1、第课时 图形的相似 懂得比例的基本性质、线段的比、成比例的线段以及黄金分割;掌握平行线分线段成比例的性质识别图形的相似、相似多边形能说出相似比的概念掌握相似三角形的判定定理和性质定理,会利用图形的相似解决一些简单的实际问题了解图形的位似,能在直角坐标系中利用坐标变化将一个图形放大或缩小比例基本性质及运用()线段比:两条线段 的比叫做这两条线段的比()线段成比例:四条线段a,b,c,d,如果abcd,那么称a,b,c,d 四条线段 ,其中线段a,d 叫做比例 ,线段b,c叫做比例 ,线段d 叫做a,b,c的 项,当比例内项相同时,即abbc,那么线段b叫做线段a 和c 的 ()比例的性质基本性质
2、:abcd 合比性质:若ab cd,则 等比性质:若ab cd ef mn(bdfn),则 ()黄 金 分 割:在 线 段 AB 上 有 一 点C,如 果 ACAB ,则点C 就是AB 的黄金分割点一条线段有 个黄金分割点两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段 相似三角形的定义、性质和判定()相似三角形定义:对应角 ,对应边 的两个三角形叫 做 相 似 三 角 形,相 似 三 角 形 的 对 应 边 的比叫做 相 似 比 为 的 两 个 三 角 形 是全等三角形()相似三角形的性质:相似三角形的对应角 ,对应边 相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应 角 平 分 线 的 比 都 等 于 相
3、 似 三角形周长的 比 等 于 相 似 三 角 形 面 积 的 比等于 ()相似三 角 形 的 判 定:角 对 应 相 等 的 两 个 三角形相似两边对应成比例,且 角相等的两个三角形相似 边对应成比例的两个三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个 直 角 三 角 形 的 斜 边 和 一 条 直 角 边 对 应 成 比例,那么这两个直角三角形相似相似多边形()定义:对应角 ,对应边 的两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比称为相似比()相似多边形的性质:相 似 多 边 形 的 对 应 对 角 线 的 比等 于 ;相 似 多 边 形 的 周 长 的 比 等 于 ;相似多边形的
4、面积的比等于 ;相似多边形的 对 应 三 角 形 相 似,相 似 比 等 于 相 似 多 边形的相似比位似图形如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过 ,它 们 到 这 点 的 距 离 之 比 ,那么这样的两个 图 形 叫 做 位 似 图 形,这 个 点 叫 做 ,这时的相似比又叫做位似比考点 比例线段和成比例线段例 (江苏宿迁)如图,已知 P 是线段AB 的黄金分割点,且 PAPB,若 S 表示 PA 为 一 边 的 正 方 形 的 面积,S 表示长是 AB,宽是 PB 的矩形的面积,则 S S(填“”“”或“”)【解析】P 是线段AB 的黄金分割点,且 PAPB,根据黄金分
5、割的定义得到 PAPBAB,又S 表示 PA 为一边的正方形的面积,S 表示长是 AB,宽是 PB 的矩形的面积,利用正方形和矩形的面积公式有SPA,SPBAB,因此SS【全解】【小结】本题 考 查 了 黄 金 分 割 的 定 义:一 个 点 把 一 条 线段分成较长线段和较短线段,并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项,那么就说这个点把这条线段黄金分割,这个点叫这条线段的黄金分割点例 (上海)如图,在菱形 ABCD 中,点 E、F 分别在边BC、CD 上,BAFDAE,AE 与BD 交于点G()求证:BEDF;()当DFFC ADDF时,求证:四边形BEFG 是平行四边形【解析】()证得
