1、第二章 方程(组)与不等式(组)第课时 一次方程(组)及其应用 记住等式的基本性质,会用其对方程进行适当的变形解一元一次方程懂得方程(组)有关的概念,能灵活运用代入和加减消元法解二元一次方程组能根据具体问题中的数量关系列出一次方程(组)解决实际问题等式的性质()等式的两边都加上(或减去)同一个 或同一个 ,所得结果仍是等式()等式的两 边 都 乘 以(或 除 以)同 一 个 (除 数 不能为 ),所得结果仍是等式一次方程的有关概念()有关概念方程:含有 的等式叫方程方程的解:能够使方程成立的 叫做方程的解解方程:求方程 的过程叫做解方程一元一次方程:只含有 个未知数,并且未知数的次数是 的 方
2、程叫做一元一次方程二元一次方程:含有 个未知数,并且未知数的次数是 的 方程叫做二元一次方程一次方程(组)的解法解一元一次 方 程 的 一 般 步 骤:去 分 母、去 括 号、系数化为二元 一 次 方 程 组 的 解 法:通 常 采 用 消 元 法 和 消元法考点 等式的性质的灵活运用例 (山东德州)已知 ab,ab,则ab等于()ABCD【解析】本题考查等式性质的灵活运用我们将这个二元一次方程组的两个方程作为两个等式,左右两边分别相加得(ab)(ab),整理得ab,两边都除以,得ab【全解】A【提醒】本题第一步运用了等式性质,第二步运用了等式性质此种方法是加减消元法的基础考点 一次方程(组)
3、的有关概念例 (广西桂林)二元一次方程组 xy,x的解是()Ax,yBx,yCx,yDx,y【解析】本题考查方程(组)解的概念将四个选项中的x,y的值分别代入原方程组中,看是否均成立,若均成立,则是其解,否则不是易知当x,y时,方程()左边右边,方程()左边右边所以原方程组的解是x,y【全解】D【提醒】本 题 也 可 以 通 过 直 接 求 解 方 程,选 出 答 案xy,()x,()由方程(),得x,将x代入方程(),得y,解得y,所以 x,y例(山 东 临 沂)关 于 x,y 的 方 程 组xym,xmyn的解是 x,y则|mn|的值是()ABCD【解析】本题考查方程(组)解的 概 念 和
4、 绝 对 值 的 计 算根据解的 定 义,将 x,y分 别 代 入 原 方 程 组 的 两 个 方 程 得m,mn解得 m,n所以|mn|【全解】D【小结】在含有未知数的方程(组)中,若已知方程的解,则将解代入方程后,就转化为关于未知数的方程(组),解所得方程(组)即可求得未知数的值考点 一次方程(组)的解法例 (湖南常德)解方程组 xy,xy【解析】本题考查二元一次方程组的解法通过观察,不难发现方程、中未知数y 的系数互为相反数,可以直接用加减消元法消 数与代数 去未知数y,先求出x,进而解出方程【全解】,得x,x将x代人,得y,y 方程组的解为 x,y【提醒】解方 程 组 的 思 想 就
5、是 消 元,需 要 一 定 的 观 察 和运算能力熟知解二元一次方程式组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键另外检验不是解一次方程(组)的必要步 骤,但 我 们 可 以 将 未 知 数 的 值,代 入 每 一 个 方 程 进 行 检验,以验证解法是否正确例 (江苏南京)解方程组 xy,xy【解析】本题考查二元一次方程式组的解法比例稍复杂些观察方程组可知,方程中未知数x 的系数为,所以我们很容易用y的代数式表示x,利用代入消元法解此方程;当然我们还可以将方程两边乘以,使其x 的系数和方程中的x 的系数相同,利用加减消元法求解【全解】解法一:由,得xy将代入,得(y)y解这个方程,得y将y代入
6、,得x所以原方程组的解是 x,y解法二:,得xy,得y解这个方程,得y将y代入,得x所以原方程组的解是 x,y【小结】解二元 一 次 方 程 组 的 常 用 方 法:()代 入 消 元法:解方程组的基本思路是“消元”把“二元”变为“一元”,主要步骤是,将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代人另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程,这种解方程组的方法称为代人消元法,简称代人法()加减消元法:通过方程两边分别相加(减)消去其中一个未知数,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法考点 一次方程(组)的应用例 (江苏无锡)某开发商进行
7、商铺促销,广告上写着如下条款:投资者购买商铺后,必须由开发商代为租赁年,年期满后由开发商以比原商铺标价高的价格进行回购,投资者可在以下两种购铺方案中做出选择:方案一:投资者按商铺标价一次性付清铺款,每年可以获得的租金为商铺标价的;方案二:投资 者 按 商 铺 标 价 的 八 五 折 一 次 性 付 清 铺 款,年后每年可以获得的租金为商铺标价 的,但 要 缴 纳 租金的作为管理费用()请问:投资者选择哪种购铺方案,年后所获得的投资收益率 更 高?为 什 么?(注:投 资 收 益 率 投资收益实际投资额)()对同一标价的商铺,甲选择了购铺方案一,乙选 择 了购铺方案二,那么年后两人获得的收益将相
