1、第五章 图形的变换第课时 全等变换(一)平移与旋转 能识别平移、旋转,掌握平移、旋转的基本性质在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系能运用平移、旋转的性质作图,进行图案设计图形的平移()平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个 移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的 和 ()平 移 的 基 本 性 质:经 过 平 移,对 应 点 所 连 的 线 段 (或在同 一 条 直 线 上)且 ,对 应 线 段 且 ,对应角 ()平面 直 角 坐 标 系 内 点 沿 坐 标 轴 方 向 平 移 坐 标 变 化规律:点 P
2、(a,b)向 x 轴 正 方 向 平 移 m 个 单 位 后 得 点P ;点 P(a,b)向 x 轴 负 方 向 平 移 m 个 单 位 后 得 点P ;点 P(a,b)向 y 轴 正 方 向 平 移 m 个 单 位 后 得 点P ;点 P(a,b)向 y 轴 负 方 向 平 移 m 个 单 位 后 得 点P ()简单的平移作图:确 定 一 个 图 形 平 移 后 的 位 置 所 需 条件为图形原来的位置;平移的 ;平移的 图形的旋转()旋 转 的 概 念:图 形 绕 着 某 一 点(固 定)转 动 一 定 的 ,这样的图形运动称为旋转,这一固定点叫做 旋转不改变图形的 和 ,图形中每一个点都
3、绕着旋转中心旋转同样大小的角度()旋转的基本性质:一 个 图 形 和 它 经 过 旋 转 所 得 到 的 图形中,对应点到旋转中心距离 ,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角 考点 平移识别和平移性质例 ()(辽宁本溪)下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是()()(江西)如图,有a,b,c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列,则三户所用电线()Aa户最长Bb户最长Cc户最长D三户一样长【解析】()根据平移的特点对四个选项进行逐一分析即可A是利用图形的旋转得到的,故本选项错误;B 是利用图形的旋转和平移得到的,故本选项错误;C 是利用图形的平移 得 到 的,故 本 选 项
4、正确;D是利用图形的旋转得到的,故本选项错误()可理解为将最左边一组电线向右平移所得,由平移的性质即可得出结论【全解】()C()D【小结】图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向,二是图形平移的距 离,这 两 个 要 素 是 图 形 平 移 的 依 据图 形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据例 (浙江义乌)如图,将周长为的ABC 沿BC 方向平移个 单 位 得 到 DEF,则 四 边 形 ABFD 的 周 长为()ABCD【解析】根据平移的基本性质解答根据题意,将周长为个单位的等边ABC 沿边BC
5、向右平移个单位得到DEF,AD,BFBCCFBC,DFAC又 ABBCAC,四边形 ABFD 的周长ADABBFDFABBCAC【全解】C【提醒】本题 考 查 平 移 的 基 本 性 质:平 移 不 改 变 图 形的形状和大小;经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等得到 CFAD,DFAC是解题的关键考点 坐标与平移、旋转例 ()(山东泰安)如图,菱形OABC 的顶点O在坐标 原 点,顶 点 A 在x 轴 上,B,OA,将 菱 形OABC 绕原点顺时针旋转至 OABC的位置,则点 B的坐标为()A(,)B(,)C(,)D(,)()(湖北 黄 冈)在 平 面 直 角
