1、2022年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学试卷题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知复数z满足|z1i|=1，则|z+1+i|的最大值是()A. 221B. 22+1C. 2D. 222. 下列说法正确的是()A. 零向量没有方向B. 若ab=ac，(a0)，则b=cC. 长度相等的向量叫做相等向量D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同3. 高二某班参加了“中国神舟十三号载人飞船航空知识答题”竞赛，10位评委的打分如下：5，6，6，7，7，8，9，9，10，10，则()A. 该组数据第6
2、0百分位数为8B. 该组数据第60百分位数为8.5C. 该组数据中位数为7和8D. 该组数据中位数为84. 若直线l:cos2xsin2y+1=0，(01，则b+2c的最小值是()A. 6B. 322C. 3+22D. 10二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9. 下列描述正确的是()A. 若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A与B是对立事件B. 若P(AB)=19，P(A)=23，P(B)=13，则事件A与B相互独立C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件D. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随
3、机地取出两球第二次取到红球的概率是2510. 已知O是边长为3正三角形ABC的外心，沿OB将该三角形折成直二面角AOBC，则下列说法正确的是()A. 直线AC垂直直线OBB. 直线AC与平面BOC所成角的大小为4C. 平面AOC与平面BOC的夹角的余弦值是55D. O到平面ABC的距离是3311. 某中学高二学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为171cm，方差为29cm2;女生身高样本均值为161cm，所有样本的方差为49cm2，下列说法中正确的是()A. 男生样本容量为30B. 每个
4、男生被抽入到样本的概率均为35C. 所有样本的均值为167cm2D. 女生身高的样本方差为19cm212. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为SA，SB，SC，且SAOA+SBOB+SCOC=0.设O是锐角ABC内的一点，BAC，ABC，ACB分别是的ABC三个内角，以下命题正确的有()A. 若OA+2OB+3OC=0，则SA:SB:SC=1:2:3B. 若|OA|=|OB|=2，AOB=56，2OA+3OB+
5、4OC=0，则SABC=92C. 若O为ABC的内心，3OA+4OB+5OC=0，则C=2D. 若O为ABC的垂心，3OA+4OB+5OC=0，则cosAOB=66三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 在ABC中，D是BC边上的点且AC+2AB=3AD，若BC=DC则=14. 写出与圆x2+y2=1和(x4)2+(y3)2=16都相切的一条直线的方程15. 已知ABC的顶点A(1,3)，ACB的平分线所在的直线方程为3x+3y23=0，边AC的高所在的直线方程为3x3y=0，则直线BC的方程为16. 在四棱锥PABCD中，APB=BPC=CPD=DPA=3，APC=BPD，PB=PD，
6、PA=26;(1)若PA=PB=PC，P点到面ABCD的距离是(2)若该四棱锥内存在半径为2的球，PC的最小值是四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题10分)已知圆的方程x2+y2=4;(1)求3x+4y12的范围;(2)已知A(2,2)，B(2,6)，C(4,2)，P为圆上的动点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值18. (本小题12分)新高考实行“3+1+2”模式，其中“3”为语文、数学，外语这3门必选科目，“1”由考生在物理、历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知武汉
