1、第课时 规律探究问题 规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概况、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论这类问题,因其独特的规律性和探究性,对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现规 律 探究题,而且“花样百出”常见的类型有:()数式规律型;()图形排列规律型;()图形变化规律型;()坐标变化规律型等类型一 数式规律型典例()(江苏扬州)大于的正整数 m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和,如,若 m 分裂后,其中有一个奇数是,则 m 的值是()ABCD()(江苏盐城)已知整数a,a,a,a,满足
2、下列条件:a,a|a|,a|a|,a|a|,依次类推,则a的值为()ABCD【解析】()观察等式,可以发现:分裂成的数都是奇数,且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上,奇数的个数等于底数找出所在的奇数的范围,即可得解具体思考过程如下:,m 分裂后的第一个数是 m(m),共有 m 个奇数(),(),是底数为的数的立方分裂后的一个奇数 m()直接观察 算 式,我 们 看 不 出 规 律,根 据 条 件 求 出 前 几 个 数 的值,得a,a|a|,a|a|,a|a|,a|a|,这时我们可以发现,当n是奇数时,结果等于n,当n 是偶数时,结果等于 n 因此我们将n代入 n 进行计算即得【
3、全解】()C()B【小结】数式规律型问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,解答的基本思路是:主要是通过观察、分析、归纳、验证,分析数的变化,然后 得 出 一 般性的结论,总结归纳规律,以 列 代 数 式 为 主 要 内 容如 第()题找出分裂后 的 第 一 个 奇 数 与 底 数 的 变 化 规 律 是 解 题 的 关键第()题根据所求出的数,观察出n 为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键典例(湖 南 株 洲)一 组 数 据 为:x,x,x,x,观察其规律,推断第n个数据应为 【解析】通过观察可得:当n为奇数时,单项式系数为正数,当n为偶数时,单项式系数为负数,x
4、 的指数为n 时,的指数为(n)即当n为奇数时,单项式为:nxn;,当n 为偶数时,单项式为:nxn,综上,推断第n个数据应为()nxn【全解】()nxn【提醒】找代数式的变化规律,一般是由特殊到一般,得出一般规律比如本题观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键类型二 图形排列规律型典例(云 南)观 察 下 列 图 形 的 排 列 规 律(其 中、分别表示三角形、正方形、五角星)若第一个图形是三角形,则第个图形是 (填图形的名称)【解析】本题是图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案根据题意可知,每个图形
5、一个循环,第个图形经过了个循环,且是第个循环中的最后个,即第个图形是【全解】五角星【提醒】此题 是 一 道 找 图 形 排 列 规 律 的 题 目,这 类 题 型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,解题对观察能力和归纳总结能力有一定要求典例(山 西)如 图 是 由 形 状 相 同 的 正 六 边 形 和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n 个图案中阴影小三角形的个数是 【解析】由图可知:第一个图案有阴影小三角形个第二图案有阴影小三角形个第三个图案有阴影小三角形 个,那么第n个就有阴影小三角形(n)n(个)【全解】(n)【小结】图形排列规律型
6、问题主要是观察图形排列规律变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律,这需要有敏锐的观察能力和计算能力类型三 图形变化规律型 热点题型探究 典例(山东日照)如图,在斜边长为 的等腰直角三角形OAB 中,作内接正方形ABCD;在等腰直角三角形OAB 中,作 内 接 正 方 形 ABCD;在 等 腰 直 角 三 角 形OAB 中,作内接正方形 ABCD;依 次 作 下 去,则 第n个正方形AnBnCnDn 的边长是()A nBnC nD n【解析】过点O 作OM AB,交 AB 于点 M,交 AB 于点 N,如图所示 ABAB,ONAB OAB 为斜边为的等腰直角三
