1、数学试卷考试时间90分钟 满分150分一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.AB+BDAC=（ ）A、ACB、CDC、ABD、DB2.与向量AB=(1,3)平行的单位向量是（ ）A、(12,32)B、(12,32)C、(12,32)或(12,32)D、(12,32)或(12,32)3.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A、e1=0,0,e2=1,2B、e1=1,2,e2=5,7C、e1=3,5,e2=6,10D、e1=2,3,e2=(12,34)4.在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（ ）A、钝角三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、
2、不能确定5.已知等边三角形ABC的边长为6，点P满足3PA+2PB+PC=0，则（ ）A、79B、76C、7D、736.已知单位向量a,b满足ab，若2a+b与xa+b的夹角为45，则实数x=（ ）A、21B、2+1C、322D、3227.已知ABC面积为S，AB=2，AC=3，且ABAC=233S，则BC=（ ）A、5B、6C、7D、228.如图，已知等腰ABC中，AB=AC=3，BC=4，点P是边BC上的动点，则AP(AB+AC)为（ ）A、定值10B、定值6C、最大值是18D、与P的位置有关二、多选题（本大题共4小题，共20分）9.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A、
3、a=8，b=16，A=30，有一解B、b=18，c=20，B=60，有两解C、a=5，c=2，A=90，无解D、a=30，b=25，A=150，有一解10.设是两个非零向量，则下列说法中正确的是（ ）A、若，则存在实数使得a=bB、若ab，则C、若，则a在b上的投影向量为|a|D、若存在实数使得a=b，则11.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列等式恒成立的是（ ）A、a2=b2+c22bccosAB、asinB=bsinAC、a=bcosC+ccosBD、acosB+bcosC=c12.下列说法错误的是（ ）A、若，则B、若2OA+OB+3OC=0，SAOC，SABC分别
4、表示AOC，ABC的面积，则SAOC:SABC=1:6C、D、若向量ab，则a与b一定不是共线向量三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设e1,e2是不共线的向量，若AB=e1e2，CB=2e1+e2，CD=3e1e2，且A,B,D三点共线，则的值为 .14.若ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则ABBC= .15.如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC=223，AB=32，AD=3，则BD的长为 .16.已知，OC=xOA+yOB，且x+2y=1，AOB是钝角，若f(t)=|OAtOB|的最小值为23，则|OC|的最小值是 .四、解答题（本大题共5
5、小题，共70分）17.（14分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距6nmile，渔船乙以5nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上（1）求渔船甲的速度大小；（2）求sin的值18.（14分）已知向量a=(2,4)，b=(1,2)（1）求a,b的夹角的余弦值；（2）若向量ab与2a+b垂直，求的值19.（14分）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=2，C=60.（1）求a+bsinA+sinB的值；（2）若a+b=ab，求ABC的面积SABC.20.（14分）如图所示，在ABC中，
6、AQ=QC，AR=13AB，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P（1）用AB和AC分别表示BQ和CR；（2）如果AI=AB+BQ=AC+CR，求实数和的值；（3）确定点P在边BC上的位置21.（14分）已知在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且asinB3bcosA=0（1）求角A的大小；（2）求2cosA+2cosB+cosC的取值范围一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.AB+BDAC=（ ）A、ACB、CDC、ABD、DB【答案】 1.B【解析】 1.由向量加法及减法的运算法则可知：AB+BDAC=CD.2.与向量AB=(1,3)平行的单位向量是（ ）A、(
7、12,32)B、(12,32)C、(12,32)或(12,32)D、(12,32)或(12,32)【答案】 2.C【解析】 2.设与向量AB=(1,3)平行的单位向量是x,y，则x2+y2=1=x3=y，解得=12或=12，则所求向量为(12,32)或(12,32).3.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A、e1=0,0,e2=1,2B、e1=1,2,e2=5,7C、e1=3,5,e2=6,10D、e1=2,3,e2=(12,34)【答案】 3.B【解析】 3.已知平面内一对不共线的向量才可以作为一组基底.A项，零向量与任意向量都共线，故A项不符合题意；B项，不存在实