7、大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门。(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率;(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率19. (本小题12分)已知三棱柱ABCA1B1C1，侧面AA1C1C是边长为2的菱形，CAA1=3，侧面四边形ABB1A1是矩形，且平面AA1C1C平面ABB1A1，点D是棱A1B1的中点(1)在棱AC上是否存在一点E，使得AD/平面B1C1E，并说明理由;(2)当三棱锥BA1DC1的体积为3时，求平面
8、A1C1D与平面CC1D夹角的余弦值20. (本小题12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+sin2Acos2A1+sin2A+cos2A=tanB，BC的中线长为4(1)证明：A=B;(2)求ABC的面积最大值21. (本小题12分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且菱形ABCD的面积为4，PD，BE都与平面ABCD垂直，BE=1，PD=2(1)求三棱锥EABC与四棱锥PABCD公共部分的体积大小;(2)若二面角DAPB大小为2，求DE与平面PAD所成角的正弦值22. (本小题12分)在ABC中，已知A(1,0)，B(2,0)，且2sinB=sinA.(1
9、)求顶点C的轨迹E的方程;(2)曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线y=22上一点，连TP，TQ分别与E交于M，N两点(异于P，Q两点)，试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数的模、复数的模长|z|及几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【解答】解：|z1i|=1表示圆心在O1,1，半径为1的圆，|z+1+i|表示圆O上的点到点Z0(1,1)的距离故最大值就是点Z0到1,1的距离加上圆O半径长，即22+1故答案为22+12.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量的概念、向量的数量积运算，属基础题【解答】解：零向量的方向
10、是任意的，而不是没有方向，故A不正确；b、c可以是相反向量且都垂直a，故B不正确；长度相等的向量方向不一定同向，故C不正确；故选D3.【答案】B【解析】【分析】本题考查百分位数，中位数的定义，属于基础题【解答】1060=6，第60百分位数为第6个数和第7个数的平均数，为8+92=8.5，故B正确；中位数为7+82=7.5，故CD错误4.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角，属于基础题【解答】解：当=0时，原式可以写为x+1=0，此时倾斜角为2；当(0,)时，原式可以写为y=1tan2x+1sin2，此时倾斜角为22，当=0时满足上式；综上可知，直线的倾斜角为225.【答案】C【解析】
11、【分析】本题主要考查空间向量的线性运算与表示，结合向量三角形法则进行转化求解是解决本题的关键，是中档题【解答】解：E、F分别是OA、BC的中点，OF=12(OB+OC)=12OB+12OC=12b+12c，故A正确，EF=OFOE=12b+12c12a，PF=2EP，EP=13EF，FP=23EF，即EP=13EF=13(12b+12c12a)=16a+16b+16c，故B正确，FP=23EF=23(12b+12c12a)=13a13b13c，故C错误，OP=OE+EP=12a16a+16b+16c=13a+16b+16c，故D正确故选C6.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系
12、及直线的斜率，属于中档题【解答】方程kx+y+22k=0是恒过定点P(2,2)，斜率为k的直线，曲线4(y1)2+1=x，即(x1)2+(y1)2=4(x1)，是圆心为C(1,1)，半径r=2，在直线x=1及右侧的半圆，半圆弧端点A(1,1)，B(1,3)，在同一坐标系内作出直线x+y+22k=0与半圆C:(x1)2+(y1)2=4(x1)，如图，当直线kx+y+22k=0与半圆C相切时，由|3k|1+k2=2，得相切时斜率为263+1，又kPB=5，所以k263+1，或k5，所以k1b+2c=(b+2c)(1b+1c)=3+2cb+bc3+22当且仅当2c=b=2+1时等号成立，即b+2c的
