1、半角模型模型倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形已知如图：2=12AOB，OA=OB。连接 FB，将FOB 绕点 O 旋转至FOA 的位置，连接 FE、FE，可得OEFOEF。基本模型（1）正方形内含半角如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，EAF=45，求证：EF=BE+DF。基本模型（2）等边三角形内含半角基本模型（3）等腰直角三角形内含半角模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是 90含 45，120含 60。核心母题 如图，在
2、正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，EAF=45，求证：EF=BE+DF.变式一：如图，E、F 分别是边长为 1 的正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点,若ECF的周长是 2，求EAF 的度数?变式二：如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，EAF=45，AGEF，求证：AG=AB.综合：在正方形 ABCD 中，若 M、N 分别在边 BC、CD 上移动，且满足 MN=BM+DN，求证：.MAN=45.ABC CMN2.AM、AN 分别平分BMN 和DNM.练习1、如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC,A=C=90，B=135，K、N
3、 分别是 AB、BC 上的点，若BKN 的周长是 AB 的 2 倍，求KDN 的度数？2、已知：正方形 ABCD 中，MAN=45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N当MAN 绕点 A 旋转到BM=DN 时（如图1），易证 BM+DN=MN（1）当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时（如图2），线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN 绕点 A 旋转到如图3的位置时，线段 BM、DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想3、如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180
4、，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 2EAF=BAD，（1）求证：EF=BE+FD（2）如果 E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。4、如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180求证：AD 平分CDE.5、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形 ABCDE 的面积6、如图 1在四边形 ABCD 中AB=AD，B+D=180，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且BAD=2EAF（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将AEF 绕点 A 逆时针
5、旋转，当点 E、F 分别运动到 BC、CD 延长线上时，如图 2 所示，试探究 EF、BE、DF 之间的数量关系7、如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，P 是ABC 内一点，且 PA=3，PC=2，PB=1求BPC 的度数半角模型条件：.180210且思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长 CD 到 E，使 ED=BM，连 AE 或延长 CB 到 F，使 FB=DN，连AF）结论：MN=BM+DN ABC CMN2AM、AN 分别平分BMN 和DNM（2）对称（翻折）思路:分别将ABM 和ADN 以 AM 和 AN 为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N 三点共线.（B+D=018
6、0 且 AB=AD）例题应用：例 1、在正方形 ABCD 中，若 M、N 分别在边 BC、CD上移动，且满足 MN=BM+DN，求证：.MAN=45.ABC CMN2.AM、AN 分别平分BMN 和DNM.思路同上略.例 1 拓展：在正方形 ABCD 中，已知MAN=45，若 M、N 分别在边 CB、DC 的延长线上移动，.试探究线段 MN、BM、DN 之间的数量关系.求证：AB=AH.提示如图：例 2.在四边形 ABCD 中，B+D=180，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、CD 上，且满足 EF=BE+DF.求证：.21BADEAF提示：练习巩固：如图，在四边形 ABCD 中，B=D=90，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、CD 上的点，且.21BADEAF.求证：EF=BE+DF.提示：