8、数使得e1=e2，故两向量不共线，故B项符合题意；C项，e2=2e1，两向量共线，故C项不符合题意；D项，e1=4e2，两向量共线，故D项不符合题意.故选B.4.在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（ ）A、钝角三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、不能确定【答案】 4.A【解析】 4.因为在ABC中，满足sin2A+sin2Bsin2C，由正弦定理知sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，代入上式得a2+b2c2，又由余弦定理可得cosC=a2+b2c22ab0，解得x=223，因为2x+10，则x22，所以舍掉一根x=223，所以x=3227.已知
9、ABC面积为S，AB=2，AC=3，且ABAC=233S，则BC=（ ）A、5B、6C、7D、22【答案】 7.C【解析】 7.由ABAC=|cosA=233S，cosA=39S，又S=12|sinA=3sinA，所以cosA=393sinA=33sinA，所以tanA=3，又A为三角形的内角，所以A=3，所以BC2=AB2+AC22ABACcos3=7，所以BC=7.8.如图，已知等腰ABC中，AB=AC=3，BC=4，点P是边BC上的动点，则AP(AB+AC)为（ ）A、定值10B、定值6C、最大值是18D、与P的位置有关【答案】 8.A【解析】 8.若取BC边中点为D，连接AD，由向量加
10、法的平行四边形法则可得AB+AC=2AD，因为AB=AC=3，BC=4，所以ADBC，|AD|2=|AB|2(|BC|2)2=5，所以AP(AB+AC)=2ADAP=2|cosPAD=2|AD|2=10.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A、a=8，b=16，A=30，有一解B、b=18，c=20，B=60，有两解C、a=5，c=2，A=90，无解D、a=30，b=25，A=150，有一解【答案】 9.ABD【解析】 9.对A项，若a=8，b=16，A=30，由正弦定理可得8sin30=16sinB，解得sinB=1，则B=2，此时该
11、三角形有一解，故A正确；对B项，若b=18，c=20，B=60，由正弦定理可得18sin60=20sinC，解得sinC=539，根据大边对大角可得CB，则C可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有2解，故B正确；对C项，若a=5，c=2，A=90，由正弦定理可得5sin90=2sinC，解得sinC=25，则三角形只有一解，故C错误；对D项，若a=30，b=25，A=150，由正弦定理可得30sin150=25sinB，解得sinB=512，由A=150，则B为锐角，可得三角形有唯一解，故D正确10.设a,b是两个非零向量，则下列说法中正确的是（ ）A、若|a+|=|b|，则存在实数使得a=bB
12、、若ab，则|a+|=|ab|C、若|a+|=|+|b|，则a在b上的投影向量为|a|D、若存在实数使得a=b，则|a+|=|b|【答案】 10.AB【解析】 10.当|a+|=|b|时，a,b方向相反且|b|，则存在负实数使得a=b，A选项说法正确，D选项说法错误；若|a+|=|+|b|，则a,b方向相同，a在b上的投影向量为a，C选项说法错误；若ab，则以a,b为邻边的平行四边形为矩形，且|a+b|和|ab|是这个矩形的两条对角线长，则|a+|=|ab|，B选项说法正确11.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列等式恒成立的是（ ）A、a2=b2+c22bccosAB、a
13、sinB=bsinAC、a=bcosC+ccosBD、acosB+bcosC=c【答案】 11.ABC【解析】 11.对于A，根据余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，故A正确；对于B，根据正弦定理边角互化asinB=bsinAab=ab，故B正确；对于C，根据正弦定理a=bcosC+ccosBsinA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，故C正确；对于D，根据正弦定理边角互化可得sinAcosB+sinBcosC=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sinBcosC=cosAsinB，又sinB0，所以cosC=cosA，当A=C
14、时，等式成立，故D不正确12.下列说法错误的是（ ）A、若/b，/c，则/cB、若2OA+OB+3OC=0，SAOC，SABC分别表示AOC，ABC的面积，则SAOC:SABC=1:6C、两个非零向量a,b，若|a|=|+|b|，则a与b共线且反向D、若向量ab，则a与b一定不是共线向量【答案】 12.AD【解析】 12.对于A，如果a,c都是非零向量，b=0，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以A中说法错误；如图，D,E分别是AC,BC的中点，若2OA+OB+3OC=0，则2(OA+OC)+(OB+OC)=0，即4OD+2OE=0，OE=2OD，所以O,D,E三点共线，所以OD=16A
15、B，则SAOC:SABC=1:6，所以B中说法正确；两个非零向量a,b，若|a|=|+|b|，则a与b共线且反向，所以C中说法正确；若向量ab，则a与b可能是共线向量，比如它们为相反向量，所以D中说法错误三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设e1,e2是不共线的向量，若AB=e1e2，CB=2e1+e2，CD=3e1e2，且A,B,D三点共线，则的值为 .【答案】 13.2【解析】 13.由题意可得，BD=CDCB=e12e2，因为A,B,D三点共线且AB=e1e2，所以11=2，即=214.若ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则ABBC= .【答案】 14.19【解析
