1、模块素养评价(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020焦作高一检测)集合A=,B=,则AB= ()A. B.C.R D.(-3,-2)(0,1)【解析】选D.解x2+2x0,得x0或x-2;解x2+2x-30,得-3xb0,cd0,则一定有 ()A.B.D.0,则0.因为ab,cd0,则acbc,bcbd,则有acbd,所以acbd,即.3.已知正实数a,b满足4a+b=30,当+取最小值时,实数对(a,b)是()A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)【解析】选A.+=30=
2、(4a+b)=5+2 =.当且仅当即时取等号.4.(2020天津高一检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=30,b=,c=2,则角A为()A.15B.45C.15或105D.45或135【解析】选C.在ABC中,B=30,b=,c=2,由正弦定理得=,即=,所以sin C=,因为cb,所以CB,又C(0,),所以C=45或135,故A=105或15.5.张邱建算经是中国古代数学史上的杰作,该书中有首古民谣记载了一数列问题:“南山一棵竹,竹尾风割断,剩下三十节,一节一个圈,头节高五寸,头圈一尺三.逐节多三分,逐圈少分三.一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是多远?”(注
3、释:第一节的高度为0.5尺;第一圈的周长为1.3尺;每节比其下面的一节多0.03尺;每圈周长比其下面的一圈少0.013尺).问:此民谣提出的问题的答案是()A.72.705尺B.61.395尺C.61.905尺D.73.995尺【解析】选B.因为每竹节间的长相差0.03尺,设从地面往上,每节竹长为a1,a2,a3,a30,所以an是以a1=0.5为首项,以d=0.03为公差的等差数列,由题意知竹节圈长,后一圈比前一圈细0.013尺,设从地面往上,每节节圈长为b1,b2,b3,b30,由bn是以b1=1.3为首项,d=-0.013为公差的等差数列,所以一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是:
4、S30=+301.3+(-0.013)=61.395.6.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,sin A=,且bc,则B=()A. B. C.D.【解析】选A.在ABC中,因为a=2,c=2,sin A=,ac,可得A=,cos A=,所以sin C=,可得cos C=,即C=或,因为b0,T=+,则() A.T0B.T0C.T=0D.T0【解析】选B.取特殊值,a=2,b=c=-1,则T=-9),则项数n为()A.10B.14C.17D.15【解析】选D.由等差数列的性质可得S9=18,解得a5=2,故a5+an-4=32,而Sn=16n=240,解得n=15.
5、10.(2020青岛高一检测)已知函数f(x)=x2+mx+4,若f(x)0对任意实数x(0,4)恒成立,则实数m的取值范围是()A.-4,+) B.(-4,+)C.(-,-4D.(-,-4)【解析】选B.由题意得函数x2+mx+40对任意实数x(0,4)恒成立,所以m-对任意实数x(0,4)恒成立.因为-2=-4(当且仅当x=2时取等号),所以m-4.11.用砖砌墙,第一层(底层)用了全部砖块的一半多一块,第二层用了剩下的一半多一块,以此类推,每一层都用了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好把砖用光,那么,共用的砖块数为()A.1 022B.1 024C.1 026D.1 028【解析】
6、选A.设从上层到底层砖块分别为a1,a2,a9,则an=Sn+1,那么an-1=Sn-1+1,(n2),那么a1=2,an-an-1=an,即an=2an-1,因此,每层砖块数构成以2为首项,以2为公比的等比数列,所以S9=210-2=1 022.12.已知an是首项为32的等比数列,Sn是其前n项和,且=,则数列|log2an|前10项和为()A.29B.58C.116D.232【解析】选B.设公比为q,因为an是首项为32的等比数列,Sn是其前n项和,且=,所以=,所以1+q3=,所以q=,所以an=32=27-2n,所以|log2an|=|7-2n|,所以数列|log2an|前10项和为
7、5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.数列an中,若an=则其前6项和为.【解析】由an=可得其前6项和为(a1+a3+a5)+(a2+a4+a6)=(1+5+9)+(4+16+64)=15+84=99.答案:9914.(2020全国卷)若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为.【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数z=x+7y,即:y=-x+z,其中z取得最大值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程:,可得点
