1、 空间与图形 第课时 与圆有关的计算 会计算圆的周长、弧长及组合图形的周长,会计算圆的面积、扇形的面积及组合图形的面积了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系,会将正多边形的计算问题转化为解直角三角形问题各边 ,各角 的多边形叫做正多边形正多边 形 的 外 接 圆(或 内 切 圆)的 圆 心 叫 做 正 多 边 形 的 正多 边 形 都 是 对 称 图 形,一 个 正 n 边 形 有 条 对 称 轴,如 果n 是 偶 数,那 么 它 又 是 对称图形有关计算公式(设半径为R,圆心角的读数为n)弧长公式l ,扇形的面积S 考点 正多边形的有关计算例 ()(安 徽)为 增 加 绿 化 面 积,某 小
2、 区 将 原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为()AaBaCaDa()(天津)若一个正六边形的周长为,则该六边形的面积为 【解析】()由题意可以得到正八边形周围是四个全等的等腰直角三角形,斜边长为正八边形的边长为a,由勾股定理可以求出这些等腰直角三角形的直角边长为 a,其面积为 a aa,正八边形中间是边长为a的正方形,所以阴影部分的面积为a aa()首先根据题意画出图形,如图,连接 OB、OC,过点 O 作OM BC 于点 M,BOC OCOB,OBC 是等边三角形 正六边形 ABCDEF 的
3、周长为,BC OBBC BM BC OMOBBM SOBC BCOM 该六边形的面积为:【全解】()A()【小结】解决与正多边形有关的问题,通常作由半径、边心距及边的一半组成的直角三角形考点 弧长的计算例 ()(江苏苏州)已知扇形的圆心角为,弧长等于 ,则该扇形的半径为 ()(贵州遵义)如图,将边长为 cm 的正方形 ABCD 沿直线l向右翻动(不滑动),当正 方 形 连 续 翻 动 次 后,正方形的中心O 经过的路线长是 cm(结果保留)【解析】()根据弧长的公式lnR,知Rln ,即该扇形的半径为()根据题意,画出正方形 ABCD“滚动”时中心O 所经过的轨迹,然后根据弧长的计算公式求得中
4、心O 所经过的路程 正方形 ABCD 的边长为 cm,正方形的对角线长是cm,翻动一次中心经过的路线是半径是对角线的一半为半径,圆心角是 度的弧则中心经过的路线长是:(cm)【全解】()()【小结】()弧 长 公 式 涉 及 三 个 未 知 量,已 知 两 个 量,即可求出第三个量;()旋转运动的路线常涉及弧长的计算,要注意分清路线考点 扇形面积的计算例 ()(山西)如图()是某公园的一角,AOB,弧AB 的半径OA 长是米,C 是OA 的中点,点D 在弧AB上,CDOB,则图中休闲区(阴影部分)的面积是()A 平方米B 平方米C 平方米D ()平方米()()()(湖南娄底)如图(),正方形
5、MNEF 的四个顶点在直径为的大圆上,小圆与正方形各边都相切,AB 与CD 是大圆的直径,ABCD,CDMN,则图中阴影部分的面积是()ABCD【解析】()根据半径 OA 长是米,C 是OA 的 中 点 知OCOA,由 AOB,CDOB,得 到 CDOA,所 以 OCD 是RtOCD,利用勾股定理 CDODOC ,根据锐角三角函数的定义sinDOCCDOD ,求出 DOC 的度数,由 S阴影 S扇形AOD SDOC ()平方米()由 ABCD,CDMN 可 知 阴 影 部 分 的 面 积 恰 好 为 正 方 形MNEF 外接圆面积的 ,S阴影 ()【全解】()C()D【提醒】组合图形的面积计算
6、,应根据图形结构,把不规则图形转化为规则图形的和或差进行计算考点 圆知识的综合应用例 (浙江义乌)如图,已知 AB 是O 的直径,点C、D 在O 上,点E 在O 外,EACD()求ABC 的度数;()求证:AE 是O 的切线;()当BC时,求劣弧 AC 的长【解析】()由圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得ABC 的度数;()由 AB 是O 的直径,根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角,即可得ACB,又由BAC,易求得BAE,则可得 AE 是O 的切线;()首先连 接 OC,易 得 OBC 是 等 边 三 角 形,则 可 得 AOC,由弧长公式,即可求得劣弧 AC
7、的长【全解】()ABC 与D 都是弧AC 所对的圆周角,ABCD()AB 是O 的直径,ACB BAC BAEBACEAC,即BAAE AE 是O 的切线()如图,连接OC,OBOC,ABC,OBC 是等边三角形 OBBC,BOC AOC 劣弧 AC 的长为【提醒】此题 考 查 了 切 线 的 判 定、圆 周 角 定 理 以 及 弧 长公式等知识注意辅助线的作法(湖北黄石)如图所示,扇形 AOB 的圆心角为,半径为,则图中阴影部分的面积为()A B C D(第题)(第题)(湖北咸 宁)如 图,O 的 外 切 正 六 边 形ABCDEF 的边长为,则图中阴影部分的面积为()A B C D(广东湛