6、 坐 标 系 中,ABC 的 三个顶点的坐标是A(,),B(,),C(,),将 ABC平移至ABC 的位 置,点 ABC 的 对 应 点 分 别 是ABC,若点 A 的坐标为(,)则点C 的坐标为 【解析】()首先连接OB、OB,过点B作BEx 轴于点E,由旋转的性质,易得BOB,因为四边形 OABC 是 菱 形,由 菱 形的性质,得 OAAB,AOB AOC ABC ,所以AOB 是等边三角形,即可得 OBOBOA,AOB,继而可求得AOB,OBOB,由等腰直角三角形的性质,即可求得OEBEOBsin 所以点 B的坐标为(,)()首先根据点 A 平移后的坐标变化,确定三 角 形 的 平 移
7、方 法由A(,)平移后点 A 的坐标为(,),可得点 A 横坐标加,纵坐标减,则点C 的坐标变化与点A 的变化相同,故C(,),即(,)【全解】()A()(,)【小结】对于 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 平 移 规 律,我 们 在 自我梳理中已作了总结,在此不赘述平面直角坐标系中几何图形绕坐标原点旋转我们可以得到如下结论:如果一个点绕原点旋转,那么点的横、纵坐标分别变为原来的相反数;如果一个点绕原点顺时针旋 转,或绕原点逆时针旋转,那么原横坐标变号后与纵坐标要交换前后位置,得到对应点的新坐标;如果一个点绕原点逆时针旋转,或绕原点顺时针旋转,那么原纵坐标变号后与横坐标要交换前后位置,得到对
8、应点的新坐标例 (北京)操作与探究:()对数轴上的点 P 进行 如 下 操 作:先 把 点 P 表 示 的 数乘以 ,再把所得数对应的点向右平移个单位,得到点P 的对应点 P()点 A、B 在数轴上,对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段AB,其中点 A、B 的对应点分别为A、B如图(),若点 A 表示的数是,则点 A表示的数是 ;若点B表 示 的 数 是,则 点 B 表 示 的 数 是 ;已 知 线 段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E与点E 重合,则点E 表示的数是 ()如图(),在平面直角坐标系xOy 中,对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作:把每个点的横、纵坐
9、标都乘以同一个实数a,将得到的点先向右平移 m 个单位,再向上平移n个单位(m,n),得到正方形 ABCD及其内部的点,其中点 A、B 的对应点分别为A、B已知正方形 ABCD内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F与点F 重合,求点F 的坐标()【解析】()根据题目规定,以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A,设点B 表示的数为b,根据题意列出方程求解即可得到点B 表示的数,设点E 表示的数为e,根据题意列出方程计算即可得解;()先根据向上平移横坐标不变,纵坐标加,向右平移横坐标加,纵坐标不变求出平移规律,然后设点F 的坐标为(x,y),根据平移规律列出方程组求解即可【全解】()点
10、 A:设点B 表示的数为b,则 b,解得b设点E 表示的数为e,则 ee,解得e 故答案为,空间与图形 ()根据题意,得am,am,an解得a ,m ,n设点F 的坐标为(x,y),对应点F与点F 重合,x x,yy,解得x,y故点F 的坐标为(,)【提醒】本题考查了坐标与图形平移的变化,涉及数轴、正方形的性质、平移的 性 质 等数 轴 上 右 边 的 点 总 比 左 边 的大的性质,读懂题目信息是解题的关键考点 旋转的性质例 ()(江苏无锡)如图(),在ABC 中,C将ABC 绕点A 顺 时 针 旋 转 得 到 ADE,AE 与BC 交于点F,则AFB ()()()(广西玉林)如图(),两块
11、相同的三角板完全重合在一起,A,AC,把上面一块绕直角顶点 B 逆时针旋转到ABC的位置,点 C在AC 上,AC与AB 相交于点D,则CD 【解析】()因为ADE 是由ABC 绕点A 顺时针旋转得到的,根 据 旋 转 的 性 质 可 知 CAF;又 因 为 C,所 以 在AFC 中,由三角形内角和定理可得CFACCAF,即AFB()由A,AC,ABC,知C,BCBCAC,BCC是等边三角形 CC ACBCBC,CDBC DC是ABC 的中位线 DC BC 【全解】()()【提醒】()本题考查了旋转的性质根据已知条件“将ABC 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 得 到 ADE”找 到 旋 转 角C
