1、 热点题型探究 第课时 数学思想方法 数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识;数学方法是解决数学问题的策略和程序,是数学思想的具体反映对于学习者来说,运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程,当这种积累达到一定程度就会产生飞跃,从而上升为数学思想,一旦数学思想形成之后,便对数学方法起着指导作用因此,人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念数学思想方法在初中数学教学中渗透如下几种主要的数学思想 方 法:()分类讨论的思想方法;()数形结合的思想方法;()转化化归的思想方法;()方程与函数的思想方法;()类比的思想方法等类型一 分类讨论的思想方法典例()(黑龙江绥化)等腰三角形
2、的两边长是和,它的周长是 ;()(四 川 广 安)已 知 在 等 腰 ABC 中,ADBC 于点D,且 AD BC,则ABC 底角的度数为()ABC或D【解析】()由于题中没有指明哪边是底哪边是腰,应该分两种情况进行分析:当为腰时,符合三角形成立条件,此时三角形的周长;当为腰时,符合三角形成立条件此时三角形的周长()首先根据题意画出图形,注意分别从BAC 是顶角与BAC是底角去分析,然后利用等腰三角形与直角三角形的性质,即可求得答案如图(),ABAC,()()ADBC,BDCD BC,ADB AD BC,ADBD B,即此时ABC 底角的度数为如图(),ACBC,ADBC,ADC AD BC,
3、AD AC C CABB(A),即此时ABC 底角的度数为综上,ABC 底角的度数为或【全解】()或()C【小结】分类讨论是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点,然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法分类讨论能克服思维的片面性,防止漏解本题考查的是等腰三角形的边、角关系,解答时常需分类讨论,注意不要漏解典例(甘 肃 兰 州)如 图,AB 是O 的直径,弦 BCcm,F 是弦BC 的中点,ABC若动点 E以cm/s的 速 度 从 点 A 出 发 沿 着 ABA 方向运动,设运动时间为t(s)(t),连接EF,当BEF 是直角三角形时,t(s)的值为()ABC 或D 或或【解析】
4、若BEF 是直角三角 形,则 有 两 种 情 况:BFE,BEF;在上述两种情况所得到的直角三角形中,已知了边BC 和B 的度数,即可求得BE 的长;AB 的长易求得,由 AEABBE,即 可 求 出 AE 的 长,也 就 能 得 出 点 E 运 动 的 距 离(有 两 种 情况),根据时间路程速度即可求得t的值 AB 是O 的直径,ACB在 RtABC 中,BC,ABC,ABBCcm当BFE时,在 RtBEF 中,ABC,则BEBFcm故此时 AEABBEcm 点E 运动的距离为:cm或cm,故ts或s由于t,故ts不合题意,舍去所以当BFE时,ts;当BEF时;同可求得BEcm,此时 AE
5、ABBEcm 点E 运动的距离为:cm或cm,故ts或s;综上所述,当t的值 为、或 s时,BEF 是 直 角 三 角形【全解】D【提醒】在圆 的 有 关 问 题 中,往 往 因 为 图 形 位 置 关 系 的不确定性,往往需要分类讨论这是同学们在解圆的有关问题时,容易漏解的主要原因,应引起重视类型二 数形结合的思想方法典例(山东聊城)在如图所示的数轴上,点 B 与点C 关于点A 对称,A、B 两点对应的实数分别是 和,则点C 所对应的实数是()A B C D【解析】题图蕴含的数量关系有 ABAC,根据 OCOAAC即可求出点C 所对应的实数具体过程是:因为点 B 与点C 关于点A对称,所以
6、ACAB()又 OCOAAC(),所以点C 所对应的实数是【全解】D【提醒】本题以数轴为载体,实现了数与形的有机结合典例(安徽)在由 mn(mn)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f()当 m,n互质(m,n除外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:mnmnf 猜想:当 m,n 互质时,在 mn 的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m,n的关系式是(不需要证明);()当 m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立【解析】()通过观察即可得出当 m,n互质时,在 mn 的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m,n的关系式