7、角形,OM AB 又 OAB 为等腰直角三角形,ON AB MN ONOM 第个正方形的边长 ACMN OM 同理第个正方形的边长 AC ON ,则第n个正方形AnBnCnDn 的边长为 n【全解】B【提醒】此题 是 一 道 考 查 了 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质,以及正方形的性质的图形变化规律型问题,熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键类型四 坐标变化规律型典例(江苏南京)在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿着x 轴翻折,再向右平移 个单位称为 次变换如图,已知等边三角形 ABC 的顶点B、C 的坐标分别是(,),(,),把ABC 经过连续次这样的变换后得到ABC,则点
8、 A 的对应点A的坐标是 【解析】首先由 ABC 是等边三角形,点 B、C 的坐标分别是(,)、(,),求得点 A 的坐标为(,)根据题意,得第次变换后的点 A 的对应点的坐标为(,),即(,),第次变换后的点 A 的对应点的坐标为(,),即(,),第次变换后的点A 的对应点的坐标为(,),即(,),第n次变换后的点A 的对应点当n 为奇数时为(n,),当n为偶数时为(n,),因此,把ABC 经过连续次这样的变换得到ABC,则点 A的对应点A的坐标是(,)【全解】(,)【提醒】此类 题 型 主 要 考 查 点 的 坐 标 变 化 规 律,解 决 此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的
9、变化规律本题从对称与平移的性质的运用中得到第n 次变换后点A 的坐标变化规律:n为奇数时为(n,),n 为偶数时为(n,)(江苏泰州)根据排列规律,在横线上填上合适的代数式:x,x,x,x,(山东菏泽)一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和例如:,和 分别可以按如图所示的方式“分裂”成个、个和个连续奇数的和,即;若 也按照此规律来进行“分裂”,则“分裂”出的奇数中,最大的奇数是 (第题)(贵州六盘水)如 图 是 我 国 古 代 数 学 家 杨 辉 最 早 发 现的,称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!“杨辉三角”中有许多规律
10、,如它的每一行的数字正好对应了(ab)n(n 为非负整数)的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数例如,(ab)aabb 展开式中的系数,恰好对应图中第三行的数字;再如,(ab)aababb 展开式中的系数,恰好对应图中第四行的 数 字请 认 真 观 察 此 图,写 出(ab)的 展 开式,(ab)(第题)(湖南娄底)如图所示的图案是按一定规律排列的,照此规律,在第至第个图案中,“”共有 个(第题)(辽宁阜新)如图,ABC 的周长是,以它的三边中点为顶点组成第个三角形,再以第个三角形的三边中点为顶点组成第个三角形,则第n个三角形的周长为 (第题)(第题)(贵 州 贵 阳)如 图,在 ABA
11、中,B,ABAB,在 AB 上取一点C,延长 AA 到点 A,使得 AAAC;在 AC 上取一点 D,延 长 AA 到 点 A,使 得 AAAD;,按此做法进行下去,An 的度数为 (第题)(山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,有若干个横坐标分别为整数的点,其顺 序 按 图 中“”方向排列,如(,),(,),(,),(,),(,),(,),根据这个规律,第个点的横坐标为 (山东德州)如图,在一单位为的方格纸上,AAA,AAA,AAA,都是斜边在x轴上、斜边长分别为,的等腰直角三角形若AAA 的顶点坐标分别为 A(,),A(,),A(,),则依图中所示规律,点A的坐标为 (第题)(湖北武 汉)一
12、 列 数a,a,a,其 中a ,an an(n为不小于的整数),则a 等于()ABCD(湖北荆门)已知:顺次连接矩形各边的中点,得到一个菱形,如图();再顺次连接菱形各边的中点,得到一个新的矩形,如图();然后顺次连接新的矩形各边的中点,得到一个 新 的 菱 形,如 图();如 此 反 复 操 作 下 去,则 第个图形中直角三角形的个数有()(第题)A个B个C个D个(江苏南通)如图,在 RtABC 中,ACB,B,AC,且 AC 在直线l 上,将ABC 绕点A 顺时针旋转到,可得到点 P,此时 AP;将位置的三角形绕点 P 顺时针旋转到位置,可得到点 P,此时 AP;将位置 的三角形绕点 P
13、顺时针旋转到位置,可得到点 P,此时 AP;按此规律继续 旋转,直到点 P为止,则 AP等于()(第题)A B C D【基础达标】(湖北恩施州)观察数表根据表中数的排列规律,则BD (四川资阳)观 察 分 析 下 列 方 程:x x;xx;xx 请利用它们所蕴含的规律,求关于 x的方程xnnxn(n 为正整数)的根,你的答案是:(云南丽水)小明用棋子摆放图形来研究数的规律图()中 棋 子 围 成 三 角 形,其 颗 数,称 为 三 角 形数类似地,图()中的,称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()热点题型探究 ()()(第题)ABCD(四川自贡)一质点 P 从距原点个单位的点 M