8、差万元问:甲、乙两人各投资了多少万元?【解析】本题考查一元一次方程的应用以及列代数式等知识()利用方案的叙述,可以得到投资的收益,即可得到收益率,即可进行比较;()利 用()的 表 示,根 据 二 者 的 差 是 万 元,即 可 列 方 程求解【全解】()设商铺标价为x 万元,则按方案一购买,则可获投资收益:()xxx投资收益率为xx按方案二购买,则可获投资收益:()xx()x投资收益率为xx 投资者选择方案二所获得的投资收益率更高()由题意,得xx解得x(万元)甲投资了万元,乙投资了万元【提醒】本题 考 查 了 列 方 程 解 应 用 题,正 确 表 示 出 两 种方案的收益率是解题的关键例
9、 (江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家,有关数据显示,中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的 ,中、美两国人均淡水资源占有量之和为 m,问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位:m)?【解析】本题考查一次方程(组)的应用分别设出中、美两国人均淡水资源占有量,根据“中国人均淡水资源占有量美国人均淡水资源占有量的 ”和“中国人均淡水资源占有量美国人均淡水资源占有量”可列出二元一次方程组解答因为知道中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的 ,如果设中国人均淡水资源占有量为xm,则美国人均淡水资源占有量为xm,可根据“中国人均淡水资源占有量美国人均淡水资源占有量”列出
10、一元一次方程组解答【全解】解法一:设中国人均淡水资源占有量为xm,则美国人均淡水资源占有量为xm,根据题意,得xx,解得x,此时x故中国人均淡水资 源 占 有 量 为 m,美 国 人 均 淡 水资源占有量为m解法二:设中国人均淡水资源占有量为xm,则美国人均淡水资源占有量为ym,根据题意,得 x y,xy解得 x,xy故中国人均淡水资 源 占 有 量 为 m,美 国 人 均 淡 水资源占有量为m【提醒】列方 程 解 应 用 题 的 关 键 是 分 析 题 意,找 出 等 量关系,一般地,有 几 个 未 知 数,需 找 出 几 个 等 式对 于 有 些 问题,还要关注单位的变化,防止出错例 (江
11、西南昌)小明的妈妈在菜市场买回斤萝卜、斤排骨,准备做萝卜排骨汤妈妈:“今天买这两样菜共花了元,上月买同重量的这两样菜只要元”;爸爸:“报纸上说了萝卜的单价上涨,排骨单价上涨”;小明:“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?”请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位:元/斤)【解析】本题考查二元一次方程组的应用根据小明的爸爸和妈妈的对话找到等量关系列出方程组求解两个等式分别是上月斤萝卜钱斤排骨钱;今天斤萝卜钱斤排骨钱设法不同,可列出不同的方程组【全解】解法 一:(间 接 设)设 上 月 萝 卜 的 单 价 是 x 元/斤,排骨的单价y 元/斤,根据题意,得xy,()x
12、()y解得 x,y这天萝卜的单价是()x(),这天排骨的单价是()y(),故这天萝卜的单价是元/斤,排骨的单价是元/斤解法二:(直接设)设这天萝卜的单价是x 元/斤,排骨的单价是y 元/斤,根据题意,得xy,xy解得 x,y故这天萝卜的单价是元/斤,排骨的单价是元/斤【小结】列方程解应用题一般步骤是:审题,即弄清题意,分析已知数与已知数、以及问题中包含哪些等量关系;设元,即设未知数,有直接设和间接设两种;找出问题中相等关系,列出方程(组);解方程(组),找出未知数的值;检验并写出答案检验时,一是要将所求得的未知数的值代入原方程,检验方程的解是否正确;二是检查所求得的未知数的值是否符合题意(如所
13、求的人数是小数就不符合题意),根据题意要求进行取舍;写出答,要注意带单位(重庆)已知关于x 的方程xa的解是x,则a的值为()ABCD(山 东 菏 泽)已 知x,y是 二 元 一 次 方 程 组mxny,nxmy的解,则mn的算术平方根为()AB CD(山东滨州)李明同学早上骑自行车上学,中途因道路施工步行一段路,到学校共用时分钟他骑自行车的平均速度是米/分钟,步行的平均速度是米/分钟他家离学校的距离是 米如果他骑车和步行的时间分别为x,y 分钟,列出的方程是()Axy ,xyBxy,xyC xy ,xyDxy,xy(福建漳州)方程x的解是 (内蒙古赤峰)某中学的学生自己动手整修操场,如果让初