6、ABE 与AFD 全等后即可证得结论;()利用DFFCADDF得到DFFCADBE DGGB,从而根据平行线分线段成比例定理证得FGBC,进而得到DGFDBCBDC,最后证得BEGF,利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形【全解】()四边形 ABCD 是菱形,ABAD,ABCADF BAFDAE,BAFEAFDAEEAF,即BAEDAF BAEDAF BEDF()DFFC ADDF,DFFC ADBE DGGB FGBC DGFDBCBDC DFGF BEGF 四边形BEFG 是平行四边形【提醒】本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质,特别是第二问如何利用已知比例式进行转化
7、是解决此题的关键考点 相似形的性质与判定例 ()(重庆)已知 ABC DEF,ABC的周长为,DEF 的周长为,则 ABC 与 DEF 的 面 积之比为 ()(海南)如图(),点 D 在 ABC 的边AC 上,要判 定 ADB 与 ABC 相 似,添 加 一 个 条 件,不 正 确 的 是()()()AABDCBADBABCCABBDCBCDDADAB ABAC()(贵州铜仁)如图(),六边形 ABCDEF六边形GHIJKL,相似比为,则下列结论正确的是()AEKBBCHIC六边形 ABCDEF 的周长六边形GHIJKL 的周长DS 六边形ABCDEFS 六边形GHIJKL【解析】第()题考查
8、的是相似三角形的性质因为 ABCDEF,ABC 的周长为,DEF 的周长为,根据相似三角形的性质求出其相似比是,再根据面积的比等于相似比的平方得ABC与DEF 的面积之比为第()题考查了相似三角形的判定由A 是公共角,利用有两角对应相等的三角形相似,即可得 A 与 B正确;又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,即可得 D正确;当ABBD CBCD 时,A 不是夹角,故不能判定ADB 与ABC 相似,故 C错误注意排除法在解选择题中的应用第()题考查的是相似多边形的性质根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可A 六边形 ABCDEF六边形GHIJKL,EK,故本选项错误;B
9、六边形 ABCDEF六边形GHIJKL,相似比为,BCHI,故本选项正确;C 六边形 ABCDEF六边形GHIJKL,相似比为,六边形 ABCDEF 的周长六边形 GHIJKL 的周长,故本选项错误;D 六边形 ABCDEF六边形GHIJKL,相似比为,S 六边形ABCDEFS 六边形GHIJKL,故本选项错误【全解】()()C()B【提醒】运用 相 似 三 角 形 的 性 质 和 判 定,除 了 正 确 运 用定理外,还要注意正确找出两个三角形的对应边和对应角例 (湖南株洲)如图,在矩形 ABCD 中,AB,BC,沿直线 MN 对折,使 A、C 重合,直线 MN 交AC 于点O()求证:CO
10、MCBA;()求线段OM 的长度【解析】()根据 A 与C 关于直线 MN 对称得到ACMN,进一步得到COM,从而得到在矩形 ABCD 中COMB,最后证得COMCBA;()利用上题证得的相似三角形的对应边成比例得到比例式后即可求得OM 的长【全解】()A 与C 关于直线 MN 对称,ACMN COM在矩形 ABCD 中,B COMB又 MCOACB,COMCBA;()在 RtCBA 中,AB,BC,AC OC COMCBA,OCBCOMAB OM【提醒】本题 考 查 了 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质、勾 股 定理及矩形的性质,解题的关键是仔细分析并找到相等的角来证得相似三角形
11、考点 相似三角形的应用例 (北京)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边 DF 保持水平,并且边 DE 与点B 在同一直线上已知纸板的两条直角边 DEcm,EFcm,测得边 DF 离地面的高度ACm,CDm,则树高 AB m 空间与图形 【解析】利用直角 三 角 形 DEF 和 直 角 三 角 形 DCB 相 似 求 得BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB DEFBCD,DD,DEFDCB BCEFDCDE DEcmm,EFcmm,ACm,CDm,BC BC ABACBC(m)【全解】【小结】相似三角形的应用关键是从实际问题中整理