12、AF是解题的关键;()此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和中位线的性质,根据已知得出 DC是ABC 的中位线是解题的关键【小结】理解 旋 转 这 一 概 念 应 注 意 以 下 两 点:旋 转 和平移一样是图形的一种基本变换;图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度考点 在网格或坐标系中平移、旋转作图例 (湖南张家界)如图,在方格纸中,以格点连线为边的三角形叫格点三角形,请按要求完成下列操作:先将格点 ABC 向 右 平 移 个 单 位 得 到 ABC,再 将ABC 绕点C 点旋转得到ABC【解析】将ABC 向右平移个单位后,横坐标变为x,而纵坐标不变,所以点 A、B、C 的坐标可知
13、,确定坐标点连线即可画出图形,将ABC 中的各点 A、B、C 旋转后,得到相应的对应点 A、B、C,连接各对应点即得ABC【全解】所作图形如图【小结】()图形的平移变换关键是要懂得左右平移时,点的纵坐标不变,而上下平移时点的横坐标不变()旋转作图有两种情况:给出绕着旋转的定点,旋转方向和旋转角的大小;给出定点和 图 形 的 一 个 特 殊 点 旋 转 后 的 对 应 点作图步骤:作出图形的几个关键点旋转后的对应点;顺次连接各点得到旋转后的图形例 (湖北武汉)如图,在平面直角坐标系中,点A、B 的坐标分别为(,),(,),先将线段 AB 沿一确定方向平移得到线段AB,点 A 的对应点为A,点 B
14、 的坐标为(,),在将线段 AB 绕原点 O 顺时针旋转 得 到 线 段AB,点 A 的对应点为点 A()画出线段 AB、AB;()直接写出在这两次变换过程中,点 A 经过A 到达 A的路径长【解析】()先在坐标系中找出点 B 的位置,然后根据平移前后对应点 A、B,连线平行可找到点 A 的位置,连接即可得出 AB,按照题意所属旋转三要素找到 A、B 的对应点 A、B,连接可得出AB()先计算出 AA 的距离,然后求出弧 AA 的长度,继而可得出答案【全解】()所作图形如图()由图形可得 AA,AAAO,故点 A 经过A 到达 A 的路径长为【提醒】此题 考 查 了 旋 转 作 图 的 知 识
15、 及 弧 长 的 计 算,解答本题的关键是掌握旋转及平移变换的特点,另外要熟练记忆弧长公式及公式中各字母的含义(甘肃白银)将如图所示的图案通过平移后 可 以 得 到的图案是()(第题)(广东肇庆)点 M(,)向上平移个单位长度得到的点的坐标是()A(,)B(,)C(,)D(,)(浙江绍兴)在如图所示的平面直角坐标系内,画在透明胶片上的ABCD,点A 的坐标是(,)现将这张胶片平移,使点A 落在点A(,)处,则此平移可以是()(第题)A先向左平移个单位,再向下平移个单位B先向左平移个单位,再向下平移个单位C先向右平移个单位,再向下平移个单位D先向右平移个单位,再向下平移个单位(广东汕头)如图,将
16、ABC 绕着点C 顺时针旋转后得到ABC若AB,则BCA的度数是()ABCD (福建莆田)如图,ABC是由ABC 沿射线AC 方向平移cm 得到,若 ACcm,则 AC cm(四川宜宾)如图,在平面直角坐标系中,将 ABC 绕点P 旋转得到DEF,则点 P 的坐标为 (第题)(江苏泰州)如图,在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中,ABC 的顶点A、B、C 在小正方形的顶点上,将ABC 向下平移个单位、再向右平移个单位得到ABC,然后将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到ABC()在网格中画出ABC 和ABC;()计算线段 AC 在 变 换 到AC 的 过 程 中 扫 过 区 域 的 面积(重叠