7、()当 m,n不互质时,画出图即可验证猜想的关系式不成立【全解】()表格中分别填,f 与m,n的关系式是:fmn()m,n 不互质时,猜想的关系式不一定成立,如下图:【小结】数形结合的思想方法是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略本题通过解读图形语言,发现数量关系,从而促使问题顺利解决,实现数与形的完美结合类型三 转化化归的思想方法典例(贵州遵义)如 图,半 径 为 cm,圆 心 角 为的扇形OAB 中,分别以 OA、OB 为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为()AcmBcmC cmD cm【解析】过点C 作CDOB,CEOA,则AOB 是等腰直角三角形,由AC
8、O,可知AOC 是等腰直角三角形,由 HL 定理可知 RtOCERtACE,故可得出S扇形OEC S扇形AEC,OC与弦OC 围成的弓形的面积等于AC 与弦AC 所围成的弓形面积,S阴影 SAOB即可得出结论具体过程如下:过点C 作CDOB,CEOA,OBOD,AOB,AOB 是等腰直角三角形 OA 是直径,ACO AOC 是等腰直角三角形 CEOA,OEAEOCAC在 RtOCE 与 RtACE 中,OCAC,OEAE,RtOCERtACE S扇形OECS扇形AEC,OC与弦OC 围成的弓形的面积等于AC与弦AC 所围成的弓形面积同理可得,OC与弦OC 围成的弓形的面积等于BC与弦BC 所围
9、成的弓形面积,S阴影 SAOB cm【全解】C【小结】所谓“化归”就是将要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题本题阴影部分是不规则图形,解题目标是将其特殊化,转化为规则的特殊图形,即 S阴影SAOB 典例(江苏扬州)如图,在四边形 ABCD 中,ABBC,ABC CDA,BEAD,垂 足 为 E求 证:BEDE 热点题型探究 【解析】作CFBE,垂足为F,得出矩形CFED,求出CBFA,根据 AAS证BAECBF,推出BECF 即可【全解】作CFBE,垂足为F,BEAD,AEB FED D CFE,CBE ABE,BAEABE BAECBF 四边形EFCD 为矩形 DECF在 B
10、AE 和 CBF 中,有 CBE BAE,BFCBEA,ABBC,BAECBF BECFDE,即BEDE【小结】转化 就 是 在 研 究 和 解 决 有 关 数 学 问 题 时,采 用某种方法将问题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题本题通过作辅助线 CF,使得 BAECBF,从而得到BECF,DECF,使问题获解典例(江苏扬州)已知ab,则ab 的值是 【解析】先将ab 进行变形,然后将ab整体代入即可得出答案ab(ab),又 ab,ab(ab)【全解】【提醒】本题 体
11、 现 了 部 分 向 整 体 转 化就 是 考 虑 问 题 时不是着眼于它的局部特征,而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻的观察,从宏观上、整体上认识问题的实质,把一些彼此独立,但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理类型四 方程与函数的思想方法典例(湖 北 黄 冈)如 图,AB 为 O 的 直 径,弦CDAB 于 点 E,已 知 CD,BE,则 O 的 直 径 为()ABCD【解析】连接 OC,可知,点 E 为CD 的 中 点,在 RtOEC 中,OEOBBEOCBE,根据勾股定理,即可得出 OC,即可得出直径解答如下:连接OC,根据题意和垂径定理,CE CD,BE在
12、 RtOEC 中,设OCx,则OEx,由勾股定理,得(x)x解得x即直径 AB【全解】D【小结】运用 方 程 思 想 解 决 问 题,要 分 析 问 题 中 的 数 量关系,寻找未知元素与已知元素之间的联系,从而建立相应的方程或方程组,最后通过解方程或方程组,使问题得到解决解答本题的关键是根据勾股定理建立方程典例(山东济宁)问题情境:用同样大 小 的 黑 色 棋 子 按 如 图 所 示 的 规 律 摆 放,则 第个图共有多少枚棋子?建立模型:有些规律问题可以借助函数思想来探讨,具体步骤:第一步,确定变量;第 二 步:在 直 角 坐 标 系 中 画 出 函 数 图 象;第 三步:根据函数图象猜想
