1、1分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的函数，如函数f(x) 就是一个简单的分段函数. 在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的解析式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的值域的并集2奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反3抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以常见函数为背景，通过代数表述给出函数性质4奇偶性与
2、单调性的综合是重点问题例如：设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若x10且x1x20，则()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)大小不确定基础梳理4解析：x2x10，f(x)是R上的偶函数，f(x1)f(x1)又f(x)在(0，)上是减函数，f(x2)f(x2)f(x1)答案：A1有同学认为分段函数f(x) 是两个函数，这种看法正确吗？1解析： 这种看法不正确. 尽管看起来分段函数由多个解析式构成，但它实际上是一个函数，不是多个函数，它的图象是唯一确定的，但图象由多段组成的处理分段函数的有关问题时，必须根据不同的区间来选择相对
3、应的函数解析式，这是解答分段函数问题的要点 2设函数f(x)在区间上是增函数，在区间上也是增函数，能说函数f(x)在区间上是增函数吗？2解析：若函数f(x)在区间(a，c)上的图象是连续不断的一条曲线，则函数f(x)在区间上是增函数否则，可能出现如图情况，此时，函数f(x)在区间上不是增函数3我们知道，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数若函数f(x)的图象既关于原点对称，又关于y轴对称，这样的函数存在并且唯一吗？3解析：这样的函数是存在的，如函数f(x)0.但并不唯
4、一，如函数f(x)0(1x1)，函数f(x)0(2x2)等， 这样的函数在每个点处的函数值都是0，但定义域可以是关于原点对称的任意一个数集 1已知f(x)若f(x)3，则x的值是()A1B1或C1，或 D2设函数f(x)对任意x、y满足：f(xy)f(x)f(y)，且f(2)4，则f(1)的值为()A2BC1D23f(x)是奇函数，当1x4时，f(x)x24x5，那么当4x1时，f(x)的最大值是()A5 B5 C2 D1自测自评1解析：f(x)由x23得x1；由x23得x(1x2)；由2x3得x与x2矛盾不符合题意故选B.答案：B2A3解析：当4x1时，1x4，f(x)x24x5.又f(x)
5、是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x24x5，f(x)maxf(2)1.故选D.答案：D基础达标1如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在0，)上是减函数，那么下述式子中正确的是()Aff(a2a1)Bff(a2a1)Cff(a2a1)D以上关系均不确定1B2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为()A1 B0 C1 D22解析：f(x)为R上奇函数，f(0)0.f(x2)f(x)，f(6)f(42)f(4)f(22)f(2)f(0)0.答案：B3已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f的值是()A
6、0 B. C1 D. 3解析：若x0，则有f(x1)f(x)，取x，则有fffff.f0.故选A.答案：A4有下列三个函数：y3x；y；yx22x10.其中值域为R的函数有 ()A0个 B1个C2个 D3个4B5奇函数f(x)在区间3，7上是增函数，在区间3，6上的最大值为8，最小值为1，则2f(6)f(3)_5解析：由题意知f(3)1，f(6)8，又f(x)为奇函数，2f(6)f(3)2f (6)f(3)15.答案：15巩固提高6(2014浙江卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3 B3c6C6c9 Dc96解析：由f(1)f(2)f(3)得，解得
7、所以f(x)x36x211xc.由0f(1)3，得01611c3，即6c9，故选C.答案：C7在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A15，20 B12，25 C10，30 D20，30 7C8(2014深圳高三检测)已知函数f(x)则f(2015)f(2015)_.809某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式近似满足P 商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式近似满足Qt40(1t30，tN)求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天9解
8、析：设日销售金额为y元，则yPQ，所以y 即y 当1t24时，t10，ymax900；当25t30时，t25，ymax1 125.所以，该商品日销售金额的最大值为1 125元，且近30天中第25天销售金额最大10已知函数yf(x)是R上的偶函数且在(，0上为增函数(1)试比较f与f(1)的大小；(2)试判断yf(x)在(0，)上的单调性10解析：(1)f(x)是偶函数，f(1)f(1)又f(x)在(，0上为增函数且1，f(1)f，即f(1)x20，则x1x20，f(x)在(，0上为增函数，f(x1)f(x2)又f(x)是偶函数，f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是减函数1函数是数学的核心内容，构造函数是应用函数知识的关键，大多数函数均可找到函数表达式2函数的定义域是函数的第一要素，一般研究任何函数从研究定义域开始，最终结果也要符合定义域的要求，实际问题中定义域要根据实际情况确定3大多数函数均要考察函数的单调性，非常规函数的单调性需要利用定义证明4函数的图象是获取函数性质的捷径，一般做函数题在可能的情况下尽量画出函数图象