8、A的坐标为:A,据此可知目标函数的最大值为:zmax=1+70=1.答案:115.(2020阜阳高一检测)等差数列,的前n项和分别为Sn,Tn且=,则=.【解析】因为等差数列,的前n项和分别为Sn,Tn,所以由等差数列的性质可得=,又=,所以=.答案:16.(2020柳州高一检测)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin A=acos B,b=2,ABC的面积为,则ABC的周长为.【解析】因为bsin A=acos B,由正弦定理可得sin Bsin A=sin Acos B,因为sin A0,所以sin B=cos B,即tan B=,所以B=30,则ABC的面积S=a
9、csin 30=,故ac=4.由余弦定理可得cos B=,解得a+c=2+2,所以ABC的周长为a+b+c=4+2.答案:4+2三、解答题(共70分)17.(10分)(2020无锡高一检测)已知数列满足:an+1=2an-n+1,a1=3.设数列满足bn=an-n.(1)求证:数列是等比数列;(2)求出数列的通项公式和前n项和公式Sn.【解析】(1)bn+1=an+1-(n+1)=2an-n+1-(n+1)=2(an-n)=2bn,又b1=a1-1=3-1=2,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得bn=2n,所以an=2n+n,所以Sn=(21+1)+(22+2)+(2n
10、+n)=(21+22+2n)+(1+2+3+n)=+=2n+1-2+.18.(12分)(2020新高考全国卷)在ac=,csin A=3,c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】方案一:选条件.由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c.由ac=,解得a=,b=c=1.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条
11、件.由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c,B=C=,A=.由csin A=3,所以c=b=2,a=6.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=2.方案三:选条件.由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c.由c=b与b=c矛盾.因此,选条件时问题中的三角形不存在.19.(12分)(2020淮北高一检测)在ABC中,BAC=,D是BC上一点,ADAC且AD=1.(1)若AB=,求BC;(2)求+.【解析】(1)BAD=BAC-DAC=-=,在ABD中,由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2ABA
12、DcosBAD=3+1-21=1,所以ABD为等腰三角形,所以B=BAD=,所以C=-B=,所以DC=2,故BC=BD+CD=3.(2)方法一:设C=,在ACD中,tan =,又B=-,ADB=+,在ABD中由正弦定理知=,即=,所以=,故+=+=.方法二:由SACD+SABD=SABC,得ACADsinCAD+ABADsinBAD=ABACsinBAC,两边同时除以ABACAD,得+=,即+=,即+=.20.(12分)已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16.(1)求不等式g(x)2,均有f(x)(m+2)x-m-15恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)g(x)=
13、2x2-4x-160,所以(2x+4)(x-4)0,所以-2x4,所以不等式g(x)0的解集为x|-2x2时,f(x)(m+2)x-m-15恒成立,所以x2-2x-8(m+2)x-m-15,则x2-4x+7m(x-1).所以对一切x2,均有不等式m成立.又=(x-1)+-22-2=2(当x=3时等号成立).所以实数m的取值范围是(-,2.21.(12分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表:产品A/件产品B/件研制成本与搭载费用之和/(万元/件)2030计划最大资
14、金额300万元产品重量/(千克/件)105最大搭载重量110千克预计收益/(万元/件)8060试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?【解析】设搭载产品A x件,产品B y件,预计总收益z=80x+60y.则作出可行域,如图.作出直线l0:4x+3y=0并平移,由图像得,当直线经过M点时z能取得最大值,由解得即M(9,4).所以zmax=809+604=960(万元).即搭载产品A 9件,产品B 4件,可使得总预计收益最大,为960万元.22.(12分)等差数列an的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30,数列bn满足b1+2b2+nbn=an.(1)求an;(2)设cn=bn,求数列cn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,因为a2=4,S5=30,所以解得a1=d=2.所以an=2+2(n-1)=2n.(2)因为b1+2b2+nbn=an,所以当n=1时,b1=a1=2;当n2时,b1+2b2+(n-1)=,所以nbn=an-=2,解得bn=.所以cn=bn=4.所以数列cn的前n项和Tn=4=4=.