14、 处向原点方向跳动,第一次跳动到OM 的中点 M 处,第二次从M 跳到OM 的中点 M 处,第三次从点 M 跳到 OM 的中点 M 处,如此不断跳动下去,则第n 次跳动后,该质点到原点O 的距离为()(第题)AnB nC()nDn(广西桂林)如图是在正方形网格中按规律 填 成 的 阴影,根据此规律,则 第n 个 图 中 阴 影 部 分 小 正 方 形 的 个 数是 (第题)(广东汕头)观察下列等式:第个等式:a ();第个等式:a ();第个等式:a ();第个等式:a ();请解答下列问题:()按 以 上 规 律 列 出 第 个 等 式:a ;()用含有n 的 代 数 式 表 示 第n 个
15、等 式:an (n为正整数);()求aaaaa的值【综合拓展】(贵州铜仁)如图,图()中一共有个平行四边形,图()中一共有个平行四边形,图()中一共有个平行四边形,则图()中平行四边形的个数是()(第题)A B C D(广东深圳)已知,如图,MON,点 A、A、A、在 射 线 ON 上,点 B、B、B、在 射 线 OM 上,ABA、ABA、ABA、均 为 等 边 三 角 形,若OA,则ABA 的边长为()(第题)ABCD(浙江绍兴)如图,直角三角形纸片 ABC 中,AB,AC,D 为斜边BC 的 中 点,第 次 将 纸 片 折 叠,使 点 A与点D 重合,折痕与 AD 交于点P;设 PD 的中
16、点为D,第次将纸片折叠,使点 A 与点D 重合,折痕与 AD 交于点P;设 PD 的中点为 D,第 次 将 纸 片 折 叠,使 点 A与点D 重合,折痕与 AD 交于点P;设 PnDn的中点为 Dn,第n 次将纸片折叠,使点 A 与点 Dn重合,折痕与 AD 交于点Pn(n),则 AP 的长为()第次折叠第次折叠第次折叠(第题)AB CD(辽宁鞍山)如图,在 ABC 中,ACB,A,ACa,作斜边 AB 上的中线CD,得到第一个三角形ACD;DEBC 于 点E,作 RtBDE 斜 边 DB 上 的 中 线EF,得到第二个三角形 DEF;依 此 作 下 去,则 第n 个三角形的面积等于 (第题)
17、(第题)(山东济南)如图,矩形 BCDE 的 各 边 分 别 平 行 于x轴或y 轴,物体甲和物体乙分别由点A(,)同时出发,沿矩形BCDE 的边作 环 绕 运 动,物 体 甲 按 逆 时 针 方 向 以 个单位/秒匀速运 动,物 体 乙 按 顺 时 针 方 向 以 个 单 位/秒匀速运动,则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是()A(,)B(,)C(,)D(,)(福 建 莆 田)如 图,在 平 面 直 角 坐 标 系 中,A(,),B(,),C(,),D(,)把一条长 为 个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处,并按ABCDA的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上,
18、则细线另一端所在位置的点的坐标是()(第题)A(,)B(,)C(,)D(,)(黑龙江齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系中有一边长为的正方形 OABC,边 OA、OC 分别在x 轴、y 轴上,如果以对角线OB 为边作第二个正方形OBBC,再以对角线OB 为边作第三个正方形 OBBC,照此规律作下去,则点B的坐标为 (第题)(第题)(山东 东 营)在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中,点 A、A、A、和B、B、B、分别在直线ykxb和x 轴上OAB,BAB,BAB,都 是 等 腰 直 角 三 角形,如果 A(,),A(,),那 么 点 An 的 纵 坐 标 是 (n为正整数)(黑龙江佳木斯)如
19、图,直线yx,点 A 的坐标为(,),过点 A 作x 轴的垂线交直线于点B,以原点 O 为圆心,OB 长为半径画弧交x 轴于点A,再过点 A 作x 轴的垂线交直线于点B,以原点O 为圆心,OB 长为半径画弧交x 轴于点A,按此作法进行下去,点 Bn 的纵坐标为 (n为正整数)(第题)(第题)(江苏无锡)如图所示的平面直角坐标系中有一个正六边形 ABCDEF,其中点C、D 的坐标分别为(,)和(,)若在无滑动的情况下,将这个六边形沿着x 轴向右滚动,则在滚动过程中,这个六边形的顶点 A、B、C、D、E、F中,会过点(,)的是点 第课时 规律探究问题【当堂过关】x aabababb n n (,)A B B【课后精练】xn或xn D Dnn()()()(n)(n)nn()()aaaaa ()()()()()()()D C A anD B(,)()n()n B