1、2021-2022湖南衡阳市八中高一上学期期中考试(数学)一、单选题1. 已知集合，集合，则的子集个数为()A. 6B. 7C. 8D. 92. 下列命题是真命题的是()A. 若x，且，则x，y至少有1个大于1B. ，C. 的充要条件是D. “”的否定是“”3. 下列函数为奇函数且在上单调递增的是()A. B. C. D. 4. 设 ()A. B. C. D. 5. 已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是()A. B. C. D. 6. 已知实数，函数，若则a的值为()A. B. -C. D. 7. 如图是反映某条公交线路收支差额即营运所得票价收入与付出成本的差与乘客量x之间关系的图象.
2、由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图所示.则下列说法中，正确的是()A. 图的建议是：提高成本，并保持票价不变B. 图的建议是：提高成本，并提高票价C. 图的建议是：提高票价，并保持成本不变D. 图的建议是：提高票价，并降低成本二、多选题8. 已知，则的最小值为()A. 9B. C. 5D. 9. 若函数是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是()A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1C. 若在上单调递增，则在上单调递减D. 若函数，则为偶函数10. 给出下面四个推断，其中正确的是()A. 若B. 若C. 若，则D. 若，则11. 德国数学家狄利克雷在数学领域
3、成就显著，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有()A. 函数的图像是两条直线B. C. D. 12. 已知函数，则下列说法正确的是为()A. 的图像关于原点对称B. C. 的值域为D. ，且，则恒成立三、填空题13. 计算：_.14. ，且_.15. 若函数为偶函数且在上单调递减，又_.16. 设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_.四、解答题17. 设全集，已知集合求已知非空集合，求实数a的取值范围.18. 已知函数求使时x的取值集合.命题p：“对”，若命题p为真命题，求实数a的取值范围19. 已知幂函数求；若函数在与x轴有交点，求实数a的取值范围20. 已知函数其中且，b为实数
4、若函数的图像过点，求的值域;若函数的定义域和值域都是，求的值.21. 通过以新能源汽车替代汽、柴油车，中国正在大力实施一项重塑全球汽车行业的计划2021年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产汽车百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完求出2021年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式；利润=销售额-成本问2021年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大，并求出最大利润22. 定义函数，其中x为自变量，a为常数若函数在区间上的最小值为，求a的值；集合，且，求a的取值范围答案和解析1.【答案】C
5、【解析】【分析】本题考查集合的交集运算及集合的子集个数求解，属于基础题.由交集的定理求出，再由其子集个数为得出即可.【解答】解：由题意可得，有三个元素.其子集个数为故选2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了命题的真假、充要条件和全称量词命题、存在量词命题的真假判定，属基础题.对于A采用反证法，找矛盾；对于B、C采用特殊值法；对于D，根据命题的否定定义判断即可.【解答】解：对于A，假设x，y都小于或等于1，则，与条件矛盾，所以x，y至少有一个大于1，故A正确；当时，故B错误；当时，满足，但不成立，故C错误；“”的否定是“”故D错误.故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性与单调性
6、的判断，属于基础题.解答本题的关键是掌握常见的基本初等函数的性质.根据各选项中的解析式，分别根据函数奇偶性和单调性进行判断即可得到结论【解答】解：，故函数为偶函数，不满足题意；B.为奇函数，且在上单调递增，故满足题意；C.为奇函数，在单调递减，在上单调递增，不满足题意；D.为奇函数，且在上单调递减，故不满足题意；故选4.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数函数的性质，解题的关键是熟练运用指数函数的性质，属于基础题.利用指数函数的性质，结合，即可得到结论.【解答】解：，5.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的对称轴及单调性，属于基础题根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解
7、即可.【解答】解：函数的对称轴为，要使在区间上具有单调性，则或，或综上所述k的范围是：或故选6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了分段函数的应用，属于中档题先根据讨论a的正负，确定与的范围，然后代入分段函数解析式，即可得到答案.【解答】解：，当时，解得：当时，无解.综上所述，答案是：故选7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图象的应用的相关知识，属于基础题.根据题意，分析图，图的实际意义即可解题.【解答】解：根据题意和题图知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故AB错误；由题图可以看出，当乘客量为0时，支
8、出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确，D错误8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：因为，且，即，当且仅当，即时，取得最小值的最小值为故选：9.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的判定及其性质应用，属于中档题先根据奇函数的定义判断出A对；根据奇函数的图象关于原点对称且奇函数左右两侧单调性相同，即判断出B对C错；通过函数的奇偶性的判定判断【解答】解：对于选项A，由得，故A正确；对于选项B，若在上有最小值，则当时
