只需证|a|b|2|ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即证(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明 综合法和分析法的综合应用 ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，其对边分别为 a，b，c.求证：(ab)1(bc)13(abc)1.【证明】法一：要证(ab)1(bc)1 3(abc)1，即证 1ab 1bc3abc，即证abcab abcbc
8、 3，即证 cab abc1.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，只需证 c2a2acb2.因为ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列，所以 B60.由余弦定理，有 b2c2a22cacos 60，即 b2c2a2ac，c2a2acb2，此式即分析中欲证之等式，所以原式得证 法二：因为ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列，所以 B60.由余弦定理，有 b2c2a22accos 60，得 c2a2acb2，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明两边同时加 abbc，得 c(b
9、c)a(ab)(ab)(bc)，两边同时除以(ab)(bc)，得 cab abc1，所以cab1 abc1 3，所以 1ab 1bc3abc，所以(ab)1(bc)13(abc)1.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，易于表达，但思路不太好想，因此在选择证明方法时，一定要有“综合性选取”意识，明确数学证明方法不是孤立的，应当善于将两种不同的证明方法结合在一起运用 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明 1.设 a，b(0，)，
10、且 ab，求证：a3b3a2bab2.证明：法一：(分析法)要证 a3b3a2bab2 成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立 又因 ab0，故只需证 a2abb2ab 成立，即需证 a22abb20 成立，即需证(ab)20 成立 而依题设 ab，则(ab)20 显然成立 由此不等式得证 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明法二：(综合法)abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.因为 a0，b0，所以 ab0，所以(ab)(a2abb2)ab(ab)所以 a3b3a2bab2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主
11、学习第6章 推理与证明2在某两个正数 x，y 之间插入一个数 a，使 x，a，y 成等差数列，插入两数 b，c，使 x，b，c，y 成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1)证明：由已知得2axy，b2cx，c2by，所以 xb2c，yc2b，即 xyb2c c2b，从而 2ab2c c2b.要证(a1)2(b1)(c1)，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明只需证 a1（b1）（c1）成立 只需证 a1（b1）（c1）2即可 也就是证 2abc.而 2ab2c c2b，则只需证b2c c2bbc 成立即可，即证 b3c3(bc)(b2bcc2)(bc)b
12、c，即证 b2c2bcbc，即证(bc)20 成立，上式显然成立，所以(a1)2(b1)(c1)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法第二步：转化条件，组织过程把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的语言第三步：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法
13、的选取栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明1命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明过程为：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”，其应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D类比法解析：选 B.从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明2A，B 为ABC 的内角，“AB”是“sin Asin B”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 C.若 AB
14、，则 ab.又asin Absin B，所以 sin Asin B.若 sin Asin B，则由正弦定理得 ab，所以 AB.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明3设 a，b，c 成等比数列，而 x，y 分别是 a，b 和 b，c 的等差中项，求证：axcy2.证明：由题知 cb2a，xab2，ybc2，则axcy aab2 cbc2 2aab 2cbc 2aab2b2abb2a 2aab 2bab2，即axcy2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明4设 a，b 为实数，求证：a2b2 22(ab)证明：当 ab0 时，因为a2b20，所以a2b2 22(ab)成立 当 ab0 时，用分析法证明如下：要证a2b2 22(ab)，只需证(a2b2)222（ab）2，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明即证 a2b212(a2b22ab)即证 a2b22ab.因为 a2b22ab 对一切实数恒成立 所以 a2b2 22(ab)成立 综上所述，不等式成立栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第6章 推理与证明本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放