8、江)一个扇形的圆心角为,它所对的 弧 长为cm,则这个扇形的半径为()AcmBcmC cmD cm(福建漳州)如图,一枚直径为cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周,圆心移动的距离是()(第题)AcmBcmCcmDcm 空间与图形 (山 东 日 照)如 图,在 的 正 方 形 网 格 中,若 将ABC 绕着点A 逆时针旋转得到 ABC,则BB 的长为()ABCD(第题)(第题)(四川自贡)如图,ABC 是正三角形,曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线,其中弧CD、弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A、B、C,如 果 AB,那 么 曲 线 CDEF 的 长 是 (四川巴中)已知一个圆的半径为cm,则
9、它的内接六边形的边长为 (贵州贵阳)如 图,在 O 中,直 径 AB,CA 切 O于点A,BC 交O 于点D,C()BD 的长是 ;()求阴影部分的面积(第题)(湖南岳阳)如图所示,在O 中,ADAC,弦 AB 与弦AC 交于点A,弦CD 与AB 交于点F,连接BC()求证:ACABAF;()若O 的半径长为cm,B,求图中阴影部分面积(第题)【基础达标】(台 湾)如 图,正 六 边 形 ABCDEF 的 边 长 为,连 接AC、BE、DF,求图中灰色四边形的周长为()ABC D(第题)(第题)(广 西 北 海)如 图,在 边 长 为 的 正 方 形 组 成 的 网 格中,ABC 的顶点都在格
10、点上,将ABC 绕点C 顺时针旋转,则顶点 A 所经过的路径长为()AB C D(广东珠海)如果一个扇形的半径是,弧长是 ,那么此扇形的圆心角的大小为()ABCD(贵州毕节)如图,在正方形 ABCD 中,以 A 为顶点作等边AEF,交边 BC 于点E,交边 DC 于 点F;又 以 点 A为圆心,AE 的长为半径作EF若AEF 的边长为,则阴影部分的面 积 约 是()(参 考 数 据:,取)ABCD(第题)(第题)(广西贵港)如图,在 ABC 中,A,BC,以BC 为直径的半圆O 与AB、AC 分 别 交 于 点 D、E,则 图 中阴影部分面积之和等于 (结果保留)(福 建 厦 门)如 图,已
11、知 ABC,ABr,BCr,半径为r的O 从点A 出发,沿 ABC 方向滚动到点C 时停止请你根据题意,在图上画出圆心 O 运动路径的示意图;圆心O 运动的路程是 (第题)(四川广安)如图,RtABC 的边BC 位于直线l 上,AC,ACB,A若 RtABC 由现 在 的位置向右滑动地旋转,当点A 第次落在直线l上时,点 A所经过的路 线 的 长 为 (结 果 用 含 有 的 式 子 表示)(第题)(广东)如 图,在 ABCD 中,AD,AB,A,以点 A 为圆心,AD 的长为半径画弧交AB 于点E,连接CE,则阴影部分的面积是 (结果保留)(第题)(第题)(浙江舟山)如图,已知O 的半径为,
12、弦 AB半径OC,沿 AB 将弓形ACB 翻折,使点 C 与圆心O 重合,则月牙形(图中实线围成的部分)的面积是 (四川广元)如图,AB 是O 的直径,C 是AB 延长线上一点,CD 与O 相切于点E,ADCD 于点D()求证:AE 平分DAC;()若 AB,ABE求:AD 的长;图中阴影部分的面积(第题)【综合拓展】(黑龙江黑河)如图,在ABC 中,BC,以点 A 为圆心,为半径的A 与BC 相切于点 D,交 AB 于点E,交 AC 于点F,点 P 是A 上的一点,且 EPF,则图中阴影部分的面积为()ABCD(第题)(第题)(江苏徐州)如图,菱形 ABCD 的边长为cm,ABD是以点A 为
13、圆心、AB 长为半径的弧,CD是以点B为 圆 心、BC 长 为 半 径 的 弧 则 阴 影 部 分 的 面 积 为 cm(湖 南 衡 阳)如 图,O 的 半 径 为 cm,直 线 AB 是O 的切线,切点为 B,弦 BCAO,若A,则劣弧BC的长为 cm(第题)(第题)(湖北十堰)如图,在 RtABC 中,ACB,B,ABcm,以AC 为直径的半圆O 交AB 于点D,点E 是AB 的中点,CE 交半圆O 于点F,则图中阴影部分的面积为 cm第课时 与圆有关的计算【自主梳理】相等 相等 中心 轴 n 中心nR nR(或 lR)【当堂过关】A A A B A cm()连接 AD,AC 是O 的切线
14、,ABAC C,ABAC BCABAC AB 是O 的直径,ADB D 是BC 的中点 BD BC()连接OD,O 是AB 的中点,D 是BC 的中点,(第题)OD 是ABC 的中位线 OD ODAB BDAD BD与弦BD 组 成 的 弓 形 的 面 积 等 于AD 与 弦AD 组成的弓形的面积 S阴影 SABC SABD ABAC ABOD ()ADAC,ACDABC又 BACCAF,ACFABC ACABAFAC,即 ACABAF()连接OA、OC,过O 点作OEAC,垂足为E,如图所示:(第题)ABC,AOC又 OAOC,AOECOE 在 RtAOE 中,OAcm,OEOAcoscm AEOAOE cm ACAE cm则S阴影 S扇形OAC SAOC ()cm【课后精练】D C C A r()()连接OE CD 是O 的切线,OECD ADCD,ADOE DAEAEO OAOE,EAOAEO DAEEAO AE 平分DAC()AB 是O 的直径,(第题)AEB ABE,EAO DAEEAO AB,AE AB cos ,BE AB 在 RtADE 中,DAE,AE ,ADAEcos EAOAEO,AOEEAOAEO OAOB,SAOE SBOE SABE S阴影 S扇形AOE SAOE S扇形AOE SABE()A