1、三角形中的几何计算 (20分钟35分)1.在平行四边形ABCD中,已知AB=1,AD=2,=1,则|=()A.B.C.2D.2【解析】选B.由=|cos A=1,得cos A=,A=60,故B=120.由余弦定理知AC2=12+22-4cos 120=7,故|=.2.在ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC等于()A.B.C.D.【解析】选B.设BC=a,则BM=CM=.在ABM中,AB2=BM2+AM2-2BMAMcosAMB,即72=+42-24cosAMB.在ACM中,AC2=AM 2+CM 2-2AMCMcosAMC,即62=42+24cosAMB.+得72+6
2、2=42+42+,所以a=.3.(2020南阳高一检测)已知ABC是等腰直角三角形,点D在线段BC的延长线上,若BC=AD=2,则CD=()A.1B.C.-D.-【解析】选D.由图可得ACD=135,AC=2,所以cos 135=-,CD2+2CD-4=0,解得CD=-或CD=-(舍去).4.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为.【解析】不妨设a=6,b=c=12,由余弦定理得cos A=,所以sin A=.设内切圆半径为r,由(a+b+c)r=bcsin A,得r=.所以S内切圆=r2=.答案:5.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60,另两边长之比为32,则这
3、个三角形的面积是.【解析】设另两边长分别为3x,2x,则cos 60=,解得x=,故两边长分别为3和2,所以S=32sin 60=.答案:6.如图所示,在ABC中,已知BC=15,ABAC=78,sin B=,求BC边上的高AD的长.【解析】在ABC中,由已知设AB=7x,AC=8x,x0,由正弦定理得=,所以sin C=.又因为0C7x,知B也为钝角,不合题意,故C120.所以C=60.由余弦定理得(7x)2=(8x) 2+152-28x15cos 60,所以x2-8x+15=0,解得x=3或x=5.所以AB=21或AB=35.在RtADB中,AD=ABsin B=AB,所以AD=12或20
4、.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.A是ABC中最小的内角,则sin A+cos A的取值范围是()A.(-,)B.-, C.(1,)D.(1, 【解析】选D.sin A+cos A=sin.因为A为ABC中最小的内角,所以A,所以A+,所以sin,所以sin A+cos A(1, .2.(2020宁波高一检测)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若a=1且B=2A,则b的取值范围是()A.(,)B.(1,)C.(,2)D.(0,2)【解析】选A.由a=1且B=2A及正弦定理=,可得=,所以b=2cos A.又因为ABC为锐角三角形,所以解得A,故co
5、s A,故b(,).3.在ABC中,B=60,C=45,BC=8,D是BC上的一点,且=,则AD的长为()A.4(-1)B.4(+1)C.4(3-)D.4(3+)【解析】选C.因为=,BC=8,所以BD=4(-1).又因为=,所以=,所以AB=BC=8=8(-1).在ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B=8(-1)2+4(-1)2-28(-1)4(-1)cos 60=48(-1)2,所以AD=4(3-).4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2,C=,且a+b=3,则ABC的面积为()A.B.C.D.【解析】选D.由余弦定理得c2=a2+b2
6、-2abcos C,所以22=a2+b2-2abcos ,即4=(a+b)2-3ab,又a+b=3,所以ab=,所以SABC=absin =.5.(2020成都高一检测)已知ABC中,sin(B+A)+sin(B-A)=sin 2A,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.无法确定【解析】选C.因为sin(B+A)+sin(B-A)=sin 2A,由两角和差的正弦公式可得2sin Bcos A=sin 2A,所以sin Bcos A=sin Acos A,若cos A=0,即A=时此时ABC是直角三角形;若cos A0,即sin B=sin A,所以A
7、=B,所以ABC是等腰三角形;综上,ABC是等腰三角形或直角三角形.【光速解题】由sin(B+A)+sin(B-A)=sin 2A可以快速看出B=A时显然成立,故可能为等腰三角形,直角三角形的判断由cos A可快速判断.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020新余高一检测)如图所示,在ABC中,已知AB=12,角C的平分线CD把三角形面积分为32两部分,则cos A=.【解题指南】由角C的平分线CD把三角形面积分为32两部分可得=,由正弦定理可得=,再根据AB=12即可求出答案.【解析】因为角C的平分线CD把三角形面积分为32两部分,所以=,即=,由正弦定理得=,又AB=12,所以=2