17、部分不重复计算)(第题)空间与图形 【基础达标】(湖北宜昌)如图,在 的 网 格 中,每 个 小 方 格 的边长都是个单位,将ABC 平移到DEF 的位置,下面正确的平移步骤是()(第题)A先把ABC 向左平移个单位,再向下平移个单位B先把ABC 向右平移个单位,再向下平移个单位C先把ABC 向左平移个单位,再向上平移个单位D先把ABC 向右平移个单位,再向上平移个单位(广西)在平面直角坐标系中,将点 M(,)向左平移个单位长度后得到点 N,则点 N 的坐标是()A(,)B(,)C(,)D(,)(黑龙江大庆)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(,),将OA 绕原点按逆时针方向旋
18、转得OB,则点B 的坐标为()A(,)B(,)C(,)D(,)(江苏苏州)如 图,将 AOB 绕 点O 按 逆 时 针 方 向 旋转后得到 AOB,若 AOB,则 AOB的 度 数是()ABCD(第题)(第题)(山东济南)如图,在 RtABC 中,C,AC,将ABC 沿CB 向右平移得到DEF,若平移距离为,则四边形 ABED 的面积等于 (辽宁铁岭)如图,在平面直角坐标系中,ABC 经过平移后点A 的对应点为点A,则平移后点 B 的对应点B的坐标为 (第题)(第题)(山 东 青 岛)如 图,在 RtABC 中,ACB,ABC,AC,将 ABC 绕 点 C 逆 时 针 旋 转 至ABC,使得点
19、 A恰 好 落 在AB 上,连 接 BB,则 BB的长度为 (黑龙江鸡西)顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形,如 图,在 一 个 的 正 方 形 网 格 中 有 一 个 格 点ABC设网格中小正方形的边长为个单位长度()在 网 格 中 画 出 ABC 向 上 平 移 个 单 位 后 得 到 的ABC;()在网格中画出ABC 绕点A 逆时针旋转后得到的ABC;()在()中ABC 向上平移过程中,求边 AC 所扫过区域的面积(第题)【综合拓展】(江苏宿迁)()如图(),在ABC 中,BABC,D、E是边AC 上 的 两 点,且 满 足 DBE ABC(CBE ABC)以 点 B 为 旋 转 中
20、心,将 BEC按逆时针 旋 转 ABC,得 到 BEA(点 C 与 点 A 重合,点E 到点E处),连接 DE求证:DEDE;()如图(),在ABC 中,BABC,ABC,D、E 是边 AC 上 的 两 点,且 满 足 DBE ABC(CBE)求证:DEADEC()()(第题)第五章 图形的变换第课时 全等变换(一)平移与旋转【自主梳理】()方向 形状 大小()平行 相等 平行 相等 相等()(am,b)(am,b)(a,bm)(a,bm)()方向 距离()角度 旋转中心 形状 大小()相等 相等【当堂过关】A B B B (,)()如图所示(第题)()图中是边长为个单位长度的小正方形组成的网
21、格,AC 将ABC 向下平移个单位 AC 所 扫 过 的 面积是以为底,以 为 高 的 平 行 四 边 形 的 面 积;再向右平移个单位 AC 扫过的面积是以为底,以为高的平行四边形的面积;当 ABC 绕 点 A顺时针旋转 到 ABC 时,AC 所 扫 过 的 面积是以 A 为圆心,以 为半径,圆心角为 的扇形的面积,重叠部分是以 A 为圆心,以 为半径,圆心角为的扇形的面积,线段 AC 在变换到AC 的过程中扫过区域的面积()()【课后精练】A A A B (,)()、()如图所示(第题)()因 为 ABC 向 上 平 移 个 单 位 后 得 到 的ABC,ABC 向上平移过程中,边 AC 所扫过区域是以为边长,以为高的平行四边形,所以边 AC 所扫过区域的面积()DBE ABC,ABDCBEDBE ABC ABE由CBE 旋转而成,BEBE,ABECBE DBEDBE在DBE 与DBE中,BEBE,DBEDBE,BDBD,DBEDBE DEDE()把CBE 以点B 为中心,逆时针旋转,连接DE,BABC,ABC,BACBCE 图形旋转后点C 与点A 重合,CE 与AE重合 AEEC EABBCE DAE在 RtADE中,DEAEAD,AEEC,DEECAD同()可得 DEDE,DEADEC