13、最小值为3+22故选C9.【答案】BD【解析】【分析】本题考查对立事件的判断，相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题【解答】对于选项A，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数为1，2，3”，事件B为“点数为2，4，6”，则P(A)+P(B)=12+12=1，但是A，B不是对立事件，故A错误；P(A)=1P(A)=13，P(AB)=P(A)P(B)=1313=19，故B正确；掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以既不是互斥事件，也不是对立事件，故C错误；若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为2514=110，若第一次摸到绿球，则第二次摸
14、到红的概率为3524=310，所以第二次摸到红球的概率为25，故D正确10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了空间中线线位置关系，线面角，平面与平面夹角，点到平面距离，属于中档题【解答】解：设D是AC边中点由翻折过程中垂直关系的不变性，可知BD平面ADC，由线面垂直定义可知BDAC，从而直线AC垂直直线OB；由题可知ACD即为直线AC与平面BOC所成角，又三角形ADC为等腰直角三角形，所以ACD=4，故直线AC与平面BOC所成角的大小为4；以D为坐标原点，以DA，DB，DC所在的方向分别为x，y，z轴，建立直角坐标系，则A(32,0,0),B(0,32,0),C(0,0,32),O(12
15、,0,0)，设平面AOC，平面BOC的法向量分别为m,n，平面AOC与平面BOC的夹角为，则m=(0,1,0),n=(3,1,1)，cos=|mn|m|n|=15=55，平面AOC与平面BOC的夹角的余弦值是55；由可知，AB=(32,32,0),AC=(32,0,32)，平面ABC的法向量为m1=(1,3,3)，所以O到平面ABC的距离=|OCm1|m1|=101011.【答案】AD【解析】【分析】本题考查了概率的运算，方差，均值知识点，属中档题【解答】解：男生样本量为50300500=30，故选项A正确；每个学生入样的概率均为50500=110，故选项B错误；记男生样本为y1,y2,y30
16、，均值为y，方差为s男2；女生样本为z1,z2,z20，均值为z，方差为s女2；所有样本均值为x，方差为s2，则x=i=130yi+j=120zj50=30y+20z50=35y+25z=167cm,s2=150i=130(yix)2+j=120(zjx)2=150i=130(yiy+yx)2+j=120(zjz+zx)2=150i=130(yiy)2+30(yx)2+2i=130(yiy)(yx)+j=120(zjz)2+20(zx)2+2j=120(zjz)(zx)=35s男2+35(yx)2+25s女2+25(zx)2=49,得s女2=19cm2故选项D正确，选项C错误故选AD12.【答
17、案】AD【解析】【分析】本题考查了向量的新定义、三角形面积公式以及平面几何的相关知识，属于较难题【解答】对于A，由奔驰定理可知，若OA+2OB+3OC=0，则SA：SB：SC=1：2：3，选项A正确；对于B，在AOB中，由|OA|=|OB|=2,AOB=56可知，SAOB=122212=1，又2OA+3OB+4OC=0，SBOC：SAOC：SAOB=2：3：4，则SBOC=12,SAOC=34，SABC=SAOB+SBOC+SAOC=1+12+34=94，选项B错误；对于C，由奔驰定理可知，SA：SB：SC=3：4：5，O为三角形内心，设内切圆半径为r，故SA=12BCr，SB=12ACr，S
18、C=12ABr，则BC:AC:AB=3:4:5ABC为锐角三角形，故C错误;对于D，如图，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E，延长CO交AB于点F，SABC=SAOB+SBOC+SAOC，由奔驰定理可知，SA：SB：SC=3：4：5，根据题意O为ABC的垂心，SABCSAOC=BEOE=124，设OE=x，OB=2x，同理SABCSBOC=ADOD=123，设OD=y，则OA=3y，cosBOD=y2x=cosAOE=x3y，可得2x2=3y2，cosBOD=66，cosAOB=cos(BOD)=66，故D正确13.【答案】32【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理，属于基础题【解答
19、】解：由题可知，AD=AB+BD=1AB+(11)AC，又AD=23AB+13AC，所以=3214.【答案】y+1=0或24x7y+25=0或4x+3y5=0(任填一个即可)【解析】【分析】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题【解答】解：圆x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0)，半径r1=1，圆(x4)2+(y3)2=16的圆心坐标为C(4,3)，半径r2=4，如图：|OC|=r1+r2，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条显然y+1=0符合题意;又由方程(x4)2+(y3)2=16和x2+y2=1相减可得方程4x+3y5=0，即为过两圆公共