12、出相似三角形的模型考点 直角坐标系中位似例 (广 西 玉 林)如 图,正 方 形 ABCD 的 两 边BC、AB 分别在平面 直 角 坐 标 系 的x 轴、y 轴 的 正 半 轴 上,正方形 ABCD与正方形ABCD 是以AC 的中点O为中心的位似图形,已知 AC,若点 A的坐标为(,),则正方形ABCD与正方形ABCD 的相似比是()ABCD【解析】延长 AB交BC 于点E,根据大正方形的对角线长求得其边长,然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比 在正方形 ABCD 中,AC,BCAB延长 AB交BC 于点E,点 A的坐标为(,),OE,ECAE 正方形 ABCD的边长为 正方形
13、ABCD与正方形ABCD 的相似比是 【全解】B【提醒】本题 考 查 了 位 似 变 换 的 坐 标 变 化 知 识,解 题 的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长例 (江苏常州)在平面直角坐标系xOy 中,已知ABC 和 DEF 的 顶 点 坐 标 分 别 为 A(,)、B(,)、C(,)、D(,)、E(,)、F(,)按下列要求画图:以 O 为 位 似 中 心,将 ABC 向y 轴 左侧按比例尺放大得ABC 的位 似 图 形 ABC,并 解决下列问题:()顶点 A 的 坐 标 为 ,B 的 坐 标 为 ,C 的坐标为 ;()请你利用旋转、平移两种变换,使ABC 通过变换后得到ABC,且AB
14、C 恰与DEF 拼 接 成 一 个 平 行四边形(非正方形),写出符合要求的变换过程【解析】()延长 AO 到A,使 AOAO,延长 BO 到B,使BOBO,连接CO 并延长到C,使COCO,然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可;()先绕点O 顺时针旋转,然后向右平移再向下(或向上)平移,使ABC 的直角边与DEF 的直角边重合即可【全解】()如图所示,ABC 即为所求作的三角形,A(,),B(,),C(,);()如图,把ABC 绕点 O 顺时针旋转,再向右平移个单位,向下平移个单位,使 BC 与 DE 重合,或者把ABC 绕点O 顺时针旋转,再向右平移个单位,向上平移个单
15、位,使 AC 与 EF 重合,都可以拼成一个平行四边形【小结】平面 直 角 坐 标 系 中 位 似 变 换 作 图,若 位 似 中 心是坐标原点,只要将这个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小要求的倍数,所对应的图形即与原图形是位似的(四川凉山州)已知ba ,则abab的值是()ABCD(福建宁德)如图,在矩形ABCD 中,AB,BC,点E、F、G、H 分别在 矩 形ABCD 的 各 边 上,EFACHG,EHBDFG,则四边形EFGH 的周长是()(第题)A B C D(山东德州)为了测量被池塘隔开的 A、B 两点之间的距离,根据实际情况,作出如图图形,其中 ABBE,EFBE,AF 交BE 于点
16、D,点C 在BD 上有四位同学分别测量出以下四组数据:BC、ACB;CD、ACB、ADB;EF、DE、BD;DE、DC、BC能根据所测数据,求出A、B间距离的有()A组B组C组D组(第题)(第题)(湖北咸宁)如图,正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形,O 为位似中心,相似比为,点 A 的坐标为(,),则点E 的坐标为()A(,)B ,()C(,)D(,)(湖 南 湘 潭)如 图,在 ABCD 中,点 E 在 DC 上,若ECAB,EF,则BF (第题)(辽宁沈阳)已知ABCABC,相似比为,ABC 的周长为,则ABC的周长为 (辽宁阜新)如图,ABC 与ABC 为位似图形,点O 是它们