8、cos A=,所以cos A=.答案:【补偿训练】若E,F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点,则tanECF=.【解析】方法一:不妨设AB=6,则AC=BC=3,由余弦定理得CE=CF=,再由余弦定理得cos ECF=,所以sin ECF=,解得tanECF=.方法二:坐标法设AB=6,AC=BC=3,F(1,0),E(-1,0),C(0,3),利用向量的夹角公式得cos ECF=,解得tanECF=.答案:7.(2020马鞍山高一检测)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=BC,ABC=60,CD=2,AD=4,则四边形ABCD的面积的最大值为.【解析】连接AC在ABC中,因为AB=BC
9、,ABC=60,所以ABC为等边三角形,在ACD中,CD=2,AD=4,由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2ADCDcos D=16+4-242cos D=20-16cos D,则四边形ABCD的面积为S=SABC+SACD=AC2+ADCDsin D=(20-16cos D)+4sin D=5+8=5+8sin(D-60),当D-60=90,即D=150时sin(D-60)取得最大值1,故四边形ABCD的面积取得最大值为5+8.答案:5+88.在ABC中,已知AB=,cosABC=,AC边上的中线BD=,则sin A=.【解析】如图所示,取BC的中点E,连接DE,则DEAB,且DE=AB
10、=.因为cosABC=,所以cosBED=-.设BE=x,在BDE中,利用余弦定理,可得BD2=BE2+ED2-2BEEDcosBED,即5=x2+2x.解得x=1或x=-(舍去),故BC=2.在ABC中,利用余弦定理,可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=,即AC=.又sinABC=,所以=,所以sin A=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求圆内接四边形ABCD的面积.【解析】如图,连接BD,则四边形面积S=SABD+SCBD=ABADsin A+BCCDsin C.因为A+C=180,所以sin
11、 A=sin C.所以S=(ABAD+BCCD)sin A=16sin A.在ABD中,由余弦定理得BD2=22+42-224cos A=20-16cos A,在CDB中,BD2=42+62-246cos C=52-48cos C,所以20-16cos A=52-48cos C.又cos C=-cos A,0A180,所以cos A=-,A=120,所以四边形ABCD的面积S=16sin A=8.10.(2020临川高一检测)如图所示,在四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,cos B=.(1)求ACD的面积;(2)若BC=2,求AB的长.【解析】(1)因为D=2B,cos B=,
12、所以cos D=cos 2B=2cos2B-1=-.因为D(0,),所以sin D=.因为AD=1,CD=3,所以ACD的面积S=ADCDsin D=13=.(2)在ACD中AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D=12,所以AC=2.因为BC=2,=,所以=,所以AB=4.1.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则ABC的面积S=.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为()A.B.2C.3D.【解析】选A.根据正弦定理及a2sin C=
13、4sin A,得ac=4.再结合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,则S=,故选A.2.(1)在ABC中,若已知三边为连续整数,最大角为钝角,求最大角的余弦值;(2)求以(1)中的最大角为内角,相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积.【解析】(1)设三边长分别为a-1,a,a+1,由于最大角是钝角,所以(a-1) 2+a2-(a+1) 20,解得0a4.又因为a为整数,所以a=1或2或3.当a=1时,a-1=0,不合题意,舍去;当a=2时,三边长为1,2,3,不能构成三角形;当a=3时,三边长为2,3,4,设最大角为,则cos =-.(2)sin = =.设相邻两边长分别为x,y,则x+y=4.所以面积S=xysin =xy=x(4-x)=-(x-2)2+4.又因为x(0,4),所以当x=2时,S取得最大值.