20、切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为3x4y=0，直线OC与直线y+1=0的交点为(43,1)，设过该点的直线为y+1=k(x+43)，则43k1k2+1=1，解得k=247或k=0，从而该切线的方程为24x7y+25=0所以与两圆都相切的直线方程为y=1或4x+3y5=0或24x7y+25=015.【答案】y=0【解析】【分析】本题考查直线的斜率及对称的应用，属于一般题【解答】AC高线斜率为33，kAC=3，AC为y3=3(x1)，3x+3y23=0y=3x+23,C(2,0)，设A关于角平分线3x+3y23=0对称点为A(x0,y0)，kAA=331+x02+33+y0223
21、=0，可得A(0,0)，kBC=kAC=0，故BC方程为y=016.【答案】2366+83【解析】【分析】本题考查了棱锥的结构特征，球的切接问题，属于拔高题【解答】解：(1)由题可知四棱锥PABCD为底面为正方形的正四棱锥，又DPA=3，PA=PB=PC=PD=26，所以正方形ABCD的边长为26，BD=43，故P点到面ABCD的距离=(26)2(23)2=23;(2)如图，根据题意，作正四棱锥PABCD，因为APB=BPC=CPD=DPA=60，所以正四棱锥PABCD的侧面三角形均是正三角形，所以AB=AD=PC=x，所以BD=2x，又PB=PD=x，所以三角形PBD是等腰直角三角形，所以A
22、PC=BPD=90，因为PB=PD，APB=BPC=CPD=DPA=60，所以PABPAD，PCBPCD，所以AB=AD，BC=DC，所以ACBD，且AC与BD交点E为BD的中点，ABCADC，因为PB=PD，所以PEBD，又PEAC=E，PE，AC平面PAC，所以BD平面PAC，所以VPABCD=2VPABC=2VBPAC=23SPACBE，因为该四棱锥存在半径为2的内切球，所以VPABCD=132(2SPAB+2SPBC+2SABC)，所以VPABCD=43(SPAB+SPBC+SABC)=23SPACBE，所以SPAB+SPBC+SABC=12SPACBE，设PC=t，在直角三角形PAC
23、中，AC2=PA2+PC2，所以AC=t2+24，因为三角形PBD是等腰直角三角形，所以BPE=45，所以BE=22PB，所以SABC=12ACBE=12t2+2422PB，所以12PAPBsin60+12PCPBsin60+12t2+2422PB=1212PAPC22PB，所以t2126t+24=0解得t=6683故PC=66+8317.【答案】解：(1)设3x+4y12=k即3x+4y12k=0，由原点到直线的距离不大于圆的半径可得|12k|32+422，解得22k2，即223x+4y122(2)设P点坐标为(a,b)，所以2a2，2b2，则由点与点的距离公式可得，所求的式子转化为(a+2
24、)2+(b+2)2+(a+2)2+(b6)2+(a4)2+(b+2)2=3a2+3b24b+68，又P点在圆上，所以a2+b2=4，可得为求4b+80的最大值，所以最大值为88【解析】本题考查直线与圆的位置关系应用，两点间距离公式的应用，属中档题18.【答案】(1)用a，b分别表示“选择物理”，“选择历史”，用c，d，e，f分别表示选择“选择化学”，“选择生物”，“选择政治”，“选择地理”，则所有选课组合的样本空间为=acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce,bcf,bde,bdf,bef，则n()=12，设M为选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求，则M=acd,a
25、ce,acf,ade,adf，n(M)=5，所以选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率为P(M)=n(M)n()=512;(2)设甲乙丙每人选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求分别是事件N1，N2，N3，由题意可知N1，N2，N3相互独立，由(1)可得P(N1)=P(N2)=P(N3)=512，记N为甲乙丙三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求，则N=N1N2N3N2N1N3N3N2N1，因为事件两两互斥，根据互斥事件概率加法公式可得P(N)=P(N1N2N3)+P(N2N1N3)+P(N3N2N1)=3512(1512)(1512)=245576【解析】