13、并求出函数关系式;第四步:把另外的某一点代入验证,若成立,则用这个关系式去求解解决问题:根据以上步骤,请你解答“问题情境”【解析】画出相关图形后可得这些点在一条直线上,设出直线解析式,把任意两点代入可得直线解析式,进而把x代入可得相应的棋子数目【全解】以图形的序号为横坐标,棋子的枚数为纵坐标,描点:(,),(,),(,),(,),依次连接以上各点,所有各点在一条直线上,设直线解析式为ykxb,把(,),(,)两点的坐标代入,得kb,kb解得 k,b所以yx验证:当x时,y所以,另外一点也在这条直线上当x时,y即第个图有枚棋子【小结】用运动、变化的观点,分析研究具体问题中的数量关系,通过函数形式
14、把这种数量关系进行刻划并加以研究,从而使问题获得解决,称为函数思想方法类型五 类比的思想方法典例(山东烟台)()问题探究如图(),分 别 以 ABC 的 边 AC 与 边 BC 为 边,向ABC 外作正方形ACDE 和正方形 BCDE,过点 C 作直线KH 交直线AB 于点 H,使 AHK ACD,作 DMKH,DNKH,垂足分别为 M、N试探究线段 DM 与线段DN 的数量关系,并加以证明()()()()拓展延伸如图(),若将“问题 探 究”中 的 正 方 形 改 为 正 三 角 形,过点C 作直线KH、KH,分别交直线 AB 于点 H、H,使AHK BHK ACD作 DM KH,DN KH
15、,垂足分别为 M、NDMDN 是否仍成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由如图(),若将 中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不 变DMDN 是 否 仍 成 立?(要 求:在 图()中 补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明)【解析】()根据正方形的每一个角都是可以证明AHK,然 后 利 用 平 角 等 于 以 及 直 角 三 角 形 的 两 锐 角 互 余 证 明DCKHAC,再利用“角角边”证明ACH 和CDM 全等,根据全等三角形对应边相等可得 DMCH,同理可证 DNCH,从而得证;()过点 C 作CGAB,垂足为 G,根据三角形的内角 和 等 于和平角等 于 证 明
16、得 到 HAC DCM,然 后 利 用“角 角边”证明ACG 和CDM 全等,根据全等三角形对应边相等可得CGDM,同理可证CGDN,从而得证;结论仍然成立,与的证明方法相同【全解】()DMDN ACD,ACHDCK AHKACD,ACHHAC DCKHAC在ACH 和CDM 中,DCKHAC,AHCCDM,ACCD,ACHCDM(AAS)DMCH同理可证 DNCH DMDN()DMDN 成立过点C 作CGAB,垂足为G,HACACHAHC,DCMACHACD,AHCACD,HACDCM在ACG 和CDM 中,HACDCM,AGCCMD,ACCD,ACGCDM(AAS)CGDM同理可证CGDN
17、 DMDN作图正确即可DMDN 还成立【提醒】本题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质,等 边 三角形的性质,正方形的性质,正多边形的性质,读懂题意,证明得到DCKHAC(或HACDCM)是证明三角形全等的关键,也是解决本题的难点与突破口(湖北 荆 门)如 图,已 知 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 长 为,将正方形 ABCD 沿直线EF 折叠,则图中阴影部分的周长为()A B CD(第题)(第题)热点题型探究 (湖北天门)如图,直径 AB 为的半圆,绕点 A 逆时针旋转,此时点B 到了点B,则图中阴影部分的面积是()ABCD(江苏盐城)已知ab,则代数式 ab的值是
18、()ABCD(云 南)若 a b ,ab ,则 ab 的 值 为()A BCD(湖北荆门)若xy与|xy|互为相反数,则xy 的值为()ABCD(山东潍坊)如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的个数(如,)若圈出的个数中,最大数与最小数的积为,则这个数的和为()(第题)ABCD(山东菏泽)已知线段ABcm,在直线AB 上画线段BC,使它等于cm,则线段 AC cm(湖北随州)若等腰三角形的周长为,其一边长为,则另两边分别为 (山东潍坊)图中每一个小方格的面积为,则可根据面积计算 得 到 如 下 算 式:(n)(用含n的式子表示,n是正数)(第题)(湖南岳阳)()操作发现