14、二学生单独 工 作,需 要 小 时 完 成;如 果 让 初 三 学 生单独工作,需要小时完成现在由初二、初三学生一起工作x 小时,完成了任务根据题意,可列方程为 (福建厦门)解方程组 xy,xy(广东肇庆)顺安旅行社组 织 人 到 怀 集 和 德 庆 旅游,到德庆的人数是到怀集的人数的倍少,到两地旅游的人数各是多少?(云南)某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共件已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的倍少件求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件?【基础达标】(浙江温州)楠 溪 江 某 景 点 门 票 价 格:成 人 票 每 张 元,儿童票每张元小明买张 门 票 共 花 了 元,
15、设其中有x 张成人票,y 张儿童票,根据题意,下列方程组正确的是()Axy,xyBxy,xyCxy,xyDxy,xy(湖北天门)某种商品的进价为 元,出售标价为 数与代数 元,后来由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于,则最多可打()A折B折C折D折(湖 南 郴 州)一 元 一 次 方 程 x 的 解 是 (湖南湘潭)湖南省年赴台旅游人数达万人我市某九年级一 学 生 家 长 准 备 中 考 后 全 家 人 去 台 湾 旅游,计划花费元设每人向旅行社缴纳x 元费用后,共剩元用于购物和品尝台湾美食根据题意,列出方程为 (江苏南通)甲种电影票每张 元,乙 种 电 影 票 每 张元若购
16、买甲、乙两种电影票共张,恰好用去元,则甲种电影票买了 张(广东广州)解方程组 xy,xy(湖南长沙)以“开放崛起,绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于年月日在湖南长沙圆满落幕,作为东道主的湖南省一 共 签 订 了 境 外 与 省 外 境 内 投 资 合 作项目共个,其中境外投资合作项目个数的倍比省内境外投资合作项目多个()求湖南省签订的境 外,省 外 境 内 的 投 资 合 作 项 目 分 别有多少个?()若境外、省内境外投 资 合 作 项 目 平 均 每 个 项 目 引 进 资金分别为亿元,亿元,求在这次“中博会”中,东道湖南省共引进资金多少亿元?(湖南永州)某公司计划年在甲、乙两个电视台
17、播放总时长为分钟的广告,已知甲、乙两电视台的广告收费标准分别为元/分钟和元/分钟该公司的广告总费用为万元,预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告能给该公司分别带来万元/分钟和万元/分钟的收益,问该公司在甲、乙两个电视台播放广告的时长应分别为多少分钟?预计甲、乙两电视台年为此公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的总收益?【综合拓展】(浙江杭州)已知关于x,y 的方程组 xya,xya,其中a,给出下列结论:x,y是方程组的解;当a时,x,y 的值互为相反数;当a时,方程组的解也是方程xya的解;若x,则y其中正确的是()ABCD(山东聊城)儿童节期间,文具商店搞促销活动,同时购买一个书包 和 一
18、 个 文 具 盒 可 以 打 折 优 惠,能 比 标 价省元已知书包标价比文具盒标价倍少元,那么书包和文具盒的标价各是多少元?(江 苏 宿 迁)学 校 组 织 学 生 乘 汽 车 去 自 然 保 护 区 野营,先以km/h的速度走平路,后又以km/h的速度爬坡,共用了 h;汽 车 以 km/h 的 速 度 下 坡,又 以km/h的速度 走 平 路,共 用 了 h,问 平 路 和 坡 路 各 有多远?第二章 方程(组)与不等式(组)第课时 一次方程(组)及其应用【自主梳理】()数 整式()数 ()未知数 未知数的值 解 一 一 整式 两 一 整式 移项 合并同类项 代人 加减【当堂过关】D C
19、D x ()x x,y假设到怀集的旅游人数为x,则到德庆旅游的人数为(x),根据题意,得x(x),解得x,则到德庆旅游的人数为x,故到怀集和德庆旅游的人数各是,设该企业向甲学校捐了x 件矿泉水,向乙学校捐了y 件矿泉水,由题意,得 xy,xy解得 x,y故设该企业向甲学校捐了 件矿泉水,向乙学校捐了件矿泉水【课后精练】B B xx x,y()设境外投资合作项目个数为x 个,根据题意,得x(x),解得x,故省外境内投资合作项目为个故境外投资合作项目为个,省外境内投资合作项目为个()境外、省外境内投资合作 项 目 平 均 每 个 项目引进资金分别为亿元,亿元,湖 南 省 共 引 进 资 金:亿元故东道湖南省共引进资金亿元设公司在甲电视台和乙电视台做广告 的 时 间 分 别为x 分钟和y 分钟,由题意,得 xy,xy解得 x,y即该公司在甲电视台做分钟广告,在乙电视台做分钟广告此时公司收益为万元故该公司在甲电视台做分钟广告,在乙电视台做分钟广告,甲、乙两电视台年为此公司所播放的广告将给该公司带来万元的总收益C设书包和文具盒的标价分别为x 元和y 元,根据题意,得(xy)(),xy解得 x,y故书包和文具盒的标价分别为元和元设平路有x 千米,坡路有y 千米,由题意,得xy,xy解得 x,y故平路和坡路各有千米、千米