26、本题考查古典概型的计算、相互独立事件与互斥事件的运算，属于中档题19.【答案】解：(1)存在，当E为AC的中点时，AD/平面B1C1E，理由如下：取B1C1的中点F，连接EF，DFDF是A1B1C1的中位线DF=/12A1C1又AE=/12A1C1DF=/AE四边形DFEA是平行四边形AD/EF又AD面B1C1E，EF面B1C1EAD/平面B1C1E(2)四边形ABB1A1是矩形A1B1AA1，AB/A1B1又平面AA1C1C平面ABB1A1A1B1面A1ACC1VBA1DC1=VAA1DC1=VDA1AC1=13SAA1C112A1B1=36AB1=3A1B1=6侧面ACC1A1是菱形，A1
27、AC=60A1AC是正三角形E是AC的中点A1EAC以A1为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则A1(0,0,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,3)，C(3,1,0)C1D=(0,2,3)，C1C=(3,1,0)设平面C1DC的法向量m=(x,y,z)由mC1D=0mC1C=0得2y+3z=03xy=0令x=1，则y=3，z=233m=(1,3,233)又平面A1C1D的法向量n=(1,0,0)cos(m,n)=34二面角A1C1DC的夹角的余弦值是34【解析】本题考查了平面与平面所成角，线面平行的判定，属于中档题20.【答案】解：(1)左边=2sinAcosA+2sin2A2sinAc
28、osA+2cos2A=tanA，tanA=tanB，又A，B(0,)，A=B(2)法一：(角化边)设点D为BC的中点，在ACD中，设AC=2x，cosC=x2+4x2162x2x=5x2164x2，所以sinC=16x4(5x216)24x2=9x4+160x22564x2SABC=122x2xsinC=129(x2809)2409681，Smax=323法二：(边化角)由A=B，知c=2acosA，又16=c2+(a2)22ca2cosA，a2=641+8cos2A所以ABC的面积S=12acsinA=64sinAcosAsin2A+9cos2A323，当且仅当sinA=3cosA时，取等【
29、解析】本题考查正余弦定理解三角形，属难题21.【答案】(1)PD，BE都与平面ABCD垂直PD/BE，设AC，BD的交点为O，设EO，PB的交点为G，可知G到平面ABCD的距离等于E到平面ABCD的距离的一半。又三棱锥EABC与四棱锥PABCD的公共部分为三棱锥GABCVGABC=13SABC12EB=132121=13(2)二面角DAPB大小为90面DAP面BAP，过D作DMPA，则DM面PABDMAB，又PD面ABCDPDAB，又PD，DM面PAD，且PDDM=D，故AB面PADABAD四边形ABCD为正方形，又正方形ABCD的面积为4，AB=AD=2，BE/PD，BE面PAD，BE/面P
30、AD，B到面PAD的距离等于E到面PAD的距离，E到面PAD的距离为2，设DE与面PAD所成的角为，sin=2DE，在BED中，ED=BE2+BD2=3，sin=23，即DE与面PAD所成的角的正弦值为23【解析】本题考查锥体的体积，以及直线与平面所成的角，属于中档题22.【答案】解：(1)由2sinB=sinA可得2b2=a2，设顶点C的坐标为(x,y)，则2(x+1)2+y2=(x+2)2+y2x2+y2=2(y0)(2)法一：设lTP:y=kx+2带入x2+y2=2得(1+k2)x2+22kx=0M(22k1+k2,22k21+k2)lTQ:y=3kx2带入x2+y2=2得(1+9k2)
31、x262kx=0N(62k1+9k2,2+92k21+9k2)lMN:yyM=kMN(xxM)，又kMN=yMyNxMxN=3k214k由对称性知，定点在y轴上令x=0，则y=3k214k22k1+k2+22k21+k2=22，所以恒过定点(0,22)法二：设lMN:y=kx+t带入x2+y2=2得(1+k2)x2+2ktx+t22=0由韦达定理可得x1+x2=2kt1+k2，x1x2=t221+k2又3kTP=kTQ，3kMP=kQN，又kPNkQN=1，3kMPkNP=13y12x1y22x2=1，将x1+x2=2kt1+k2，x1x2=t221+k2带入可得(3k2+1)x1x2+3k(t2)(x1+x2)+3(t2)2=0(3k2+1)(t22)+3k(t2)(2kt)+3(t2)2(1+k2)=03(t22)6(t22t)+3(t2)2k2+(t22)+3(t2)2=0又t2，t=22，所以MN过定点(0,22)【解析】本题考查了与圆有关的轨迹问题，直线恒过定点问题，属于中档题