16、】 14.设三角形的三边分别为a,b,c，依题意得，a=5，b=6，c=7，ABBC=|cos(B)=accosB，由余弦定理，得b2=a2+c22accosB，accosB=12(b2a2c2)=12(625272)=19，ABBC=1915.如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC=223，AB=32，AD=3，则BD的长为 .【答案】 15.3【解析】 15.因为sinBAC=223，且ADAC，所以sin(2+BAD)=223，所以cosBAD=223，在BAD中，由余弦定理得，BD=AB2+AD22ABADcosBAD=(32)2+322323=3.16.已知|=
17、4，|=6，OC=xOA+yOB，且x+2y=1，AOB是钝角，若f(t)=|OAtOB|的最小值为23，则|OC|的最小值是 .【答案】 16.611137【解析】 16.f(t)=|OAtOB|的最小值为23，所以根据图形知，当OAtOBOB时，f(t)=|OAtOB|的最小值为23，因为|=4，所以AOB=120，因为OC=xOA+yOB，且x+2y=1，所以|OC|2=x2OA2+y2OB2+2xyOAOB=16x2+36y224xy=16(12y)2+36y224(12y)y=148y288y+1610837所以|OC|的最小值是611137四、解答题（本大题共5小题，共84分）17
18、.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距6nmile，渔船乙以5nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上（1）求渔船甲的速度大小；（2）求sin的值【答案】 （1）依题意知BAC=120，AB=6，AC=52=10，BCA=在ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC22ABACcosBAC=62+1022610cos120=196，得BC=14，所以渔船甲的速度大小为7nmile/h（2）在ABC中，AB=6，BAC=120，BC=14，BCA=，所以由正弦定理得ABsin=BCsin120，所以s
19、in=ABsin120BC=63214=3314【解析】 （1）无（2）无18.已知向量a=(2,4)，b=(1,2)（1）求a,b的夹角的余弦值；（2）若向量ab与2a+b垂直，求的值【答案】 （1）向量a=(2,4)，b=(1,2)，ab=2(1)+4(2)=6，|=(2)2+42=25，|=(1)2+(2)2=5；a,b夹角的余弦值为cos=ab|b|=6255=35（2）ab=(2,4)(,2)=(2,2+4)，2a+b=(4,8)+(1,2)=(5,6)；又向量ab与2a+b垂直，(a2b)(2a+b)=5(2)+6(2+4)=0，解得=347【解析】 （1）无（2）无19.在ABC
20、中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=2，C=60.（1）求a+bsinA+sinB的值；（2）若a+b=ab，求ABC的面积SABC.【答案】 （1）由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=232=433，所以a=433sinA，b=433sinB，所以a+bsinA+sinB=433sinA+sinBsinA+sinB=433.（2）由余弦定理得c2=a2+b22abcosC，即4=a2+b2ab=a+b23ab，又a+b=ab，所以ab23ab4=0，解得ab=1（舍去）或ab=4.所以SABC=12absinC=12432=3.【解析】 （1）无（2）无20.如图所
21、示，在ABC中，AQ=QC，AR=13AB，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P（1）用AB和AC分别表示BQ和CR；（2）如果AI=AB+BQ=AC+CR，求实数和的值；（3）确定点P在边BC上的位置【答案】 （1）由AQ=12AC，可得BQ=BA+AQ=AB+12ACAR=13AB，CR=CA+AR=AC+13AB（2）将BQ=AB+12AC，CR=AC+13AB，代入AI=AB+BQ=AC+CR，则有AB+(AB+12AC)=AC+(AC+13AB)，即(1)AB+12AC=13AB+(1)AC，AB，AC不公线，1=1312=1，解得=45=35（3）设BP=mBC，AP
22、=nAI由小问2知AI=15AB+25AC，BP=APAB=nAIAB=n(15AB+25AC)AB=2n5AC+(n51)AB=mBC=mACmAB，m=n51m=2n5，解得m=23n=53，BP=23BC，即BPPC=2，点P在BC的三等分点且靠近点C处【解析】 （1）无（2）无（3）无21.已知在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且asinB3bcosA=0（1）求角A的大小；（2）求2cosA+2cosB+cosC的取值范围【答案】 （1）根据正弦定理，sinAsinB=3sinBcosA，因为sinB0，所以tanA=3，所以A=3（2）因为B+C=23，所以原式=1+2cosB+cos(23B)=1+2cosB+(12cosB+32sinB)=32sinB+32cosB+1=3sin(B+3)+1,B(0,23)，设=B+3(3,)，则原式=3sin+1(1,3+1，综上，2cosA+2cosB+cosC的取值范围为(1,3+1【解析】 （1）无（2）无