1、云南省玉溪第二中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理一、 选择题（每小题5分，共60分）1集合的真子集的个数是（ ）A9B8C7D612复数（a，bR）与（m，nR）的积是实数的充要条件是（ ）ABCD3给出如下四个命题：若“且”为假命题，则均为假命题；命题“若，则”的否命题为“若，则”；“，”的否定是“，”；其中正确的命题的个数是()A0B1C2D343名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，公每个村至少1人，则不同的分配方案共有（ ）A.4种 B.5种 C.6种 D.8种5已知函数的图象在点处的切线斜率为，且函数在处取得极值，则（ ）ABCD6双曲
2、线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）AB2CD47的展开式中的系数是-10，则实数( )A2B1C-1D-28设等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）ABCD9将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，所得函数的一条对称轴为（ ）ABCD10已知向量，且，则的最小值是（ ）A7B8C9D1011在中，内角、所对的边分别是，且，则（ ）ABCD12双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13函数且的图像必经过点_14_.15若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则_.16某班级分别从名男生，和名女生，中各随机抽取名学生组队参加知识竞赛，则男生和女生
3、同时被抽中的概率为_.三、解答题17.（10分） 已知数列，.（1）求证：是等比数列；（2）设（），求数列的前项和.18（12分）某公司为了提高利润，从2014年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年份20142015201620172018投资金额x（万元）55.566.57年利润增长y（万元）7.5891011.5（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；（2）如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？参考公式：， 参考数据：，19（12分）如图四棱锥中，底面为矩形，底面，点分别是棱 的中点
4、（1）求证（2）设，求二面角的平面角的余弦值20（12分）已知椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，且是与的等差中项.(1)求此椭圆方程；(2)若点满足，求的面积21（12分）若函数，当时，函数有极值.（1）求函数的极大值；（2）若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围.22（12分）已知函数（），（1）若曲线在点处的切线为，求的值；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围. 参考答案1C解：由于 ，又 ，即集合故真子集的个数为： 2A解：为实数，故，3B解：对于，可能为一真一假也可能两个都为假，故错误；对于，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故错误；对于“，”的否定是“，”； 正确
5、4C解：第一步，将3名学生分成两组，有3种分法，第二步，将2组学生安排到2个一对，有2种安排方法，所以，不同的安排方法共有3x26种. 5C解：由题可知：， 则解得，.经检验，当，时，在处取得极大值，所以.6C解：由题可得双曲线的右焦点为，渐近线方程为，则点）到直线的距离.7C解：二项式展开式的通项为，令，得，则，所以，解得.8C解：设等比数列的公比为，因此，9.A 解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则，由，得，即，则当时，对称轴为，10C解：因为，且向量，所以，所以，当且仅当时，取等号.11A解：在中， 所以，所以， 由正弦定理可知，又，所以，又，所以，所以.12C解：双曲线的
6、一条渐近线的倾斜角为，所以，的离心率.13解：令，解得，当时，所以函数且的图像必经过点.14解15解：由化为标准方程，准线方程，故由题意，得.16解：抽取的所有情况如下：，.所以男生和女生同时被抽中的概率.17（1）见解析（2）解：（1）依题意， 所以，是首项为2、公比为2的等比数列.（2）由（1）得：， 数列的前项和为.【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用以及利用分组求和的方法求数列的前n项和考查学生的运算能力18（1）.（2）13.2.解：（1）由题意可知，所以，所以，所以；（2）由（1）可知，令，所以该公司在2020年的年利润增长为.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法以及应用，属于
7、基础题19（1）证明见解析；（2）【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证平面，得到, 连接，利用中位线定理和等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理可得平面,进而证得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量，并注意二面角为锐角，可得所求.【详解】底面平面，而 平面又平面 ，连接点分别是棱的中点， 为的中位线， 又等腰直角三角形， 为斜边的中点， 而平面平面 平面又平面 如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立 空间直角坐标系则 则平面的一个法向量为平面的一个法向量为 且易知二面角为锐二面角， 二面角的平面角的余弦值为【点睛】本题主要考查线线垂直的证明以及二面角的求法，属基础题，要证线线
8、垂直，常常需要证明线面垂直，要证线面垂直，又常常需要证明线线垂直，要熟练掌握空间垂直关系的转换，严格使用线面垂直的判定定理；求特殊几何体中的二面角问题，建立坐标系是常用的便捷的方法，要熟练掌握，准确计算.20(1) ;(2) .【分析】(1)根据椭圆的两焦点为，可设出椭圆的标准方程，再根据为椭圆上一点，且是与的等差中项，结合椭圆的定义可以求出椭圆的标准方程；(2)利用余弦定理和面积公式可以直接求出的面积【详解】(1)设所求椭圆方程为，根据已知可得,所以此椭圆方程为；(2)在中，设，由余弦定理得：【点睛】本题考查了椭圆的定义和余弦定理以及三角形面积公式，考查了数学运算能力.21（1）；（2）.【
9、分析】（1）先对函数进行求导，然后根据可求出的值，进而确定函数的解析式，然后求导，令导函数等于0求出的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大值； （2）由（1）得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，然后根据数形结合确定的范围【详解】解：（1），由题意知，解得.故所求的解析式为可得，令，得或，由此可得00极大值极小值所以当时，有极大值.（2）由（1）知，得到当或时，为增函数；当时，为减函数，函数的图象大致如图，由图可知当时，与有三个交点，所以实数的取值范围为.【点评】本题主要考查导数在函数的单调性、极值中的应用，属于中档题.22（1）；（2）.【分析】（1）求函数的导数和定义域，结合函数的切线方程建立方程关系进行求解，（2）利用参数分离法将不等式进行转化，构造函数求出函数的导数，利用导数进行求解即可【详解】解：（1）的定义域为，解得，.（2）若至少存在一个，使得，当时，有解，令，在上单调递减，即.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理