9、，则时，则在上有最大值1，故B正确；对于选项C，根据奇函数的图象关于原点对称且奇函数左右两侧单调性相同，则若在上单调递增，则在上单调递增，故C错误；对于选项D，因为函数是定义在R上的奇函数且，所以，故为偶函数，故D正确；故选：10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，也考查了二次函数最值问题，理解基本不等式的使用条件是解题的关键，考查学生的运算求解能力对由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故A正确；对由可得，代入ab分析即可；对构造基本不等式模型求解即可；对D，两边开方后可说明.【解答】解：对则，则由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故A正确；对由可得，则，故B正确；对
10、若，则，则，当且仅当时等号成立，故C正确；对D，两边开方可得，故D错误.故选11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了狄利克雷函数的性质，考查对有理数和无理数的理解能力，属于基础题对应各个选项，结合有理数和无理数以及狄利克雷函数的性质，即可判断各个选项正确与否【解答】解：选项A：在x轴上，有理数和无理数是分散的，图象不可能为直线，故A错误，选项B：若x为有理数，则，所以，若x为无理数，则，所以，即不管x为有理数还是无理数，均有，故B正确，选项C：是无理数，所以，而1为有理数，所以，所以，故C错误，选项D：若x为无理数，则与都为无理数，所以，若x为有理数，则与为有理数，所以，故，都有，故D正确
11、，故选12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查指数型函数的奇偶性、单调性和值域，属于中等题。本题通过判断与关系确定奇偶性，判断A、B的正误，通过判断的单调性判断C、D的正误.【解答】解：对于选项函数的定义域为R，因为，所以为奇函数，关于原点对称，所以A正确，对于选项因为，所以，故B错误；对于选项，所以，所以C正确；对于选项任取，因为，所以，所以单调递增.所以D错误.故选13.【答案】0【解析】【分析】本题主要考查了指数与对数运算性质的简单应用，属于基础题结合对数与指数的运算性质即可求解【解答】解：故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查了函数求值和函数的奇偶性，属于基础题.令，从而可
12、得是奇函数，由此可推出，进而可求出的值.【解答】解：令，因为，所以是奇函数，所以，所以，因为，所以故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题不等式可化为，即x与的符号相反，分和讨论，由函数的单调性可得不等式的解集【解答】解：是偶函数，所以不等式可化为，且又在区间上是减函数，所以在上是增函数，当时，解得；当时，解得故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数，函数的奇偶性和函数的单调性，解抽象不等式，基本不等式，属于较难题.首先判断函数的奇偶性和单调性，根据函数性质，不等式等价于，再根据函数的单调性得，再利用参变分
13、离的方法，转化为函数的最值，求a的取值范围.【解答】解：由函数的解析式可知函数的定义域为R，且满足，所以函数是偶函数，当时，是单调递减函数，也是减函数，所以函数是单调递减函数，又函数是偶函数，则当时，函数单调递减.则，即，当时，不等式成立;当时，即，当时，等号成立，即，综上可知a的取值范围是故答案为：17.【答案】解：，且C为非空集合.故，解得，实数a的取值范围为【解析】本题考查了指数不等式及函数定义域，交集及其运算，并集及其运算，补集及其运算，集合关系中的参数取值问题，属于基础题解不等式化简集合A，根据函数定义域求解B，再根据集合的交集，并集，补集运算求解即可；由题意得到，然后列不等式组即可
14、18.【答案】解：当时，无解当时，解得当时，解得若命题p为真命题，则有即解得【解析】本题考查含参的一元二次不等式的解法和含量词命题的真假，属于基础题.由题意，得，然后对a进行分类讨论即可;由题意，得，解不等式组即可.19.【答案】解：对幂函数，有故在单调递增，所以解得，所以或1，当时，此时为奇函数，舍去.当时，此时为偶函数，满足题意，故；，问题转化为在有解，故在有解.令，当时，当时，有最小值2；当时，有最大值所以，即【解析】本题考查幂函数、考查函数奇偶性、单调性和值域，属于一般题.利用幂函数的定义和性质求得或1，再检验即可;问题转化为在有解，令，转化为求在的值域即可.20.【答案】解：的图像经
15、过点解得故即即，所以.当时，在上单调递增， 即解得，当时，在上单调递减，即解得舍去，综上【解析】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性与特殊点，属于基础题由题意先求得a、b的值，可得函数的解析式，得即，进而求得的值域根据函数的定义域和值域都是，求得a、b的值，可得的值21.【答案】解：当时，；当时，；当时，当时，；当时，当且仅当，即时等号成立，；当时，即2021年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元【解析】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数的性质，基本不等式，运算能力，属于中档题.分与两种情况讨论，再运用函数模型的应用化简即可求解；由题意得，运
16、用二次函数的性质、基本不等式求函数最值的方法化简即可求解.22.【答案】解：令，设，当，即时，与已知矛盾；当，即，解得或，；当，即，解得，但与矛盾，故舍去，综上所述，由已知，所以，由化简整理得，即，令，则，当时，令，由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又，则，即，所以，整理得，此时，由知，在上有解，又在上是增函数，可得因此，实数a的取值范围为【解析】本题考查函数的最值和集合的运算，考查分类讨论的数学思想，考查换元法的运用，属于较难题换元得到，分类讨论，利用函数的最小值为，求a的值；先求出集合A及的范围，令，由对勾函数的单调性求出函数的范围，然后由，转化为在上有解，即可求出a的范围.
