1、第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围(重点)2了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围(重点)3会用中点坐标公式求两点的中点坐标1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学学科素养2通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学学科素养自 主 预 习 探 新 知 1直线的两点式方程名称两点式方程 已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中 x1x2，y1y2示意图直线方程_ 适用范围斜率存在且不为零yy1y2y1 xx1x2x1思考：过点(1，3)和(
2、1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？提示 不能，因为 110，而 0 不能做分母过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示2直线的截距式方程名称截距式方程 已知条件在 x，y 轴上的截距分别为 a，b 且 a0，b0 示意图 直线方程_ 适用范围斜率存在且不为零，不过原点xayb1思考：方程x2y31 和x2y31 都是直线的截距式方程吗？提示 都不是截距式方程截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“”号连接，二是等号右边为 1.3线段的中点坐标公式若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的
3、中点，则x_，y_.x1x22y1y22D 由直线的两点式方程，得y232x343，化简得 xy10.1过点 A(3，2)，B(4，3)的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10C 由截距式得，所求直线的方程为x2y31.2过 P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是()A.x3y20 B.x2y30 C.x2y31 D.x2y31 0，b0.3如图，直线 l 的截距式方程是xayb1，则 a_0，b_0.32 直线方程为y919 x313，化为截距式为 x32y31，则在x 轴上的截距为32.4过两点(1，1)和(3，9)的直线在 x 轴上的截距为_合 作 探 究 释
4、 疑 难 直线的两点式方程【例 1】(1)若直线 l 经过点 A(2，1)，B(2，7)，则直线 l 的方程为_(2)若点 P(3，m)在过点 A(2，1)，B(3，4)的直线上，则 m_(1)x2(2)2(1)由于点 A 与点 B 的横坐标相等，所以直线 l没有两点式方程，所求的直线方程为 x2.(2)由直线方程的两点式得y（1）4（1）x232，即y15 x25.直线 AB 的方程为 y1x2，点 P(3，m)在直线 AB 上，则 m132，得 m2.由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标(3)由直线的两点式方程写出直线的方程提
5、醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴若满足，则考虑用两点式求方程跟进训练1在ABC 中，已知点 A(5，2)，B(7，3)，且边 AC 的中点 M在 y 轴上，边 BC 的中点 N 在 x 轴上(1)求点 C 的坐标；(2)求直线 MN 的方程解(1)设点 C(x，y)，由题意得5x2 0，3y2 0.得 x5，y3.故所求点 C 的坐标是(5，3).(2)点 M 的坐标是0，52，点 N 的坐标是(1，0)，直线 MN 的方程是 y0520 x101，即 5x2y50.直线的截距式方程【例 2】求过点(4，3)且在两坐标
6、轴上截距的绝对值相等的直线 l 的方程思路探究：解 法一：设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b.当 a0，b0 时，设 l 的方程为xayb1.点(4，3)在直线上，4a3b 1，若 ab，则 ab1，直线方程为 xy10.若 ab，则 a7，b7，此时直线的方程为 xy70.当 ab0 时，直线过原点，且过点(4，3)，直线的方程为 3x4y0.综上知，所求直线方程为 xy10 或 xy70 或 3x4y0.法二：设直线 l 的方程为 y3k(x4)，令 x0，得 y4k3；令 y0，得 x4k3k.直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等|4k3|4k3k，解得 k1 或 k1 或 k
7、34.所求的直线方程为 xy70 或 xy10 或 3x4y0.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直(3)要注意截距式直线方程的逆向应用跟进训练2求过点 A(5，2)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 2 倍的直线 l 的方程解 由题意知，当直线 l 在坐标轴上的截距均为零时，直线 l 的方程为 y25x；当直线 l 在坐标轴上的截距不为零时，设 l 的方程为 x2aya1，将点(5，2)代入方程得 52a2a1，解得 a92，所以直
8、线 l 的方程为 x2y90.综上知，所求直线 l 的方程为 y25x 或 x2y90.直线方程的灵活应用探究问题1.若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？提示 点斜式.若直线过两定点可选择两点式或点斜式2若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？提示 可选择斜截式3若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？提示 选择截距式较好【例 3】已知 A(3，2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC 中，(1)求 BC 边的方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程思路探究：(1)B，C两点坐标 两点式求方程(2)求中点坐标 两点式求直线方程解(1)BC 边过两点 B(5，4)，C(0，
9、2)，由两点式，得 y（4）2（4）x505，即 2x5y100，故 BC 边的方程是 2x5y100(0 x5).(2)设 BC 的中点 M(a，b)，则 a502 52，b4（2）23，所以 M52，3，又 BC 边的中线过点 A(3，2)，所以 y232x（3）52（3），即 10 x11y80，所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 10 x11y80.1本例中条件不变，试求 AB 边上的高线所在直线方程解 设 AB 边上的高线所在直线斜率为 k，kAB2（4）3534，k43，又高线过点 C(0，2)，由点斜式方程得高线所在直线方程为y243(x0)，即 4x3y60.2本例中条件不
10、变，试求与 AB 平行的中位线所在直线方程解 由探究 1 知 kAB34，即中位线所在直线斜率为34，由例题知 BC 的中点为52，3，所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为y334x52，即 6x8y90.直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决跟进训练3已知直线 l
11、经过点(1，6)和点(8，8).(1)求直线 l 的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线 l 与两坐标轴围成的图形面积解(1)由已知得直线 l 的两点式方程为 y686x181，所以y614x17，即y62 x1，所以 y62x2，即 2xy8.所以x4y81.故所求截距式方程为x4y81.(2)如图，直线 l 与两坐标轴围成的图形是直角三角形 AOB，且OAOB，|OA|4，|OB|8，故 SAOB12|OA|OB|124816.故直线 l 与两坐标轴围成的图形面积为 16.课 堂 小 结 提 素 养 1当直线没有斜率(x1x2)或斜率为 0(y1y2)时，不能用两点式yy1y2y1
12、xx1x2x1求它的方程，此时直线的方程分别是 xx1 和 yy1，而它们都适合(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式2直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零D 斜率有可能不存在，截距也有可能为 0，故选 D.1下列说法正确的是()A经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示B经过定点 A(0，b)
13、的直线都可以用方程 ykxb 表示C不经过原点的直线都可以用方程xayb1 表示D经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示D 由两点式得y565 x232，整理得 x5y270.当 y0 时，x27.故应选 D.2经过点 A(2，5)，B(3，6)的直线在 x 轴上的截距为()A2 B3C27 D27B 令 x0，得 yb2.3直线 xa2 yb21 在 y 轴上的截距是()A|b|Bb2Cb2Db14 当 x0 时，y7，即 b7；当 y0 时，x72，即a72.2ab272 714.4直线 2xy70 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则 2ab 的值为_解 设直线方程的截距式为 xa1ya1.则 6a12a 1，解得 a2 或 a1，则直线方程是 x21y21 或 x11y11，即 2x3y60 或 x2y20.5求过点 P(6，2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1的直线方程点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!