17、的位似中心,位似比是,已知ABC 的面积为,那么ABC 的面积是 (第题)(湖南娄底)如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内 M处的运动员林丹把球从点N 击到了对方内的点B,已知网高OA米,OB米,OM米,则林丹起跳后击球点 N 离地面的距离NM 米(第题)(四川凉山 州)如 图,在 矩 形 ABCD 中,AB,AD,点E 在AD 边上,且 AE,EFBE 交CD 于点F()求证:ABEDEF;()求EF 的长(第题)【基础达标】(广西柳州)小张用手机拍摄得到甲图,经放大后得到乙图,甲图中的线段 AB 在乙图中的对应线段是()(第题)AFGBFH 空间与图形 CEHDEF(湖北孝 感)如 图,在
18、ABC 中,ABAC,A,BD 平分ABC 交AC 于 点 D,若 AC,则 AD 的 长 是()A B C D(第题)(第题)(贵州毕节)如图,在平面直角坐标系中,以原点 O 为位似中心,将ABO 扩大到原来的倍,得到ABO若点 A 的坐标是(,),则点 A的坐标是()A(,)B(,)C(,)D(,)(湖 北 随 州)如 图,点 D、E 分 别 在 AB、AC 上,且ABCAED,若 DE,AE,BC,则 AB 的长为 (第题)(第题)(第题)(上 海)在 ABC 中,点 D、E 分 别 在 AB、AC 上,AEDB,如 果 AE,ADE 的 面 积 为,四 边 形BCDE 的面积为,那么
19、AB 的长为 (江 苏 南 京)如 图,在 ABCD 中,ADcm,CDcm,E 为 AD 上 一 点,且 BEBC,CECD,则 DE cm(湖南岳阳)如图,在ABC 中,ABAC,D 是AB 上的一点,且 AD AB,DFBC,E 为BD 的中点若 EFAC,BC,则四边形 DBCF 的面积为 (第题)(第题)(江苏无锡)如图,在ABC 中,ACB,ABcm,D 是AB 的 中 点现 将 BCD 沿 BA 方 向 平 移 cm,得 到EFG,FG 交AC 于 H,则GH 的长等于 cm(湖南长沙)如 图,已 知 在 正 方 形 ABCD 中,BE 平 分DBC 且交边CD 于点E,将BCE
20、 绕点C 顺时针旋转到DCF 的位置,并延长BE 交DF 于点G()求证:BDGDEG;()若EGBG,求BE 的长(第题)【综合拓展】(安徽)如图(),在ABC 中,D、E、F 分别为三边的中点,点 G 在边AB 上,BDG 与 四 边 形ACDG 的 周 长相等,设BCa,ACb,ABc()求线段BG 的长;()求证:DG 平分EDF;()连 接 CG,如 图(),若 BDG 与 DFG 相 似求 证:BGCG()()(第题)第课时 图形的相似【自主梳理】()长度()成比例 外项 内项 第四比例 比例中项()adbc abb cddacembdfnab()BCAC 两成比例()相等 成比例
21、 相似比()相等 成比例 相似比相似比 相似比的平方()两 夹 三()相等 成比例()相似比 相似比 相似比的平方同一点 相等 位似中心【当堂过关】D D C C ()四边形 ABCD 是矩形,AD AEBABE EFBE,AEBDEF DEFABE ABEDEF()ABEDEF,BEEFABDE AB,AD,AE,BEABAE,DEADAE EF 解得EF【课后精练】D C C ()将 BCE 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 到 DCF的位置,BCEDCF FDCEBC BE 平分DBC,DBEEBC FDCDBE BGDDGE,BDGDEG()BCEDCF,BECF,EBCFDC 四边形
22、ABCD 是正方形,DCB,DBCBDC BE 平分DBC,DBEEBCFDC BDF,FBDF BDBF BCEDCF,BECFDEG DGB,即BGDF BDBF,DFDG BDGDEG,BGEG,DGEGBGDG BGEGDGDG DG BEDFDG()BDG 与四边形ACDG 的周长相等,BDBGDGACCDDGAG D 是BC 的中点,即BDCD BGACAG BG(ACAG)ABAC,BG (ABAC)(bc)()点 D、F 分别是BC、AB 的中点,DF AC b,BF AB c又 FGBGBF (bc)c b,DFFG FDGFGD 点 D、E 分别是BC、AC 的中点,DEAB EDGFGD FDGEDG即 DG 平分EDF()BDG 与 DFG 相 似,DFG B,BGDDGF(公共角),BFDG由(),得FGDFDG,FGDB DGBD BDCD,DGBDCD B、G、C 三点在以BC 为直径的圆周上 BGC即BGCG