19、:如图(),D 是等边ABC边BA 上一动点(点 D 与 点B 不 重 合),连 接 DC,以 DC为边在BC 上方 作 等 边 DCF,连 接 AF你 能 发 现 线 段AF 与BD 之间的数量关系吗?并证明你发现的结论;()类比猜想:如 图(),当 动 点 D 运 动 至 等 边 ABC 边BA 的延长线上 时,其 他 作 法 与()相 同,猜 想 AF 与BD 在()中的结论是否仍然成立?()深入探究:如图(),当动点 D 在等边 ABC 边BA 上运动时(点 D 与点B 不重合)连接 DC,以 DC 为边在BC上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF,连接AF、BF,探究 AF、BF与
20、AB 有何数量关系?并证明你探究的结论;如图(),当动点 D 在等边 ABC 边BA 的延长线上运动时,其他作法与图()相同,中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论()()()()(第题)【基础达标】(湖北 潜 江)平 面 直 角 坐 标 系 中,M 的 圆 心 坐 标 为(,),半径为,点 N 在x 轴的正半轴上,如果以点 N 为圆心,半径为 的 N 与 M 相 切,则 圆 心 N 的 坐 标 为 (第题)(湖北武汉)在面积为的平行四边形 ABCD 中,过点 A 作AE 垂直于直线BC 于点E,作 AF 垂直于直线CD于点F,若 AB,BC,则CECF 的值为()A
21、B C 或 D 或(黑龙江大庆)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则下列各式正确的是()AabBabC|a|b|D|a|b|(第题)(第题)(湖南常德)实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列各式正确的是()AabBabC|a|bDab(四 川 内 江)如 图,AB 是 O 的 直 径,弦 CDAB,CDB,CD ,则 阴 影 部 分 图 形 的 面 积 为()(第题)ABCD(江西南昌)已知(mn),(mn),则 mn等于()ABCD【综合拓展】(黑龙江绥化)若a,b是方程xx的两个不相等的实数根,则aab的值为 (湖北随州)设aa,bb,且 ab,则 abbaa()(湖 北 襄 阳)为
22、 响 应 市 委 市 政 府 提 出 的 建 设“绿 色 襄阳”的号召,我市 某 单 位 准 备 将 院 内 一 块 长 m,宽 m的长方形空地,建 成 一 个 矩 形 花 园,要 求 在 花 园 中 修 两 条纵向平行和一 条 横 向 弯 折 的 小 道,剩 余 的 地 方 种 植 花 草如图所示,要使种植花草的面积为m,那 么 小 道 进 出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)(第题)(湖北天门)张勤同学的父母 在 外 打 工,家 中 只 有 年迈多病的奶奶星期天早上,李老师从家中出发步行前往张勤家家访分钟后,张勤从家出发骑车到相距米的药店给奶奶买
23、药,停留分钟后以相同的速度按原路返回,结果与李老师同时到家张勤家、李老师家、药店都在东西方向笔 直 大 路 上,且 药 店 在 张 勤 家 与 李 老 师 家 之间在此过程中设李老师出发t(t)分钟后师生两人离张勤家的距离分别为S、SS 与t之间的函数关系如图所示,请你解答下列问题:(第题)()李老师步行的速度为 ;()求S 与t之间的函数关系式,并在如图所示的直角坐标系中画出其函数图象;()张勤出发多长时间后在途中与李老师相遇?第课时 数学思想方法【当堂过关】C B A B D D或 和或和 n()AFBD证明如下:ABC 是等边三角形(已知),BCAC,BCA(等边三角形的性质)同理知,D
24、CCF,DCF BCA DCA DCF DCA,即BCDACF在BCD 和ACF 中,BCAC,BCDACF,DCFC,BCDACF(SAS)BDAF(全等三角形的对应边相等)()证明过程同(),证得BCDACF(SAS),则 AFBD(全等三角形的对应边相等),所以当动点 D 运 动 至 等 边 ABC 边BA 的 延 长线上时,其他作法与()相同,AFBD 仍然成立;()AFBFAB证明如 下:由()知,BCD ACF(SAS),则BDAF同理BCFACD(SAS),则BFAD,AFBFBDADAB 中 的 结 论 不 成 立新 的 结 论 是 AFABBF证明如下:在BCF和ACD 中,BCAC,BCFACD,FCDC,BCFACD(SAS)BFAD(全等三角形的对应边相等)又 由()知,AFBD,AFBDABADABBF,即 AFABBF【课后精练】(,)或(,)D D A DC 使种植花草的部分面积可以转化为图中空白部分(第题)设小道进出口的宽度为x 米,依题意,得(x)(x)整理,得xx解得x,x(不合题意,舍去),x即小道进出口的宽度应为米()李老师步行的速度为米/分()根据题意,得当t时,S,当t时,St,当t时,S,当t时,St,()St,由SS,得tt,解得t可得t(分)即张勤出发分钟后在途中与李老师相遇